星座图详解
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数字通信中几种调制方式的星座图
由于实际要传输的信号(基带信号)所占据的频带通常是低频开始的,而实际通信信道往往都是带通的,要在这种情况下进行通信,就必须对包含信息的信号进行调制,实现基带信号频谱的搬移,以适合实际信道的传输。
即用基带信号对载波信号的某些参量进行控制,使载波的这些参量随基带信号的变化而变化。
因为正弦信号的特殊优点(如:形式简单,便于产生和接受等),在大多数数字通信系统中,我们都选用正弦信号作为载波。
显然,我们可以利用正弦信号的幅度,频率,相位来携带原始数字基带信号,相对应的分别称为调幅,调频,调相三种基本形式。
当然,我们也可以利用其中二种方式的结合来实现数字信号的传输,如调幅-调相等,从而达到某些更加好的特性。
一.星座图基本原理
一般而言,一个已调信号可以表示为:
()()cos(2)N m n k s t A g t f t πϕ=+ 0t T ≤< (1)
0000
1,2......1,2.......1,2........1,2........N N m m n n k k ====
上式中,()g t 是低通脉冲波形,此处,我们为简单处理,假设()1g t =,0t T <≤,即()g t 是矩形波,以下也做同样处理。
假设一共有0N (一般0N 总是2的整数次幂,为2,4,16,32等等)个消息序列,我们可以把这0N 个消息序列分别映射到载波的幅度m A ,频率n f 和相位k ϕ上,显然,必须有 0000N m n k =⨯⨯
才能实现这0N 个信号的传输。
当然,我们也不可能同时使用载波信号的幅度、频率和相位三者来同时携带调制信号,这样的话,接收端的解调过程将是非常复杂的。
其中最简单的三种方式是:
(1).当n f 和k ϕ为常数,即0000,1,1m N n k ===时,为幅度调制(ASK)。
(2).当m A 和k ϕ为常数,即00001,,1m n N k ===时,为频率调制(FSK)。
(3).当m A 和n f 为常数,即00001,1,m n k N ===时,为相位调制(PSK)。
我们也可以采取两者的结合来传输调制信号,一般采用的是幅度和相位结合的方式,其中使用较为广泛的一项技术是正交幅度调制(MQAM)。
我们把(1)式展开,可得:
()()cos2cos ()sin 2sin N m n k m n k s t A g t f t A g t f t πϕπϕ=-
(()cos )cos2(()sin )sin 2m k n m k n A g t f t A g t f t ϕπϕπ=- (2)
根据空间理论,我们可以选择以下的一组基向量:
()cos 2,()sin 2]n n t f t t f t ππ
其中g ε是低通脉冲信号的能量,20
()T
g g t dt T ε==⎰。
这样,调制后的信号就可以用
信号空间中的向量
cos sin ]m k m k ϕϕ
来表示。
当在二维坐标上将上面的向量端点画出来时,我们称之为星座图,又叫矢量图。
也就是说,星座图不是本来就有的,只是我们这样表示出来的。
星座图对于判断调制方式的误码率等有很直观的效用。
由此我们也可以看出,由于频率调制时,其频率分量始终随着基带信号的变化而变化,故而其基向量也是不停地变化,而且,此时在信号空间中的分量也为一个确定的量。
所以,对于频率调制,我们一般都不讨论其星座图的。
二.星座图的几个例子
下面我们就除频率调制之外的其他几种调制方式分别说明。
1.MASK 调制
MASK 调制是多进制幅度调制,故其载波频率c f 和相位()ϕϕ一般取=0为一常数,于是,其已调信号可以写成:
()()cos2cos2m m c m c s t A g t f t A f t ππ==
(21)m A m M d =+-, 01.....m M =-,
2d 是两相邻信号幅度之间的差值,此时,每个已调信号的波形可携带2log M 比特的信息。
基向量为:2]c f t π,式中20
()T
g g t dt T ε==⎰。
则MASK 调制信号可以用信号空间中的向量为:]m m s =来表示,其星座图是在
X 轴上的一些离散的点。
ASK constellation
图 一
在Matlab 中自带了画星座图的函数,上面的图调用了modmap('ask',8)。
2.MPSK 调制
MPSK 是多进制相位调制,是利用载波的多种不同相位来表征数字信息的调制方式。
分为绝对相位调制和相对相位调制,此处,我们仅对绝对相位调制进行讨论。
对于一个M 相相位调制,其已调信号可以表示为:
22()()cos(2)cos(2)m c c m m
s t Ag t f t A f t M M
πππθπθ=+
+=++
0,1.....m M =-
其中A 信号幅度,c f 是载波频率, θ为初始相位。
选择一组基向量:()cos 2,()sin 2]c c t f t t f t ππ
其中20
()T
g g t dt ε=
⎰。
则信号空间的向量表示为:22cos(sin()]m m
M M
ππθθ++
图二中分别画出2,4M =时候的星座图。
当2M =时,一般取0θ=,载波的相位只有
0π和,分别代表01和,如(a)所示;当4M =时,取0θ=,则载波的相位分别为
30,,22πππ和,如(b)所示;若取4
πθ=,则载波的相位分别为357,4444πππ,和,如(c)所示。
(a) 2M =,0θ= (b) 4M =,0θ=
(c) 4M =,4
π
θ=
图 二
3.正交幅度调制(MQAM)
一个MQAM 信号可以看成是在两个正交载波上进行幅度调制的叠加:
()()cos2()sin 2m mc c ms c s t A g t f t A g t f t ππ=+
c o s 2s i n 2m c c m s c A f t A f t
ππ=+ 其中()g t 是低通脉冲波形,此处我们仍然假设为矩形波。
c f 是载波频率,,mc ms A A 是一组幅值,0,1.....1m M =-,这样可以将不同的信号序列映射到不同的幅值电平上。
选择基向量:
()cos 2()sin 2]c c t f t t f t ππ
其中20
()T
g g t dt ε=
⎰。
-3
-113
In-phase
Q u a d r a t u r e
QASK Constellation
-7-5-3-113
57
In-phase
Q u a d r a t u r e
QASK Constellation
(a) MQAM-16的星座图 (b) MQAM-64的星座图 图 三 则MQAM 信号在空间中可以表示为:
]mc ms
这样可以得到MQAM 调制的星座图。
如图三所示。
以上是MQAM 调制的方形星座图,我们还可以画出MQAM 调制的圆形星座图。
()c o s 2s i n 2m m c c m s c s t A f t A f t ππ
=+
cos(2)
(cos )cos 2(sin )sin 2m c m m m c m m c A f t A f t A f t
πθθπθπ=-=+
其中,m A =
arctan()m mc ms A A θ=,于是,我们可以把MQAM 调制
看成是幅度调制和相位调制的结合。
我们选取
()cos 2()sin 2]c c t f t t f t ππ
作为基向量。
则在信号空间中可以表示为:
cos sin ]m m m m θθ
这样我们可以画出上面的圆形的MQAM 调制的星座图。
三.星座图的作用
下面简要说明一下星座图在实际情况中的应用。
前面已经说了,星座图对于判断调制方式的误码率等有很直观的效用。
下面我们利用Matlab 对于QPSK(M=4)调制举一个例子来说明:分别选取信噪比为0dB, 10dB, 20dB ,在接收端观察接收到的信号向量。
程序:
Fd=1;%消息序列的采样速率 Fs=3;%已调信号的采样速率 M=4;
for SNR_dB=0:10:20
Eb_N0=10^(SNR_dB/10); sgma=sqrt(1/(8*Eb_N0));
x=randint(10,1,M);%产生0,1,2,3等概分布的10个序列作为消息序列 y=dmodce(x,Fd,Fs,'psk',M);%对x 进行数字基带调制,方式为QPSK
ynoise=y+sqrt(Fs/Fd)*sgma*(randn(length(y),1)+j*randn(length(y),1));%模拟信道,加噪 figure(SNR_dB+1) axis([-1.2,1.2,-1.2,1.2]) hold on
for i=0:M-1
plot(cos(2*pi*i/M),sin(2*pi*i/M),'.','MarkerSize',20)%完美的星座图 end
plot(ynoise,'+')%接收端实际接收到的信号的矢量图 hold off
end
(a) QPSK SNR=0dB (b) QPSK SNR=10dB
-1-0.500.51
-1
-0.500.5
1
(c) QPSK SNR=20dB
图 三 分析:
如图三所示,其中黑点是没有噪声条件下的信号映射到空间中的矢量图,而加号(+)是在信道传输中加入噪声时的实际情况。
由此我们可以看出此时系统近似的误码率。
(a)是信噪比是0dB 时的情况,由于此时的噪声很大(其能量和要传输的信号一样大),在星座图上可以看出,信号受噪声影响很大,与理想情况下的矢量点偏离较远,误码率也就很高。
(b)是信噪比是10dB 时的情况,此时的噪声的能量是要传输信号能量的十分之一。
我们可以看出,在信号空间中实际信号的分布比较集中了,误码率明显降低。
(c)信噪比是20dB 时的情况,此时的噪声的能量是要传输信号能量的百分之一。
我们可以看出,在信号空间中实际信号的分布非常集中了,此时的误码率已经是非常低了。
[参考书目]:
1.樊昌信等. 通信原理(第五版) 国防工业出版社 2.曹志刚等. 现代通信原理 清华大学出版社
3.Proakis 现代通信系统——使用Matlab 刘树棠译 西安交通大学出版社 4.钟麟等 Matlab 仿真技术与应用教程 国防工业出版社。