第七章离散变量和随机变量的最优化方法

随机变量优化设计的基本概念（ §7.5 随机变量优化设计的基本概念（续3）
若 x* ∈ D 对于所有
x ∈ UN ( x *) I D 恒有f ( x *) < f ( x ),
则 x * 为离散变量优化设计的局部最优点。 当 D 为凸集，f ( x )为定义在凸集上的凸函数时， 则 x * 为离散变量优化设计的全局最优点。
三、收敛准则： 收敛准则： 需要判断其是否收敛。 设当前搜索到的最好点为 x(k)，需要判断其是否收敛。在 x(k) 的单 个点， 的目标函数值更小的点， 位邻域中查 3n – 1 个点，若未查到比 x(k) 的目标函数值更小的点， 则收敛， 则收敛，x* = x(k) 。
A
● ●
B
●
C E
UN(x) = {x,A,B,C,D,E,F,G,H}； ； 个点： 离散坐标邻域共 2n+1 个点： UC(x) = {x,B,D,E,G}。 。 0
D
●
εi x
∆− i
●
εi
●
∆+ i
●
●
●
F
G
H
x1
§7.4 离散变量优化设计的最优解 及收敛条件 (续)
二、离散最优解： 离散最优解：
一、离散单位邻域 UN(x) 和坐标邻域 UC(x) ：
xi + ∆−，xi，xi + ∆+ i = 1,2,L , p i i UN ( x ) = x i = p + 1, p + 2,L, n xi − ε i，xi，xi + ε i 其中： ∆−，∆+ 是离散变量之间的离散间隔， i i
二. 工程实际设计的需要： 工程实际设计的需要：
b
决定修建一条防洪堤坝。 例： 决定修建一条防洪堤坝。根据 历年的水文资料，台风的年最大风速： 历年的水文资料，台风的年最大风速
µ max 服从对数正态分布， 即 µ max～LN µ x , σ 2 ( m / s ) x 其中：均值 µ x = 80 ( m / s )， 方差 σ 2 = 12 ( m / s )； x 海浪高度 H 与年最大风速成正比， H = 0 .2 µ max ( m )； 海浪对堤坝的压强： P = 0 .13 µ 2 ( MPa ) max
x iu − x il εi = li − 1 L i = p + 1， p + 2， ， n
其中： x iu， x il 为连续变量 x i的上、下界， l i 为欲取离散值的个数。 x i 坐标轴上的第 j 个拟离散点为： x ij ， ： x ij − ε i， x ij， x ij + ε i
§7.4 离散变量优化设计的最优解及 收敛条件 (续2）
伪离散最优解和拟离散最优解： 四、 伪离散最优解和拟离散最优解： 1、伪离散最优解： 、伪离散最优解： 在判断x 是否收敛时， 在判断 (k)是否收敛时，只在 x(k) 的 坐标邻域中查点， 坐标邻域中查点，所得到的最优点是 伪离散最优点。 伪离散最优点。 2、拟离散最优解： 、拟离散最优解： 用以连续变量优化设计方法为基础的 拟离散法” 离散惩罚函数法” “拟离散法”、“离散惩罚函数法”等， 先求得连续变量最优解（ 点），再圆整 先求得连续变量最优解（A点），再圆整 到可行域内最近的离散点（ 点 是 到可行域内最近的离散点（C点）,是拟离 散最优点。 散最优点。 B点才是离散最优点。 点才是离散最优点。 点才是离散最优点
§7.2
离散变量优化设计的基本概念
整型变量和连续变量的离散化： 二. 整型变量和连续变量的离散化：—— 是均匀离散 1、整型变量的离散： 、整型变量的离散： 的离散变量。 整型变量可看作为是离散间隔恒定为 1 的离散变量。是离散变量 的特例。 的特例。 2、连续变量的离散化： 连续变量的离散化： 有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。 有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。 方法： 方法：
其相邻两个拟离散点为
§7.3 离散变量优化设计的数学模型
X = [x1 , x2 , L xn ] XC min . s.t.
T T
X D = x1 , x2 , L x p ∈ R p , x p + 2 , L xn ∈ R n − p p +1
T
f (x ) X ∈ R n = R p U R n− p g u ( x) ≤ 0 u = 1,2, L , m
第七章 离散变量和随机变量的最优化方法
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 §7.5 §7.6 §7.7 引言 离散变量优化设计的基本概念 离散变量优化设计的数学模型 离散变量优化设计的最优解及收敛条件 随机变量优化设计的基本概念 随机变量优化设计的数学模型 随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解
(
)
h H
现在需要设计堤坝的截面尺寸 b 和 h，在保证不受灾害的概率不低于 ， 99.9%，堤坝不受冲压损坏的概率不低于 99.0% 的要求下，使投资最小。 ， 的要求下，使投资最小。
§7.1 引言 （续2）
传统方法的局限： 三. 传统方法的局限： 求离散问题的最优解， 例，求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化设 求离散问题的最优解 计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。 计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。 弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最优解。 弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最优解。 x* 是连续变量最优点； 是连续变量最优点； x(1) 是圆整后最近的离散点， 是圆整后最近的离散点， 但不可行； 但不可行； x(2) 是最近的可行离散点，但 是最近的可行离散点，
[ = [x
]
]
可行域：
D = {x g u (x ) ≤ 0，u = 1,2,L , m} ⊂ R n
注：设计空间有离散空间部分。 设计空间有离散空间部分。 但约束面不离散，也不一定分布有离散点。 但约束面不离散，也不一定分布有离散点。 K-T 条件不再适用。 条件不再适用。
§7.4 离散变量优化设计的最优解及 收敛条件
●
x2
X(2) X
不是离散最优点； 不是离散最优点；
●
X(3)
● ●
x* (1) x1
x(3)
是离散最优点。 是离散最优点。
0
§7.2
离散变量优化设计的基本概念
qij-1
●
设计空间： 一. 设计空间： 1、一维离散设计空间： 、一维离散设计空间：
qij
●
qij+1
●
Xi
在 xi 坐标轴上有若干个相距一定间隔的离 散点，组成的集合称为一维离散设计空间。 散点，组成的集合称为一维离散设计空间。 离散点： L，qij −1 , qij , qij +1 ,L i = 1,2,L , n j = 1,2, L, l代表离散点个数；
§7.2
离散变量优化设计的基本概念(续）
3、N-P 维连续设计空间： 、 维连续设计空间： N 个设计变量中有 P 个离散变量，此外有个 个离散变量，此外有个N-P 连续变量。 连续变量。 N-P 维连续设计空间 维连续设计空间: 4、N 维设计空间： 、 维设计空间：
X C = x p +1 , x p + 2 , L , xn ∈ R n − p
随机变量优化设计的基本（ §7.5 随机变量优化设计的基本（续）
三、随机参数： 随机参数： 已知分布类型和分布参数（或特征参数），且相互独立的随机 已知分布类型和分布参数（或特征参数），且相互独立的随机 ）， 变量。 变量。 在优化过程中， 在优化过程中，随机参数的分布类型及分布参数是不随设计点 的移动而变化的。 的移动而变化的。 随机参数的向量表示如下： 随机参数的向量表示如下：
§7.1 引言
一. 变量类型： 变量类型：
工程实际问题中不是单一的连续变量， 工程实际问题中不是单一的连续变量，经常是各种类型变 量的混合。 量的混合。有： 连续变量 确定型 整型变量 离散变量 随机变量 不确定型 混合变量 所以需要相应的优化方法。 所以需要相应的优化方法。
§7.1 引言 （续）
q11 q 21 Q= M q p1 q12 q22 M q p2 L q1l L q2 l O M L q pl p×l
因为离散变量是有限个， 注：① 因为离散变量是有限个，所以离 散空间是有界的。 散空间是有界的。 ② 某个离散变量的取值不足 λ 个， 其余值可用预先规定的自然数补齐。 其余值可用预先规定的自然数补齐。
T
[
]
R n = R p U R p −n
其中：离散设计空间为： 其中：离散设计空间为： X D = x1 , x 2 , L , x p 连续设计空间为： 连续设计空间为： X C = x , x p +1 p+2
[
[
] ,L, x ]
n
T
∈Rp ∈ R n− p
T
为空集时， 为全连续变量设计问题； 若 Rp 为空集时，Rn 为全连续变量设计问题； 为空集时， 为全离散变量设计问题。 若 Rp-n 为空集时，Rn 为全离散变量设计问题。
T X = [x1 , x2 , L , xn ] ∈ (Ω，T ， P ) ⊂ R n
Baidu Nhomakorabea
五、分布类型及其参数的确定： 分布类型及其参数的确定： 方法 一： 由试验或观察，测量得 ： 由试验或观察， 到随机变量的相关数据， 到随机变量的相关数据，作出样本的 直方图，然后选择分布类型， 直方图，然后选择分布类型，进行假 设检验和分布参数的估计。 设检验和分布参数的估计。
UC ( x ) = { ( x ) I ei UN
ε i是拟离散变量（连续变量）之间的拟离散间隔。
UC ( x )是过 xi的各坐标轴的平行线与 离散单位邻域 UN ( x )的交点的交集。
i = 1,2, L , n}
ei 为各坐标轴，
x2
例，二维离散空间中， 二维离散空间中， 二维离散空间中 离散单位邻域共 3n 个点， 个点，
离散间隔： ∆+ ，∆− L i i 只有在均匀离散空间中：+ = ∆− = ∆ ∆i i
∆− i
∆+ i
2、P 维离散设计空间： X D = [x1 , x 2 , L , x p ]T ∈ R p 、 维离散设计空间： P 个离散设计变量组成 P 维离散设计空间。每个离散变量可取有限个 维离散设计空间。 数值， 来表达。 （λ）数值，这些数值可用矩阵 Q 来表达。
§7.5 随机变量优化设计的基本概念
一、随机变量的概率特性（略）： 随机变量的概率特性（ 二、随机变量： 随机变量： 随机现象的每一个表现，通称为随机事件 随机事件。 随机现象的每一个表现，通称为随机事件。 随机事件可用数值表示，随着观察的重复，可获得一组不同的数值。 随机事件可用数值表示，随着观察的重复，可获得一组不同的数值。 对随机现象作观察，测量的变化量称为随机变量。 对随机现象作观察，测量的变化量称为随机变量。 随机变量 例如，加工了 加工了3000根直径为 d = 45.00 +0..0492 的轴。抽取测量了 加工了 根直径为 − 0 0558 的轴。抽取测量了300 根轴的直径，直径值的分布情况如图，在公差范围内的有297根轴。 根轴的直径，直径值的分布情况如图，在公差范围内的有 根轴。 根轴 的轴，是一个随机事件； 加工直径为 d 的轴，是一个随机事件； 随机变量； 直径 d 为 随机变量； 加工3000根轴，是事件的总体； 根轴， 事件的总体； 加工 根轴 测量300根轴的直径，是事件的样本空间。 根轴的直径， 事件的样本空间。 测量 根轴的直径 事件的概率。 合格 99% 是事件的概率。
T ω = ω1 , ω2 , L , ωq ∈ Ω, T ，P） R q （ ⊂
[
]
其中： Ω, T ，P） 为概率空间， （ Ω 为事件的样本空间，
T 为事件的总体
P 为事件的概率。
Ω∈ T ，
随机变量优化设计的基本概念（ §7.5 随机变量优化设计的基本概念（续2）
随机设计变量： 四、 随机设计变量： 在优化过程中，随机变量的分布类型及分布参数（或特征参数） 在优化过程中，随机变量的分布类型及分布参数（或特征参数）需要 通过调整变化来求得最优解，而且是相互独立的随机变量， 通过调整变化来求得最优解，而且是相互独立的随机变量，称为随机设 计变量。 计变量。 随机设计变量的向量表示方法如下： 随机设计变量的向量表示方法如下：