条件收敛级数的性质趣谈
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此无限地排列下去，…，考虑级数∑二。ｕ。，的部
分和数列ｋ），｛ｓ。）显然是它的子列，ｓ叫ｓ，．，…称
为转折上和，ｓ。，ｓ。…称为转折下和，ａ在相邻 的转折下和与转折上和构成的区间之内，转折上 和与转折下和统称为转折和。先证转折和数列ｓ
¨ｓ。，ｓ，．．，……收敛于ａ，因为∑二‰收敛，所
以ｌｉｒａ‰＝０，作为其子列所以有ｌｉｒａ％＝０，ｌｉｍ
变∑二‰中项的位置后可使新级数∑二‰，既
不收敛于±ｏｏ也不收敛于任何有限值。
分析：要使∑：，ｔｔｎ’既不收敛于±∞也不收
敛于任何有限值，只要让其部分和数列｛ｓ。｝是一 个类似于｛（一１）ｎ｝的震荡数列。
证明：仿照性质２。先在级数Ｉ中依次取正 项，当部分和刚刚大于ＪＢ时，停止取正项，此时的
部分和即转折上和ｓ。邛，然后在级数Ⅱ中取负
Ｉ Ｈ。Ｉ），则∑：。影。是收敛于正无穷大的正项级
数，∑：。‰是收敛于负无穷大的负项级数。
‘
证明：由∑二。Ｈ。是条件收敛级数，依定义
∑三。Ｉ ｕ。Ｉ是正项级数且收敛于正无穷大。
由ｈ＝丢（刊州）＝巴嚣。，不难看
出∑二口。是把∑二。‰的负项换成０而得到
的，它也就是级数∑：。Ⅱ。中的全体正项所构成
的级数，由于∑三。Ｍ。是收敛级数，而∑二Ｉ‰Ｉ
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
吴辰余， WU Chen-yu 邯郸学院数学系,河北,邯郸,056005
巢湖学院学报 JOURNAL OF CHAOHU COLLGEG 2008，10(6) 0次
参考文献(2条) 1.辛钦.王会林.齐民友 数学分析八讲 1998 2.同济大学应用数学系 高等数学 2002
，ｒ’∞
＾—¨。，ｒ斗∞
加。：０，因此对级数∑三。‰，就有ｌｉｍ Ｕｎ：＿＿－－ｏ，从
∑三，Ⅱ。，的构造易见Ｉｓ＾一ａ Ｉ＜Ｉｕ。，Ｉ成立，这里
１４６
万方数据
（ｕ。，）是ｆＭ。，Ｊ的一个子列，所以．１ｉｒａｓ．＝Ｏｔ成立。
当ｎ＞ｎ，后，部分和总是夹在某两个相邻的 转折下和与转折上和之间，即存在唯一的满足
由于转折上和数列｛ｓ强一。ｌ是部分和数列ｋ） 的一个子数列，且对任何的ｋ都有ｓ役一，＞卢＞０， 所以ｌｉｍ，。ｓ。＝一∞不成立。同理转折下和数列 ｛ｓ强）是部分和数列ｋ）的另一个子数列，对任何
的后都有ｓａ＜－－归，所以ｌｉｒｎ—ｓ。＝＋∞不成立。所
以∑：。‰’既不收敛于±∞也不收敛于任何有限
值。证毕。
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_chaohxyxb200806033.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：c0ced971-c73c-428d-bda4-9dca0122077e
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ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ ｉｓ ａ
ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｎｔｅｎｔ，ຫໍສະໝຸດ Baiduｔｓ ｃｏｎｃｅｐｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌｕｓ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｖｅｒｙ ｃｌｏｓｅ，
ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ ａｆｔｅｒ ａ ｃｈａｎｇｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｃｏｌｌｅｃｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｏ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｖｅｒｙ ｓｗｅｅｐｉｎｇ ｃｈａｎｇｅ．Ｔｈｉｓ
参考文献： 【１】【苏１辛钦．教学分析八讲【Ｍ１．王会林，齐民友．武汉：武汉大学出版社，１９９８． ［２１同济大学应用数学系．高等数学（下册）【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００２．
ＣｏＮＤＩＴｌｏＮＡＬＬＹ ＣｏＮＶＥＲＧＥＮＴ ＰＲＯＧＲＥＳＳＩＯＮ ＮＡＴＵＲＥ ＷＵ Ｃｈｅｎ—ｙｕ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈａｎｄａｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈａｎｄａｒｈ Ｈａｉｄａｎ Ｈｅｈｅｉ ０５６００５）
是收敛于正无穷大，易见∑二。ｔ，。是收敛于正无
穷大。 同理由
一扣七｜）＝ｆ：；：葛易见
∑二。似。是收敛于负无穷大的负项级数。
性质２若∑二。Ｍ。是条件收敛级数，一∞＜
收稿日期：２００８—０８—２３ 作者简介：吴辰余（１９６４一），男，河北武安人。副教授，研究方向：高等数学教学。
１４５
万方数据
ａ＜＋∞适当改变∑二‰中项的位置后可使级
ｍ≤，ｌ≤ｍ“使得ｓｍ≤ｓｍ≤ｓ～．或者５＾≥ｓ。≥ｓ～
成立，由数列极限的夹逼准则可得
ｌｉｍ～ｓ。＝墅罂５＾＝仅
ｎ—●∞
＾—●∞
再由∑三。ｕ。，的构造可以看出，它恰好用上
了∑二Ｕｎ的所有项而无一遗漏，证毕。
性质３若∑：。Ｉｔｎ是条件收敛级数，适当
改变∑二。‰中项的位置后可使新级数∑：。‰’
收敛于＝ｂｏｏ。
２００８年第１０卷第６期 总第９３期
巢湖学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈａｏｈｕ Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｎｏ．６．Ｎ０１．１０．２００８ Ｃ，ｅｎｅｒａｌ Ｓｅｒｉａｌ Ｎｏ．９３
条件收敛级数的性质趣谈
吴辰余
（邯郸学院数学系，河北邯郸０５６００５）
摘 要：级数是数学分析的一个重要内容，其概念与微积分的联系十分密切，其中条件收敛 级数在重排后敛散性会发生很大变化．本文给出条件收敛级数的一些性质及其证明． 关键词：条件收敛级数 中图分类号：０１７３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—２８６８（２００８）０６—０１４５—０３
项，当部分和刚刚小于－０时，停止取负项，此时的 部分和即转折下和ｓ。＜－０然后再接着在级数Ｉ 中顺次取正项．…
如此往复。确保转折上和与转折下和交替出 现，且转折上和ｓ‰＞卢，转折下和ｓ。＜－－＃，因为
转折和数列｛ｓ、１是部分和数列｛ｓ。｝的一个子列，
且对任意的ｍ有Ｉｓ＾一ｓ‰Ｉ＞帮，由柯西极限准则
∑二。‰，不收敛于任何有限值。
数收敛于ａ。
分析：设新级数为∑：。‰，，其部分和为‰
按定义只要证明ｌｉｍ，。ｓ。＝ａ即可。
由于∑三。口。：＋∞是∑：。‰的所有正项按
其原来的顺序构成的级数，称为级数Ｉ，级数∑二。
彬。：一∞是∑二。‰的所有负项按其原来的顺序
构成的级数，称为级数Ⅱ，这两个级数的非零项
的放在一起恰是∑三。‰的全部项。
证明：为确定假设Ｏｔ≥Ｏ（ａ＜０类似可证），先 在级数Ｉ中依次取正项，此时部分和在增加，当
ａｒｔｉｃｌｅ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ ｓｏｍｅ ｎａｔｕｒｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｅｒｔｉｆｉｃａｔｅ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ
责任编辑：陈凤
１４７
万方数据
条件收敛级数的性质趣谈
部分和刚刚大于ａ时（因为∑三。ｔ，。：＋∞，所以
ｓ。＞ａ总能实现），停止取正项，此时的部分和ｓ ¨易见有￥ｎ，－－ｕ＾７≤ａ＜ｓ＾成立，然后在级数ＩＩ中 取负项，此时部分和在减少，当部分和刚刚小于ａ
时（因为∑二。‰：一∞，所以ｓ。＞ａ总能实现），停
止取负项，此时的部分和５。，易见５。一ｕ。’≥ｄ＞ ｓ。有成立，接着再回到级数Ｉ中顺次取正项，当 部分和再一次刚刚大于ａ时停止取正项，此时的 部分和ｓ。，再一次回到级数Ⅱ中顺次取负项，如
负项，此时的部分和ｓ。邓，如此无限地排列下去，
确保每次先在级数Ｉ中顺次取一段，然后再在级 数Ⅱ中顺次取一负项，而且总有ｓ．＞够＞ｏ成立， 所以有ｌｉｒａ ｓ．．＝＋∞。
ｔ—斗∞
当ｎ＞砚后，可找到唯一的正整数ｋ满足
ｍ≤凡≤‰ｌ，而且有ｎ一∞ｊｍ．＋∞且ｓ。≥ｓ＾＞邶
＞ｏ，留５．＝４－００ ｏ
性质４若∑二。Ｕｎ是条件收敛级数，适当改
定义１若级数∑二。‰收敛，且其绝对值级
数∑二，Ｉ“。Ｉ发散（收敛于正无穷大），称级数
∑二‰是条件收敛。
由收敛级数的性质易见，若∑二‰是条件
收敛级数’，它既不可能是正项级数，也不可能是 负项级数，它必定是既有无穷多个正项，也有无 穷多个负项。
性质１若∑２－。‰是条件收敛级数（不妨假
设不含零项），令％＝丁１（‰＋Ｉ‰Ｉ），埘。＝虿１（‰一
证明：以∑二；“。，：＋∞为例，∑二。Ｉｉ，ｎｔ＝一∞
的情况类似可证。
‘ 因为∑二‰收敛，所以有ｌｉｍ‰＝０，
即ｆ‰）是收敛数列，因此（配。｝是有界的，令ｓｕｐ ｛‰】－卢，由性质１可知卢＞０。
仿照性质２，先将级数Ｉ中的项这样分段，使
每段之和大于帮，这样排列∑二，‰，的项；先在
级数Ｉ中取第一段，然后在级数Ⅱ中取第一个负 项，此时部分和Ｓｎ＞肇一卢＝卢，然后再接着在级数 Ｉ中顺次取第二段，，然后再在级数Ⅱ中取第二个
分和数列ｋ），｛ｓ。）显然是它的子列，ｓ叫ｓ，．，…称
为转折上和，ｓ。，ｓ。…称为转折下和，ａ在相邻 的转折下和与转折上和构成的区间之内，转折上 和与转折下和统称为转折和。先证转折和数列ｓ
¨ｓ。，ｓ，．．，……收敛于ａ，因为∑二‰收敛，所
以ｌｉｒａ‰＝０，作为其子列所以有ｌｉｒａ％＝０，ｌｉｍ
变∑二‰中项的位置后可使新级数∑二‰，既
不收敛于±ｏｏ也不收敛于任何有限值。
分析：要使∑：，ｔｔｎ’既不收敛于±∞也不收
敛于任何有限值，只要让其部分和数列｛ｓ。｝是一 个类似于｛（一１）ｎ｝的震荡数列。
证明：仿照性质２。先在级数Ｉ中依次取正 项，当部分和刚刚大于ＪＢ时，停止取正项，此时的
部分和即转折上和ｓ。邛，然后在级数Ⅱ中取负
Ｉ Ｈ。Ｉ），则∑：。影。是收敛于正无穷大的正项级
数，∑：。‰是收敛于负无穷大的负项级数。
‘
证明：由∑二。Ｈ。是条件收敛级数，依定义
∑三。Ｉ ｕ。Ｉ是正项级数且收敛于正无穷大。
由ｈ＝丢（刊州）＝巴嚣。，不难看
出∑二口。是把∑二。‰的负项换成０而得到
的，它也就是级数∑：。Ⅱ。中的全体正项所构成
的级数，由于∑三。Ｍ。是收敛级数，而∑二Ｉ‰Ｉ
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
吴辰余， WU Chen-yu 邯郸学院数学系,河北,邯郸,056005
巢湖学院学报 JOURNAL OF CHAOHU COLLGEG 2008，10(6) 0次
参考文献(2条) 1.辛钦.王会林.齐民友 数学分析八讲 1998 2.同济大学应用数学系 高等数学 2002
，ｒ’∞
＾—¨。，ｒ斗∞
加。：０，因此对级数∑三。‰，就有ｌｉｍ Ｕｎ：＿＿－－ｏ，从
∑三，Ⅱ。，的构造易见Ｉｓ＾一ａ Ｉ＜Ｉｕ。，Ｉ成立，这里
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万方数据
（ｕ。，）是ｆＭ。，Ｊ的一个子列，所以．１ｉｒａｓ．＝Ｏｔ成立。
当ｎ＞ｎ，后，部分和总是夹在某两个相邻的 转折下和与转折上和之间，即存在唯一的满足
由于转折上和数列｛ｓ强一。ｌ是部分和数列ｋ） 的一个子数列，且对任何的ｋ都有ｓ役一，＞卢＞０， 所以ｌｉｍ，。ｓ。＝一∞不成立。同理转折下和数列 ｛ｓ强）是部分和数列ｋ）的另一个子数列，对任何
的后都有ｓａ＜－－归，所以ｌｉｒｎ—ｓ。＝＋∞不成立。所
以∑：。‰’既不收敛于±∞也不收敛于任何有限
值。证毕。
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_chaohxyxb200806033.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：c0ced971-c73c-428d-bda4-9dca0122077e
下载时间：2010年8月6日
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ ｉｓ ａ
ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｎｔｅｎｔ，ຫໍສະໝຸດ Baiduｔｓ ｃｏｎｃｅｐｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌｕｓ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｖｅｒｙ ｃｌｏｓｅ，
ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ ａｆｔｅｒ ａ ｃｈａｎｇｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｃｏｌｌｅｃｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｏ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｖｅｒｙ ｓｗｅｅｐｉｎｇ ｃｈａｎｇｅ．Ｔｈｉｓ
参考文献： 【１】【苏１辛钦．教学分析八讲【Ｍ１．王会林，齐民友．武汉：武汉大学出版社，１９９８． ［２１同济大学应用数学系．高等数学（下册）【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００２．
ＣｏＮＤＩＴｌｏＮＡＬＬＹ ＣｏＮＶＥＲＧＥＮＴ ＰＲＯＧＲＥＳＳＩＯＮ ＮＡＴＵＲＥ ＷＵ Ｃｈｅｎ—ｙｕ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈａｎｄａｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈａｎｄａｒｈ Ｈａｉｄａｎ Ｈｅｈｅｉ ０５６００５）
是收敛于正无穷大，易见∑二。ｔ，。是收敛于正无
穷大。 同理由
一扣七｜）＝ｆ：；：葛易见
∑二。似。是收敛于负无穷大的负项级数。
性质２若∑二。Ｍ。是条件收敛级数，一∞＜
收稿日期：２００８—０８—２３ 作者简介：吴辰余（１９６４一），男，河北武安人。副教授，研究方向：高等数学教学。
１４５
万方数据
ａ＜＋∞适当改变∑二‰中项的位置后可使级
ｍ≤，ｌ≤ｍ“使得ｓｍ≤ｓｍ≤ｓ～．或者５＾≥ｓ。≥ｓ～
成立，由数列极限的夹逼准则可得
ｌｉｍ～ｓ。＝墅罂５＾＝仅
ｎ—●∞
＾—●∞
再由∑三。ｕ。，的构造可以看出，它恰好用上
了∑二Ｕｎ的所有项而无一遗漏，证毕。
性质３若∑：。Ｉｔｎ是条件收敛级数，适当
改变∑二。‰中项的位置后可使新级数∑：。‰’
收敛于＝ｂｏｏ。
２００８年第１０卷第６期 总第９３期
巢湖学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈａｏｈｕ Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｎｏ．６．Ｎ０１．１０．２００８ Ｃ，ｅｎｅｒａｌ Ｓｅｒｉａｌ Ｎｏ．９３
条件收敛级数的性质趣谈
吴辰余
（邯郸学院数学系，河北邯郸０５６００５）
摘 要：级数是数学分析的一个重要内容，其概念与微积分的联系十分密切，其中条件收敛 级数在重排后敛散性会发生很大变化．本文给出条件收敛级数的一些性质及其证明． 关键词：条件收敛级数 中图分类号：０１７３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—２８６８（２００８）０６—０１４５—０３
项，当部分和刚刚小于－０时，停止取负项，此时的 部分和即转折下和ｓ。＜－０然后再接着在级数Ｉ 中顺次取正项．…
如此往复。确保转折上和与转折下和交替出 现，且转折上和ｓ‰＞卢，转折下和ｓ。＜－－＃，因为
转折和数列｛ｓ、１是部分和数列｛ｓ。｝的一个子列，
且对任意的ｍ有Ｉｓ＾一ｓ‰Ｉ＞帮，由柯西极限准则
∑二。‰，不收敛于任何有限值。
数收敛于ａ。
分析：设新级数为∑：。‰，，其部分和为‰
按定义只要证明ｌｉｍ，。ｓ。＝ａ即可。
由于∑三。口。：＋∞是∑：。‰的所有正项按
其原来的顺序构成的级数，称为级数Ｉ，级数∑二。
彬。：一∞是∑二。‰的所有负项按其原来的顺序
构成的级数，称为级数Ⅱ，这两个级数的非零项
的放在一起恰是∑三。‰的全部项。
证明：为确定假设Ｏｔ≥Ｏ（ａ＜０类似可证），先 在级数Ｉ中依次取正项，此时部分和在增加，当
ａｒｔｉｃｌｅ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ ｓｏｍｅ ｎａｔｕｒｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｅｒｔｉｆｉｃａｔｅ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ
责任编辑：陈凤
１４７
万方数据
条件收敛级数的性质趣谈
部分和刚刚大于ａ时（因为∑三。ｔ，。：＋∞，所以
ｓ。＞ａ总能实现），停止取正项，此时的部分和ｓ ¨易见有￥ｎ，－－ｕ＾７≤ａ＜ｓ＾成立，然后在级数ＩＩ中 取负项，此时部分和在减少，当部分和刚刚小于ａ
时（因为∑二。‰：一∞，所以ｓ。＞ａ总能实现），停
止取负项，此时的部分和５。，易见５。一ｕ。’≥ｄ＞ ｓ。有成立，接着再回到级数Ｉ中顺次取正项，当 部分和再一次刚刚大于ａ时停止取正项，此时的 部分和ｓ。，再一次回到级数Ⅱ中顺次取负项，如
负项，此时的部分和ｓ。邓，如此无限地排列下去，
确保每次先在级数Ｉ中顺次取一段，然后再在级 数Ⅱ中顺次取一负项，而且总有ｓ．＞够＞ｏ成立， 所以有ｌｉｒａ ｓ．．＝＋∞。
ｔ—斗∞
当ｎ＞砚后，可找到唯一的正整数ｋ满足
ｍ≤凡≤‰ｌ，而且有ｎ一∞ｊｍ．＋∞且ｓ。≥ｓ＾＞邶
＞ｏ，留５．＝４－００ ｏ
性质４若∑二。Ｕｎ是条件收敛级数，适当改
定义１若级数∑二。‰收敛，且其绝对值级
数∑二，Ｉ“。Ｉ发散（收敛于正无穷大），称级数
∑二‰是条件收敛。
由收敛级数的性质易见，若∑二‰是条件
收敛级数’，它既不可能是正项级数，也不可能是 负项级数，它必定是既有无穷多个正项，也有无 穷多个负项。
性质１若∑２－。‰是条件收敛级数（不妨假
设不含零项），令％＝丁１（‰＋Ｉ‰Ｉ），埘。＝虿１（‰一
证明：以∑二；“。，：＋∞为例，∑二。Ｉｉ，ｎｔ＝一∞
的情况类似可证。
‘ 因为∑二‰收敛，所以有ｌｉｍ‰＝０，
即ｆ‰）是收敛数列，因此（配。｝是有界的，令ｓｕｐ ｛‰】－卢，由性质１可知卢＞０。
仿照性质２，先将级数Ｉ中的项这样分段，使
每段之和大于帮，这样排列∑二，‰，的项；先在
级数Ｉ中取第一段，然后在级数Ⅱ中取第一个负 项，此时部分和Ｓｎ＞肇一卢＝卢，然后再接着在级数 Ｉ中顺次取第二段，，然后再在级数Ⅱ中取第二个