第1讲 直线与圆

k 1 b1
k 2； 或 斜 率 都 不 存 在. b2
（2）斜率存在时, l1 l2 k1k2 1；
或一条斜率为0，另一条斜率不存在.
5.三种距离公式 （1）点A（x1，y1）、B（x2，y2）间的距离:
|AB|= ( x2 .x1 )2 ( y2 y1 )2
（2）点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离:
专题五 解析几何
第 1 讲 直线与圆
主干知识梳理
1.倾斜角:α [ 0,π )
2、斜率:当倾斜角α 900时，k t anα,
当α π时，K不存在
2 3、在已知直线上两点(x1, y1 ),(x2, y2 )时，k
y2 x2
y1 x1
4.两条直线平行与垂直的判定
(x1 x2 )
( 1)斜 率 存 在 时, l1 / / l2
【例2】在平面直角坐标系中，在y轴的正半
轴上给定A(0,a),B(0，b)(b<a)两点，在x轴正
半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值．
设C(x,0). ACB ,BCO
tan( ) a , tan b
x
x
tan tan[( ) ]
tan( ) tan
ab x x
圆心坐标为
D 2
,
E 2
,半径为
D2 E2 4F 2
(3 )圆 x2
y2
r 2( r
0)的 参 数 方 程 为xy
rrcs ionsθθθ
R
圆 (x a)2 (y b )2 r 2(r 0)的 参 数 方 程 为
x y
rc rs
ionsθθbaθ
R
7 . 直 线 与 圆 的 位 置 关系 ： 设直线l: Ax By C 0和圆C: (x a）2 （y b）2 r2 若圆心到直线的距离为d l与圆C相离 d r l与圆C相切 d r l与圆C相交 d r
＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经
过这三个交点的圆记为 D.问是否存在 b 使三个交点构成
的三角形为圆 D 的内接直角三角形？若存在，求出 b 的值；
若不存在，说明理由．
解 (1)令 x＝0，得抛物线与 y 轴的交点是(0，b)． 令 y＝0，得 x2＋2x＋b＝0， 由题意 b≠0 且 Δ>0，解得 b<1 且 b≠0. 设二次函数与 x 轴交点为 A(x1,0)，B(x2,0)，与 y 轴交点为 C(0，b)；
解 (1)令 x＝0，得抛物线与 y 轴的交点是(0，b)． 令 y＝0，得 x2＋2x＋b＝0， 由题意 b≠0 且 Δ>0，解得 b<1 且 b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0，这与 x2＋2x＋b＝0 是同 一个方程，故 D＝2，F＝b.
8.圆 与 圆 的位 置 关 系： 两 圆的 半 径 分别 为 Rr,(R r),两 圆心 之 间 距离 d 则 两圆 相 离 d R r 外切 d R r;相交 R r d R r
内 切 d R r ;内 含 d R r
圆x2 y2 D1x E1y F1 0和圆x2 y2 D2x E2y F2 0相交
令 x＝0，y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为 b， 代入得出 E＝－b－1. 所以圆 C 的方程为 x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)x2＋y2＋2x－y+(1-y) b＝0.
1 y 0
y 1
x
2
y2
2x
y
Baidu Nhomakorabea
0
x
0或
2
圆 C 必过定点(0,1)和(－2,1)，
变式训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)
d=
.Ax0 By0 C
A2 B2
（3）两平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0
（C1≠C2）间的距离为d=
C2 C1 . A2 B2
6、圆的方程：
(1)圆的标准方程: x - a2 y b2 r 2 r 0
(2)圆的一般方程: x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)
1 tan( ) tan
1
ab x2
ab x ab
x
ab 2 x ab
x
ab 2 ab
C( ab,0).
题型二、圆的方程 【 例3】 设 二 次 函 数f ( x) x2 2x b( x R)的 图 象 与 两 坐 标 轴 有 三 个交 点 ， 经 过 这 三 点 的 圆 记 做C. （1） 求b的 取 值 范 围 ； （2） 求 圆C的 方 程 ； （3） 圆C是 否 经 过 某 个 定 点 ， 试证 明 你 的 结 论.
33
3
C. y 3x 3 D. y 1 x 1 3
【练习1】直线y 2x 1关于直线y x 1的对称 直线为
【 练 习2】 圆( x 1)2 ( y 2)2 1关 于 直 线x y 1 0
的 对 称 圆为 ( x 3)2 y2 1
【练习3】直线y 2x 1关于点(1,0)的对称直线为
设所求直线上任意点M（x, y),它关于直线y x 1
的对称点为M'( x0 , y0 ), 则y0 2x0 1
MM'的中点为( x x0 , y y0 )
2
2
y y0 2
x x0 2
1
y
y0
1
x0 y0
1 x
y
1
x x0
x 1 2(1 y) 1 x 2 y 2 0
两圆的公共弦所在的直线方程 (D1 D2 )x (E1 E2 )y (F1 F2 ) 0
经过两圆交点的圆系方程为： x2 y2 D1x E1y F1 λ(x2 y2 D2x E2y F2 ) 0
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题型一 有关直线的问题
例1 设直线 l1 的方程为 x＋2y－2＝0，将直线 l1 绕原点按
x1，x2 是方程 f(x)＝0，即 x2＋2x＋b＝0 的两根，∴x1x2＝b. 若存在 b 满足条件，则 AC⊥BC. 又 kAC＝－xb1，kBC＝－xb2，∴－xb1·(－xb2)＝－1， 即 x1x2＝－b2＝b.又 b<1，且 b≠0，解得 b＝－1. 故存在满足条件的 b＝－1.
逆时针方向旋转
90°得到直线
l2，则
l2
的方程为 2x－y＋2＝0 ____________________．
【 变 式 】 将 直 线y 3 x绕 原 点 逆 时 针 旋 转90
再 向 右 平 移1个 单 位 ， 得 到 的 直 线 为 ( A )
A. y 1 x 1 B. y 1 x 1