曲轴扭振分析

哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）
四缸发动机曲轴扭振分析
摘要
在发动机工作过程中，曲轴上各曲拐所承受转矩的大小周期性变化的，而曲轴后端的飞轮具有大的惯量，转速可以看成是均匀的，所以各曲拐相对于飞轮就会发生大小和方向作周期性变化的相对扭转振动，产生曲轴轴系的扭转振动。

曲轴的扭转振动时，扭转变形的幅度大大超过正常允许值，轻则产生很大的噪声，是磨损加剧，重则使曲轴断裂。

因此在设计内燃机时，必须对轴系的扭振特性进行分析，以确定其临界转速、振型、振幅、扭转应力，以及据是否需要采取减振措施进而设计减振器。

本文中首先用pro/E软件对所要分析的曲轴进行建模，用其模型分析功能求取曲轴当量转动惯量，用其Mechanica模块求取曲轴的当量刚度；用矩阵法和霍尔茨法计算曲轴的自由振动，确定曲轴的固有频率和振型；通过对曲轴激振力矩的简谐分析，确定曲轴的单缸转矩振幅；通过对轴系强迫振动计算，确定曲轴的临界转速、共振时的幅值以及曲轴的扭振应力；判别扭振应力的大小是否超过允许应力，如果扭振应力接近或超过允许零件允许值，则对曲轴采取减振措施，设计合适的减振器。

关键词：曲轴；扭振；扭振减振器
I
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Abstract
In the process of engine working,crank torque of the crankshaft is periodically changing,while the flywheel is approximately in uniform rotation because of the big moment of inertia of the flywheel.Therefor,the crank have a relative motion compared to the flywheel.,then,the torsional vibration of the crankshaft occurs.When the deformation amplitude of the crankshaft considerably more than the normal value,the engine will produce noising noise,and the abrasion increased,worse more,the crankshaft may crack even broken.Therefore, in the design of the internal combustion engine,the shafting torsional vibration characteristics are analyzed to determine its critical speed, mode, amplitude, torsional stress, as well as designing torsional vibration damper.
Firstly, model the crankshaft to be analyzed with pro / E software,then,we can get the equivalent inertia of the crankshaft and the equivalent stiffness;Secondly,calculate the free vibration of the crankshaft using matrix method and Holtz method,and determine the natural frequencies and mode shapes;Thirdly,determine the amplitude of the single-cylinder crankshaft torque,through analyzing the exciting moment of the crankshaft;Then,determine the critical speed of the crankshaft, crankshaft torsional vibration amplitude and stress by calculating the forced vibration of the crankshaft;Finally,judge whether the size of awkward vibration stress exceeds the allowable stress.If the torsional stress close to or exceeds the allowable value of the crankshaft parts,damping measures must be take to consideration and design the suitable torsional vibration damper.
Keywords: crankshaft, torsional vibration, torsional vibration damper
II
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目录
摘要 (I)
Abstract ........................................................ I I 第1章绪论. (3)
1.1 课题研究的目的和意义 (3)
1.2 国内外研究现状 (3)
1.3 本课题的研究内容及技术方案 (4)
1.4 本文的主要研究内容 (5)
第2章曲轴当量扭振系统的组成与简化 (6)
2.1 当量系统的组成与简化 (6)
2.2 当量转动惯量的计算 (7)
2.3 当量刚度的计算 (10)
2.4 本章小结 (15)
第3章轴系自由振动的计算 (16)
3.1 霍尔茨法计算系统的自由振动 (16)
3.2 固有频率和振型的计算 (19)
3.3 本章小结 (21)
第4章曲轴系统的激发力矩 (22)
4.1 作用在发动机上的单缸转矩 (22)
4.2 多拐曲轴上第k阶力矩谐量的相位关系 (24)
4.3 本章小结 (25)
第5章轴系强迫振动与共振的计算 (26)
5.1 临界转速 (26)
5.2 曲轴系统的共振计算 (27)
5.2.1 轴系共振计算 (27)
5.2.2 共振振幅计算 (29)
5.2.3 曲轴扭振应力计算 (30)
5.3 本章小结 (31)
第6章扭转振动的消减措施 (32)
6.1 扭转振动的消减措施 (32)
6.2 减振器的设计 (33)
6.3 装减振器后扭振当量系统振动计算 (35)
1
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6.3.1 装减速器后轴系自由振动计算 (35)
6.3.2 装减振器后轴系强迫振动与共振计算 (37)
6.4 本章小结 (37)
结论 (39)
致谢 (40)
参考文献 (41)
附录 (42)
2
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第1章绪论
1.1课题研究的目的和意义
曲轴的功用是承受连杆传来的离心力,并由此造成绕曲轴本身轴线的力矩，并对外输出转矩.在发动机工作中，曲轴受到旋转质量的离心力、周期性变化的气压力和往复惯性力的共同作用，使曲轴承受弯曲和扭转载荷。

所以曲轴的工艺设计和结构设计对发动机的性能和寿命有很大影响。

为了保工作可靠，要求曲轴具有足够的刚度和强度，各工作表面耐磨而且润滑良好。

有良好的静平衡和动平衡，并且在满足上述各项要求的前提下，曲轴的质量要尽可能的小。

在发动机工作过程中，曲轴上个曲拐所承受转矩的大小周期性变化的，而曲轴后端的飞轮具有大的惯量，转速可以看成是均匀的，所以各曲拐相对于飞轮就会发生大小和方向作周期性变化的相对扭转振动，这就是扭振。

扭振时，曲轴前端的角振幅最大，如果扭振的频率与曲轴系统的固有频率相等或是他的某一倍数时，就会发生共振。

这不仅会引起很大的噪声，而且影响布置在曲轴前端的定时传动系统的转动精度，严重时甚至造成曲轴断裂。

所以通过对曲轴轴系进行扭振分析，确定其扭振频率，然后通过优化曲轴的设计，或者加装相关零件机构如扭振减振器，使发动机正常工作转速范围内的不发生扭振。

1.2国内外研究现状
基于EXCITE-Designer的车用汽油机曲轴扭转振动分析：用AVL公司的EXCITE-designer软件,建立四缸发动机的曲轴扭振模型,对比了曲轴安装
减振器前后扭振特性的变化。

瞬态动力学计算轴系强制扭转振动：论述了应用瞬态动力学计算轴系强制扭转振动的方法,以某发动机为例,计算其临界转速下的共振振幅及曲轴系统各轴段的扭振附加应力,并进一步计算了在不同转速工况下的主谐次振幅和轴段扭振最大应力,计算值和试验数据比较表明了该方法的可行性。

ANSYS在内燃机曲轴扭振分析中的应用：利用ANSYS有限元软件，建立轴系有限元模型，对轴系进行静力分析、模态分析和动态响应分析。

3
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用相干函数分析内燃机曲轴纵向振动产生机理：通过对一台四缸柴油机曲轴自由端扭转/弯曲/纵向振动加速度信号进行相干分析
对曲轴扭振引起的内燃机噪声的研究：探讨内燃机噪声与曲轴扭转振动的关系，在对活塞、曲柄、连杆机构的动力学分析和试验研究的基础上，探讨曲轴扭转振动共振时，将导致部件的相互作用加剧，增大结构的噪声；当曲轴有扭转共振时，扭振减振器可有效地降低噪声；通过对发动机机体的动态设计，使机体有合理的振型和固有频率，以及优化活塞与缸套的配合是降低曲轴振动与机体辐射噪声。

内燃机测试技术的发展：在分析内燃机曲轴扭转振动的几种测量方法原理及其系统结构特点的基础上，开发研究了采用PC机对曲轴扭振进行测量的新的数字化方法，并介绍了该方法的工作原理及测量结果。

结果表明，采用角标器利用微机技术对曲轴进行数字化测量的系统，克服了以往扭振测量方法的缺点，可直接对扭转角进行测量，精度高，线路简单且由于采用并行数据接口，可提高测量的实时性。

曲轴系统扭转振动计算的新方法：将矩阵中的数值计算理论和振动中的模态约束理论应用到扭转振动的领域内,从而建立了一个曲轴系统扭转振动计算的新方法(简称 MI 法),并为这个方法编制出通用程序,经过与传统的HOLZER 法对比分析,证实了新方法的可靠性和优越性。

1.3本课题的研究内容及技术方案
a.然后利用三维建模软件Pro/E对其进行建模，通过Pro/E的模型分析功能求取曲轴的当量转动惯量，通过Pro/E中Mechanica模块求取曲轴的当量刚度；
b. 采用矩阵法或者霍尔茨法，并通过matlab编程计算曲轴的自由振动，求取曲轴的振型和固有频率；
c. 对曲轴激振力矩进行简谐分析，求取激振力矩各介次的转矩振幅幅值；
d. 对曲轴进行强迫振动和共振计算，确定轴系的临界转速、共振幅值及共振时的扭转应力；
e.通过比较扭转应力的大小，判定该轴系是否需要采取减振措施，若需要减振，则为曲轴设计合适的减振器。

4
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1.4本文的主要研究内容
本课题的研究内容主要是通过对曲轴三维模型的分析，确定曲轴的振型、固有频率、共振振幅以及扭振应力，若扭振强度超出一定范围，为曲轴系统设计合适的减振器。

具体流程为：
1.曲轴扭转振动系统的简化；
2.轴系自由振动的计算；
3.激振力矩的简谐分析；
4.轴系强迫振动与共振的计算；
5.确定扭振的消减措施及减振器的设计。

5
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6 第2章 曲轴当量扭振系统的组成与简化
2.1 当量系统的组成与简化
内燃机曲轴扭振系统是曲轴和与曲轴一起运动的有关部件（如活塞、连杆、飞轮、带轮、转动轴、风扇、螺旋桨、发电机转子、凸轮轴等）的总称。

这些都是连续的体系，有复杂的几何形状，而且有些零件并不是做简单的旋转运动（如活塞、连杆）。

在传统的计算方法中，为了便于研究，在保证一定计算精度的前提下，往往要把复杂的系统简化：将非旋转运动简化为旋转运动，将连续分布体系简化为由集中质量和扭转弹性直轴段组成的离散体系。

为此，需要换算各机件的转动惯量和扭转刚度，以组成动力学等效离散化多自由度扭振系统。

其转化原则是要保证转化前后的系统动力学等效。

这样才可以保证两者的固有频率和固有振型基本相同。

所说的动力学等效是指固有振动（或自由振动）中两系统的位能和动能对应相等，为此需要将对应轴段简化为只有惯量而无弹性的集中旋转质量（圆盘）和只有刚度而无惯量的轴。

简单来说，当量振动系统的组成就是根据动力学等效原则，将等量转动惯量布置在实际轴上有集中质量的地方（如曲轴、飞轮等）；等量轴段刚度与实际轴段刚度等效。

但没有质量。

这一换算过程实际上就是确定各轴段的弹性参数和惯量参数，并组成便于计算的简化系统的过程。

有时为了简化，可以把几个当量圆盘合并成为一个以减小振动系统的自由度数。

例如，单列六缸或V 型十二缸发动机的七质量系统或八质量系统一般可以简化为三质量系统（图2.1 c ）。

质量合并时，合成质量的转动惯量∑I 和当量长度∑L 由下列两式决定
32101I I I I I +++=∑
3
210*33*22*11*
001I I I I L I L I L I L I L ++++++=∑ i I I ∑=∑
i
i I L I L ∑∑=∑*
i
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7
图2.1 多拐曲轴当量系统的组成与简化
2.2 当量转动惯量的计算
因为当量系统已经简化为只有转动惯量而无弹性的圆盘和只有刚度而无惯量的轴，所以对于四缸柴油机，只要求取五个圆盘的转动惯量即可。

现代工程领域，三维实体设计软件得到广泛的应用，本文通过运用Pro/E 软件来求取曲轴各质量块的转动惯量。

首先通过Pro/E 软件构建曲轴的三维实体模型（图2.2），材料球墨铸铁QT800，弹性模量150GPa ，泊松比0.3，密度7800kg/3m ，切变模量75GPa 。

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图2.2 曲轴三维模型
然后通过Pro/E软件将曲轴分成六个质量块（图2.3），是用Pro/E的模型分析功能，得出每个质量块的转动惯量。

质量块1 质量块2
质量块3 质量块4
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9
质量块5 质量块6 图2.3
由Pro/E 软件计算得转动惯量，见表2.1
质量1 质量2 质量3 质量4 质量5 质量6 转动惯量 （2kg m ⋅） 0.002002
0.03033
0.03110
0.03110
0.03033
0.005184
从有关资料获得其它部件的转动惯量，见表2.2 减振器轮毂
皮带轮 飞轮 机油泵齿轮
飞轮齿圈 转动惯量 （2kg m ⋅）
0.0213
0.0502
0.8610
0.0026
0.1175
活塞连杆机构作往复运动部分的当量转动惯量可按下式计算：
()[]212
e 12
m k m R I R -+= （2kg m ⋅）
（2.1） （R 曲柄半径、1m 活塞组质量、2m 连杆组质量、k 为连杆组的回转质量与其总质量的比，去k=0.7）
连杆回转运动部分的当量转动惯量按下式计算：
220kR m I R = (2.2) （2.1）、（2.2）式中，R=0.0585mm 、1m =1.96kg 、2m =2.40kg 代入得:
0044831.0e =R I （2kg m ⋅）
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10 0057494.00=R I （2kg m ⋅）
两项和为：
010232.00e =+R R I I （2kg m ⋅）
下面通过以上数据，求取不带减振器时当量系统各质量的转动惯量 1I 为皮带轮、轮毂和曲轴质量块1的转动惯量之和： 1I =0.00200+0.0502+0.0213=0.0735
2I ~5I 为曲轴质量块2~5与活塞连杆机构当量转动惯量之和： 2I =0.03025+0.01023=0.0405 3I =0.03110+0.01023=0.0413 4I =0.03110+0.01023=0.0413 5I =0.03025+0.01023=0.0405
6I 为机油泵轮、飞轮齿圈、飞轮和曲轴质量快1的转动惯量之和： 6I =0.0026+0.1175+0.8610+0.00518=0.9863
结果见表2.3
2.3 当量刚度的计算
通常，柴油机相邻气缸中心线时间曲轴的刚度通过经验公式求取。

由
于经验公式计算复杂且误差较大，现在一般用三维软件计算。

本文中使用
Pro/E 中的Mechanica 模块求取曲轴的当量刚度。

首先，通过Pro/E 软件从曲柄销中心将曲轴分成五个刚度块，如图2.4
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刚度块1 刚度块2
刚度块3 刚度块4
刚度块5
图2.4
然后将上述曲轴刚度块分别导入到Pro/E软件的Mechanica模块中，进行Structure分析。

设定好刚度块的材料参数后，接下来定义各刚度块的边界条件：将刚度块的一端进行全约束（六个自由度全部固定），然后在刚度块的另一端施加一个方向与曲轴旋转轴线在一条直线上的纯扭矩，如图2.5
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刚度块1载荷与约束刚度块2载荷与约束
刚度块3载荷与约束刚度块4载荷与约束
刚度块5载荷与约束
图2.5
接下来对各刚度块进行网格划分，如图2.6
刚度块1网格刚度块2网格
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刚度块3网格刚度块4网格
刚度块5网格
图2.6
运行程序，求解完毕后，加载各刚度块的位移图，读取自由端面（施加载荷一端）的位移信息，见图2.7
刚度块1位移
13
哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）刚度块2位移
刚度块3位移
刚度块4位移
14
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15
刚度块5位移 图2.7
读取上图中的数据，各刚度块自由端面的最大位移分别为： 刚度块1 刚度块2 刚度块3 刚度块4 刚度块5 位移（m ） 7.163E-5
6.528E-5
5.915E-5
6.379E-5
3.477E-5
通过刚度计算公式：
ϕ
M K =
半径
扭转位移=ϕ
上文中，M=1000N ⋅mm ，半径为曲柄销上的点与曲轴旋转中心的最远距离，即曲柄半径与曲柄销半径之和，这里为92.5mm 。

代入上式中，计算得扭转刚度为：
刚度块1
刚度块2
刚度块3
刚度块4
刚度块5
扭转刚度（N.m/rad ）
1215026.9
1416973.0
1563820.8
1450070.5
2660339.4
2.4 本章小结
本章首先介绍了曲轴轴系的简化方法和原则，然后通过三维建模软件和
有限元的方法来确定曲轴各轴段的转动惯量和扭转刚度，避免使用不准确的办经验公式进行大量的手工计算，使计算结果相对精确。

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16 第3章 轴系自由振动的计算
自由振动的计算，在整个扭振振动计算中占有相当重要的位置。

自由振
动主要计算扭振系统的固有频率、振型，它是一切扭振振动计算的基础，通过它可以确定系统的临界转速，扭振应力，确定扭振测试的位置，也是扭转振动减振器设计和安装的依据。

自由振动的计算方法有二三十种之多，如雅克比（Jacobi ）法、模态分析法、子空间迭代法等，本文采用霍尔茨（Holzer ）法和矩阵法。

霍尔茨法是一种逐次渐进法，通过数次渐进求得近似的系统固有频率。

虽然霍尔茨法并不是最好的方法，但是因为在计算中可以同时求得系统中各集中质量的对振幅及各轴段的弹性力矩，并由此得出在该固有频率的振型，所以霍尔茨法依然是一种比较实用的方法，在自由扭振计算中得到广泛的应用。

3.1 霍尔茨法计算系统的自由振动
在工程计算中，当质量的个数≥4 时，一般采用霍尔茨近似计算法求解头几个低价的固有频率和其相应的相对振幅。

又称为“扭矩求和法”，它属于用试算来逼近的一种求法。

对于一个孤立的系统来说，在自由振动下，其
惯性力矩之和 0..
n
1=∑
=i i i I ϕ。

根据简谐振动的性质，各个惯量i I 处的角位移i
ϕ与角加速度..
i ϕ的关系是i i p ϕϕ2..
-=。

在扭振系统不计阻尼的平面振型下，全部i ϕ将同时达到最大值。

因此，可将角位移i ϕ换成相对振幅i α，于是当所有的惯量都同时到达极限位移时，惯性力矩之和可写成02=∑i i p I α，这就是霍尔茨法的理论根据。

以三质量系统为例，任一质量的惯性力矩可以定义为：
i i I M ..
i ϕ=
令：pt A i sin i ϕ= 则惯性力矩的幅值为：
i i A p I M 2i =
合成扭矩为零的表达式为：
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17
0p
2
n
1
=∑=i i i A I （3.1）
从惯性质量1I 的运动方程式：
()121..
11122,1k ϕϕϕϕp I I -==- (3.2) 可得：
2
,11
2112p -k I ϕϕϕ= (3.3) 从惯性质量2I 的运动方程式：
()()222..
22122,1233,2k -k ϕϕϕϕϕϕp I I -==-- (3.4) 将式（3.2）代入式（3.3）中得:
()222121233,2-k ϕϕϕϕp I p I -=-
解的：
3
,22
221123-k p I I ）（ϕϕϕϕ+= （3.5）
可以推断出，对于n 个质量系统，第n 个惯性质量的角位移的通式为：
n n n n n k p I I I I ,12112222111n -----+⋅⋅⋅+++=）（ϕϕϕϕϕϕ （3.6）
式（3.6）可以用来计算给定位移下的全部角位移。

如果对1ϕ取1，则可求得各个惯性质量的角位移的相对值。

令i ϕα=i ，且11=α，推得各个惯性质量的相对幅值和惯性扭矩的递推公式：
11=α 1211p αI M = 2
,11
12-
k M αα= 12222p M I M +=α …… ……
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18 1
,22
2-n 1-n k ----=n n n M αα 21211p ----+=n n n n M I M α n
n n M ,11
1-n n k -
--=αα 12p -+=n n n n M I M α 取一个试算频率 p 带入上式求扭矩和，变换频率试算，当剩余扭矩n
M 趋近于零时，此时的试算频率 p 就是该系统的一个固有频率。

同时还可求出各个惯性质量的相对振幅。

霍尔茨法可用图3.1表示，计算相当于对 f （p ）=n M 进行频率扫描。

计算时需要判别相连两次计算的剩余扭矩之积的符号，当符号为“+”时按计算步长继续往前搜索，为“−”时用“二分法”缩短步长计算。

计算的允许误差限可以给定一个很小的剩余扭矩值。

利用以上原理可以编制多缸柴油机曲轴系统扭转振动固有频率和主振型的电算程序。

图3.1 霍尔茨法示意图
由霍尔茨法求得的n p 值就是系统的固有振动圆频率，所以系统的固有振动频率n f 为
n n n p p p f 1592.060
55
.9212==
=
π
(Hz) （3.7） 或 n n n p p f 55.9260
==
π
(c/min) （3.8） 将各个质量的相对振幅k α ，依次按照比例画在按一定柔度比例作的各 质量的位置上，然后连接各质量的相对振幅k α 值，称为振型图（参见图 3.2），代表了系统在振动时各质量的振幅大小。

在振型图上，任一位置的相
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19 对振幅代表了此截面处轴的相对扭转角。

相对振幅为零则表示该截面的轴段没有变位，此截面就称为节点。

节点的位置可根据相邻两质量间的柔度和相对振幅值来求出。

根据求得的振型图中的相对振幅的方向或霍尔茨表中相对振幅正负号的变化，可以确定振动的节点数。

振型图中的节点的个数即表示相应的振动频率数，单结振动时，相对振幅由正变负只有一次，双结振动时，相对振幅为由正转负，又由负转正，共两次，依次类推。

双节点振型 单节点振型
图3.2
3.2 固有频率和振型的计算
将各个惯性质量的相对幅值和惯性扭矩的递推公式：
11=α 1211p αI M =
2,1112-
k M αα= 12222p M I M +=α ……
1,222-n 1-n k -
---=n n n M αα 21211p ----+=n n n n M I M α n
n n M ,111-n n k ---=αα 12p -+=n n n n M I M α 编译成matlab 程序，程序见附录1。

其中bisection 为二分法函数程序保存的M 文件，程序见附录2。

程序运行结果为1753.827、4758.103、7877.187，即系统的前三介固有圆频率分别为p=1753.827、4758.103、7877.187。

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20 固有频率π
2p f =
，计算得系统前三介固有频率为： f=279.13、757.28、1253.69
通过上述matlab 程序，求得相对振幅a1、a2、a3、a4、a5、a6关于x （即固有圆频率p ）的表达式（取a1=1），将所求得的固有圆频率值分别代入到各个表达式中，即可求出在不同介次固有频率下各惯性质量的相对振幅。

当f=279.13,即p=1753.827时 a1=1 a2=0.814 a3=0.583 a4=0.326 a5=0.206 a6=-0.147
当f=757.28,即p=4758..103时
a1=1 a2=-0.370 a3=-1.305 a4=-1.372 a5=-0.560 a6=0.757 当f=1253.69,即p=7877.181时
a1=1 a2=-2.754 a3=-1.089 a4=2.204 a5=1.860 a6=-0.845 将求得的同一介次的不同惯性质量的相对振幅连成折线，即为曲轴系统的振型图（如图3.3）,matlab 程序见附录3。

单节点振型 双节点振型
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三结点振型图一到三结点振型图
图3.3
3.3本章小结
自由振动计算是柴油机强迫扭振计算的基础,本章主要介绍了用霍尔茨法计算系统自由振动的原理和方法。

此外，作者还根据霍尔茨法的原理编制了MATLAB程序来计算本文中的当量扭振系统的自由振动的相对振幅和固有频率。

21
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22 第4章 曲轴系统的激发力矩
4.1 作用在发动机上的单缸转矩
单缸转矩M 由气压力形成的转矩g M 和往复惯性力形成的转矩j M 两部分组成，即j M M M +=g ，它虽然是周期函数，但变化规律很复杂。

不过根据傅里叶级数理论，每一个周期函数均可用一个由不同初相位、不同振幅和不同周期的简谐量组成的无穷级数来表达。

在一定精度内，可以用一定项数的有限级数和来逼近。

针对每一项简谐分量研究曲轴系统的强迫扭转振动时，上述强迫振动的分析仍然有效。

由于每一项简谐力矩都可能引起共振，所以曲轴系统的共振有很多共振工况。

图4.1 单缸转矩曲线
把图4.1所示的转矩周期函数分解为傅里叶级数的工作，称为调和分析或简谐分析。

该转矩原是由离散点表示的曲线，横坐标表示将曲轴转角分为m 等分。

假设每一循环的单缸转矩都是一样的，是周期性变化的，根据傅里叶级数理论，这样一个周期函数可以用三角级数和的形式表示为
)sin()sin(n
10k 1
0k k k a k k k k a
k
t M M t M M M δωδω++≈++=∑∑=∞== )sin(t n 1
0k k a k t k M M δω++=∑= （4.1）
上述过程也叫做傅里叶变化，其中
哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计） 23 ⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧===≈=≈+=∑∑∑∑∑∑======m i m
i i i m i m
i i i i i k m i m
i i
i i i k k k a M m m M M k M m k m M B k M m k m M A B A M 11011112
2k
1221sin 2sin 21cos 2cos 21ππααππααππ （4.2） 这里为了进行傅里叶变换而将一个周期内的单缸转矩分成了m 等分，其中0M 为平均转矩，)sin(k k t a k M δω+ 为转矩的第k 阶谐量，表示该谐量在2π周期内变化k 次，称为摩托阶数。

对于二冲程发动机，曲轴一转即π2=T 为一个周期，k 为自然数；对于四冲程发动机，曲轴两转即π4=T 为一个周期。

因此相对于数学上的周期来讲，曲轴一转（2π）内四冲程发动机的k 阶力矩仅变化了k/2次，则四冲程的摩托阶数存在变数阶，即k=0.5, 1, 1.5 ...故对于四冲程发动机，转矩的简谐分析表达式为
)k sin(n 5.00k t k a k t M M M δω++
=∑=
将4.2式编译为matlab 程序，程序见附录4。

求得的单缸转矩振幅幅值绘制成直方图为
图4.2 单缸转矩振幅幅值随阶数变化的直方图
哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）
24 4.2 多拐曲轴上第k 阶力矩谐量的相位关系
多拐曲轴其它拐上的力矩谐量与第一拐上的相同，只是在相位上依工作顺序有所不同。

设第一拐上的第k 阶力矩为
)sin(1k 11k a k k M M δα+=
()t t ωα= 则第i 拐上的第k 阶力矩为
])-(sin[1k 11k i a k k M M δθα+=
)]-(sin[1k 1i k a k k M θδα+=
式中，i θ为第i 拐与第一拐的点火间隔角，即第i 拐上的k 阶力矩初相位为i k ki k θδδ-=1，第i 拐与第一拐上k 阶力矩（幅值）间的相位差为
i k ki k θδδ-=-1
例4-1 四冲程四缸发动机（1-3-4-2），求各阶简谐力矩的相位差
解 对于四冲程发动机，k=0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, ……
第三拐上第k 阶力矩的相位差 180-k 313⨯=-=-θδδk k k
第四拐上第k 阶力矩的相位差 360-k 414⨯=-=-θδδk k k
第二拐上第k 阶力矩的相位差 540-k 212⨯=-=-θδδk k k
知道了各拐各阶简谐力矩的相位关系，利用前面的自由振动方法求出曲轴系统在某一阶固有频率下的各拐相对振幅后，就可以利用矢量求和的方法求出相对于第k 阶简谐力矩的相对振幅矢量和。

可以得到如下结论：
1） 当谐量的阶数为曲轴每一砖中点点火次数的整数倍时（τ/2im k =），该阶振幅矢量位于同一方向，可以用代数方法合成，该阶谐量称为主谐量。

主谐量的相位与点火顺序无关。

2） 当τ/)1-2(i m k =时，各曲拐该阶力矩幅值作用在同一直线上，方向不同，称为次主谐量。

如上例中的k=1, 3, 5,……。

3） 若曲拐侧视图有q 个不同方向的曲拐，则有2/τq 个相位图。