小波阈值去噪算法的设计及其应用

北方民族大学学士学位论文论文题目:小波阈值去噪算法的设计及其应用
院(部)名称:数学与信息科学学院
学生姓名:黄慧东
专业:信息与计算科学学号:20100433指导教师姓名:黄永东
论文提交时间:2013年5月14日
论文答辩时间:
学位授予时间:
北方民族大学教务处制
小波阈值去噪算法的设计及其应用
摘要
本文主要阐述了小波阈值去噪算法的设计及其应用.
第一章对小波进行了初步的介绍，“小波分析”是分析未经过任何处理的信号所含有的不同的性质，进而用于图像处理、小波滤波、数据隐藏等.比如声音信号频率的高低，发声时间的长短、振幅、旋律等各个方面.从平稳的波形之中发现突变的尖峰.小波分析是依照各种小波基函数对分解原始信号的一种分析方法.
第二章介绍了小波滤波并列举了几种常用的小波滤波算法.时至今日，小波滤波成为了一种新的滤波思路，其功能除了去噪、降噪以外，还兼有平滑、锐化和保留信号特征的功能.
第三章则较为详细介绍了小波阈值去噪算法并进行了算法设计，最后还给出了小波阈值去噪算法的应用实例.小波阈值去噪就是将经过小波分解后的信号通过选取适当的阈值过滤掉带噪信号，再用小波逆变换进行小波重构.
关键字：小波分析，小波变换，小波滤波，小波阈值去噪.
design of wavelet threshold denoising algorithm and its
application
abstract
this article focuses on the wavelet thresholding algorithm design and its application.
the first chapter introduces the wavelet conducted preliminary, " wavelet analysis " is an analysis of various changes in the characteristics of the original signal , and further used in data compression, noise removal , feature selection. for example singing signal: the treble or bass, sound duration , undulating melody and so on. wavelet analysis is the use of a variety of " wavelet function " on "raw signal" decomposition.
the second chapter introduces the wavelet filtering and lists several commonly used wavelet filtering algorithms. today, wavelet filtering has become a new filter ideas, in addition to its function noising , noise reduction , it also combines smooth, sharpen and retain the function of the signal characteristics .
the third chapter is a more detailed description of the wavelet thresholding algorithm and algorithm design , and finally gives the wavelet thresholding algorithm examples . wavelet thresholding is based on the effective signal and noise have different properties at different decomposition scale , constructed using mathematical tools appropriate threshold , and the target signal wavelet coefficients thresholding keywords: wavelet analysis, wavelet transform, wavelet filtering, wavelet thresholding .
目录
第一章小波初步介绍 (1)
1.1小波分析的发展 (1)
1.2小波分析的应用 (1)
第二章小波滤波算法 (5)
2.1小波滤波 (5)
2.2常用的小波滤波算法 (6)
第三章小波阈值去噪算法 (8)
3.1小波阈值去噪算法 (8)
3.2小波阈值去噪的具体步骤: (8)
3.3阈值函数 (9)
3.4小波阈值去噪算法的算法设计 (9)
3.5小波阈值去噪算法实例： (10)
总结 (17)
第一章小波初步介绍
1.1小波分析的发展
什么是小波？小波就是具有衰减性和波动性，并且它波动时振幅有正有负的波.
最早提出小波分析的是法国人j.morlet，他擅长于信号处理.在1986年，数学家y.meyer在一个意外的情况下得到了一个较为标准意义上的的小波基，在那之后，他和s.mallat一起创立用多尺度分析来构造小波基的办法，从那以后，小波分析迈上了不断发展的道路.在这段时期内，当属《小波十讲》真正使得小波分析得到了广泛的推广,到了近年来，小波域阈值滤波方法被donoho等人所建立起来，取得了非常巨大的成功.
小波分析与fourier变换和窗口fourier变换两者作比较，小波得益于其时间和频率的局域变换的特点，从而能有效并且准确的从信号之中提取讯息，通过伸缩和平移等功能，对函数或信号进行多尺度细化分析（multiscale analysis），许多复杂问题不能通过傅里叶变换解决，但小波分析却可以办到，也是由于这点，小波变换被高度称赞，有的人们还称其为“数学显微镜”，成为了调和分析发展历史上一座耀眼的里程碑.
小波分析是一个正在蓬勃发展的新领域，而且经由无数学者数年来的不断探寻钻研，小波分析基础的数学形式系统已然创建好了，理论基础得到了进一步.如今它在信号分析、声音处理、数据隐藏、图像水印、地震勘察、水文分析等领域中的表现非凡，取得了成功，得到了广泛认可.
“小波分析”是分析未经过任何处理的信号所含有的不同的性质，进而用于图像处理、小波滤波、数据隐藏等.比如声音信号频率的高低，发声时间的长短、振幅、旋律等各个方面.从平稳的波形发现突变的尖峰.小波分析是依照各种小波基函数对分解原始信号的一种分析方法.
1.2小波分析的应用
在现实的应用场景中，人们所接收到的信号往往夹杂着各种各样不同的噪声，这些噪声对信号形成了一定干扰，信号的有效性不高，有时甚至能使信号失效，因此信号去噪是信号处理过程中的重中之重.然而传统的根据信号的频谱分析进行带通或低通滤波方法虽然比较简单易操作，却对有效频带内的噪声束手无策，也无法实现高分辨率.小波分析的出现正好提供了一种新的分析方法.它具有
时频分析，多分辨率分析等长处，这些长处与人类的视觉系统的特征一样，因此小波分析的应用领域非常广泛.
1.2.1图像处理
图像是二维的信号，其小波变换就相当于二次一维信号的小波变换：
（1）第一次的一维信号的小波变换就相当于图像的行变换.
（2）第二次的一维信号的小波变换就相当于图像的列变换.
小波变换用于图像压缩有良好的效果，已经形成图像压缩的标准，如jpeg2000.
1.2.2图像压缩
小波变换用于图像压缩：采用小波进行压缩.在经过“小波变换”之后，统计特性变得更好，行和列之间的相关性得以消失.
有损压缩：依照视觉成像机制，把各个不同分辨率的小波系数进行比特匹配.接着转换到一维作熵编码，算术编码和霍夫曼编码等.
无损压缩：采取“整数小波变换”，舍入误差并不存在.不足的是不能进行比特分配.
小波变换用于图像压缩
图1小波变换用于图像压缩
1.2.3数据隐藏
左边为原始图像（1024x768）右边为信息隐藏后的图像（1024x768）
此为隐藏的5张（320x280）交通图像，可完全恢复
1.2.4数字水印
数字水印是一种新的加密方法，有效弥补了传统方法的不足，这些年来人们将其应用了到方方面面.数字水印技术就是通过特定
的算法将所需要隐藏的水印信息直接嵌入到多媒体内容之中，但原内容的价值和使用并不会因此而受到影响，并且人的知觉系统察觉不到水印的存在，只有用指定的的检测器或阅读器才能够为人们所看到.
银行提款机密码嵌入指纹，网上进行身份认证:
（左边为指纹原始图像，右为嵌入水印的图像）
第二章 小波滤波算法
2.1 小波滤波 “小波去噪”是指在小波域上处理小波系数以抑制或去除噪声.在20世纪90年代初，小波去噪以及降噪开始出现在了文献中，随着小波去噪方法的多样化和研究的不断深入，近年来更是发展迅速，时至今日，小波滤波成为了一种新的滤波思路，其功能除了去噪、降噪以外，还兼有平滑、锐化和保留信号特征的功能.小波滤波方法有很多，首先是mallat 等人提出了基于小波变换模极大值原理的滤波方法，后由xu 提出了基于信号尺度间相关性的空域相关滤波算法，随后donoho 等人另辟蹊径，又提出了小波阈值滤波方法.
2.1.1小波滤波原理及模型：
首先，我们来了解下什么事小波变换
平方可积的函数x （t ）的小波变换定义为：
如果)(t ψ满足容许性条件
∞<=⎰
∞ωωωψψd C 02|)(ˆ|
则 wx （a ,b ）=dt t t x b a )()(,*∞∞-⎰ψ 其中]/)[()
/1()(,a b t a t b a -=ψψ. 称为x (t )的小波变换.其中)(,t b a ψ为小波基函数，a 为尺度因子，b 为平移因子，其作用是确定对x (t )分析的时间位置，也即时间中心.若参数a 和b 都是连续变量，则称其为连续小波变换，此时连续小波变换存在逆变换，形如：
2
,0)(),(1)(a dadb t b a Wx C t x b a ⎰⎰∞∞-∞=ψψ 利用此公式可以恢复原信号.
选择适当的母小波)(t ψ，可以使得小波基函数及其傅丽叶变换)(,ωψb a 都能够有着较为不错的局部性，从这里可以得出来的结论是小波分析是时-频分析[7].
2.1.2基本原理：
小波变换具有以下性质：
(1)时频局部化.小波基函数在时、频领域都具有有限或近似有限的定义域，所以在其伸缩平移后依然在时、频域是局部性的；
(2)多分辨率.原始信息分辨率最高，逐层分解后分辨率降低，这样的分解方法可以很好的体现信号的非平稳特征；
(3)选基灵活.小波变换能够灵活选择变换基，可以根据不同应用场合选择恰当的小波函数；
(4)窗口固定但形状可变.尺度因子的伸缩变化能引起小波奇函数的窗口变化，时间窗口随a的增大而增大，频域窗口则相反；
以上特点就是小波去噪方法之所以能够成功的关键所在.可以看出，小波变换的时频局部化特性和多分辨率性使得小波滤波方法能在去噪的很好地保留信号的非平稳特征.
2.2常用的小波滤波算法
迄今为止，常用的小波滤波方法有三类：
(1)基于小波变换模极大值原理的滤波方法（2）基于信号尺度空间相关性的空域相关滤波算法；（3）根据幅值较大的小波系数由重要的信号产生这一个假设的阈值滤波方法.
2.2.1空域相关滤波
最先提出利用尺度空间相关性进行信号滤波思想的是witkin，即从尺度上由粗到细搜索经过子带分解后的信号边缘，再得到去噪后的信号，随后，xu在1994年进一步提出了空域相关滤波法.经过小波变换后得到的信号的小波系数即使在不同的尺度间里也具有很强的相关性，噪声的小波系数却是弱相关的或者是不相关的.将相邻尺度上的系数做乘法运算得到空域相关的系数，若某点经过归一化后的相关系数的幅值大于其小波系数的幅值，我们则认为该点为信号的突变点，将该点提取出来.对提取出的小波系数进行逆变换后，就能得到滤波信号.xu在提出空域相关滤波方法的时候，并没有给出来噪声方差的估计以及终止迭代过程的阈值.pan在计算过各分解尺度上的噪声方差之后，提出了噪声能量阈值的理论计算方法，还给出终止迭代过程的准则，首次提出了理论相对完整的空域相关滤波算法.并对此算法进行了改进，得到了具有令人满意滤波效果的自适应性空域相关滤波算法.这里值得注意的是，相关系数的定义将会直接影响滤波的结果[7].
2.2.2模极大值重构滤波
小波系数的模极大值体现了小波的奇异性，这种方法则是利用了这个性质来重构信号，即通过处理各个尺度上小波系数的模极大值来改变小波的奇异性，而描述信号和噪声在多尺度空间上不同特性的lipschitz指数就可以度量函数的奇异性.mallat认为噪声的lipschitz指数小于零，根据这点可以去除掉噪声，留下模极大值点处的值，再用交替投影法（alternative projection,ap）来重构信号.基于模极大值的重构滤波算法已经有了很好的理论基础，滤波性能也相对稳定，对噪声并无特殊的要求，只要信号与噪声的lipschitz指数不相同，就可以利用此
方法来滤波.其缺点就是：由模极大值重构信号的算法不但复杂，而且计算的难度大，在实际的应用中的滤波效果并不佳.
2.2.3小波域阈值滤波
小波域阈值滤波算法最先由donoho等人提出，其主要思想就是把小波分解后各层小波系数的模值与一特定的阈值进行比较，小于阈值的视为由噪声产生，设为零，小波系数大于阈值时将保留或增强，然后用信号阈值函数处理小波系数，最后，再进行小波逆变换来重构信号，从而达到消除噪声的目的.该方法较为重要的是对阈值和阈值函数的选择，这两个要素决定了去噪后的信号的准确度.
第三章 小波阈值去噪算法
3.1小波阈值去噪算法
小波阈值去噪即是依照有效信号和噪声在不同的分解尺度上有着不一样的性质 ，使用数学的工具构造出合适的阈值，并且对目标信号的小波系数进行相应的阈值处理.其过程，就是利用小波分解将信号按尺度进行多层分解，然后根据以往的经验和学到的知识设置一个阈值λ，小于λ的小波系数认为主要由噪声引起，大于λ的小波系数认为是由有效信号引起，接着消除每个尺度之中由噪声所引发的小波系数，根据情况保留或是加强由有效的信号引发的小波系数，最后，再进行小波逆变换将经过阈值处理后的小波系数重构得出去噪后的信号[5].大致流程图如下：
3.2小波阈值去噪的具体步骤:
(1) 利用小波分解处理带噪信号.确定n 层的小波分解，然后将信号分解为n 层.
(2) 阈值处理.采取恰当的阈值和阈值函数对每一层的高频系数进行处理，将噪声信号过滤出来.
(3) 小波的重构.依照小波分解的第n 层低频的系数和每一层的高频的系数，来进行信号重构.
在以上描述的3个步骤之中，最为关键重要的便是如何应用恰当的方法选取阈值和阈值函数，信号中噪声去除的好不好，全靠这两个点.
阈值的选取方式大致分为两种，全局阈值和局部适应阈值.全局阈值适用于每一层的小波系数，局部阈值是为各层小波系数单独设置的，因而选取更加灵活.
（1） 全局统一阈值（dj 统一阈值）：N ln 2αλ=.其中的α是噪声的标准方差,n 为信号的长度.该阈值是在高斯模型下针对多维独立的正态变量联合分布所得出的[5];
（2）基于零均值的正态分布的置信区间阈值:λ=3α，其中α为噪声的标准方差.该阈值是假设0均值的正态分布变量必定会处在区间［－3α，3α］之内，因此我们通常都会认为绝对值大于3α的系数是由信号产生的，否则就是由噪声所产生的[5].
3.3 阈值函数
主要有这么两种阈值函数选取方式，硬阈值法和软阈值法 硬阈值法：
λ
λ>≤=||,||,0{)(x x x x f
其中λ为选取的阈值（下同）.即将信号的绝对值与阈值对比，信号的绝对值小于等于阈值则设其为0，若信号的绝对值大于所选阈值，则信号将保持不变. 软阈值法：
λ
λλ
>-≤=||),|)(|sgn(||,0{
)(x x x x x f
其中()0
,10,1{sgn ><-=x x x
这里将信号的绝对值与设置的阈值作比较，信号的绝对值小于等于阈值则设其为0，若信号的绝对值大于阈值，则将其设置为信号绝对值与阈值的差.
对比这两种阈值函数的选取.硬阈值方法能很好的反映信号的非平稳特征 ，但是它是不连续的，会导致重构之后的信号有所波动，所以去噪后的信号残留的噪声会很明显；软阈值法具有较好的连续性，所以去噪结果更平滑，然则它的导数不具有连续性，其预计小波系数与初始小波系数值相比有一个固定不变的差值，而且对大于阈值的系数进行定值压缩与噪声随着小波系数增大而减少的事实不符合，所以软阈法处理后的小波系数较好处理，但可能会使图像边缘模糊出现失真.
3.4 小波阈值去噪算法的算法设计
小波阈值算法以其简单,运算量小的特点,得以大量的运用在信号去噪方面.美中不足之处有二:分解层数越大，白噪声信号的模极大值会跟着下降,这就会导致在用全局阈值处理不同的分解层时会在低频系数中错误的去掉太多的有效信息，在高频系数反而使大量的噪声残留.在进行阈值处理时,硬阈值处理能较好的保存有效信号的局部特征,但由于硬阈值法的不具有连续性,去除噪声后的结果不能稳定；软阈值处理的信号尽管在去除噪声后变得更为光滑,但估计的小波系数与原小波系数之间存在固定的偏差.本文采用的改进方法如下: 3.4.1各层采用不同的阈值
ja K t x WT 2|)(|2≤——（1）
其中k 为一个常数，j 为分解层数，a 为lipschitz 指数，)(2t jx WT 为第j 层的小波系数.lipschitz 指数能衡量信号的奇异性,即是说a 越小,信号突起越多.对于一般信号a >0,即有用信号对应小波系数随分解尺度j 的增大而变大.而白噪声的
lipschitz 指数则为负值0,2
1
>--=εεa ,即噪声对应的小波系数随分解尺度j 的增
大而减小.而白噪声的lip 指数满足：
0,2
1
>--=εεa ——（2）
有（1）式和（2）式可知：
|})(max {|2
2
|})(max {|122t x WT t jx WT n j n +>
其中
)
(2t jx WT n 为噪声对应的第j 层小波系数,由以上式子不难看出噪声说对应的
第j +1层小波系数的最大值比第j 层小波系数的最大值要小,所以,此文在经过阈值处理时每层系数都会使用不一样的阈值,选取恰当的阈值计算方法就可以得到第一层阈值,往下的每层阈值为上一层阈值的
2
2倍，即12
2
+=
j j λλ. 3.4.2采用新的阈值函数
由于软阈值和硬阈值的不足之处明显,在这里选用一种新的阈值函数.该阈值函数要尽可能的结合软、硬阈值的优点，即是说，既要保证新阈值函数的连续性,又要尽可能避免软阈值函数中的固定偏差.拟阈值函数如下:
λλ≥-<=||),|)(|sgn(||,0{i i i i d t d d d i d
其中，2
)]
||[exp(N
d t i λλ
-=
式中n 是一个为正的实数，i d
是经过处理前的初始小波系数,
i
d 是经过处理后的
小波系数.该阈值函数具有连续性,并且当λ≥||i d 的时时候，函数在高阶上可导,这时
i
d 增大，t 的值就会随之减小,这样，处理后的小波系数也不会改变.当n 的
取值非常大时,新阈值函数类似于软阈值函数;当n 接近于0的时候,新阈值函数则类似于硬阈值函数.这也即是说新的函数能够通过调节正实数n 的大小从而得以在软阈值函数和硬阈值函数之间切换,比两种经典的阈值函数灵活了许多.
图1硬阈值函数、软阈值函数及改进法制函数的曲线
图2block信号及去噪结果
图1是硬阈值函数、软阈值函数和新阈值函数曲线,阈值λ=1，n=0.5.从图中能够看出硬阈值函数的不连续性和软阈值函数存在的固定偏差.而新的阈值函数在阈值点处连续,而且在这里的渐近线是硬阈值曲线.
3.4.3实验仿真
在这里使用matlab软件首先把高斯白噪声加到block信号中去,接着再使用dbl小波将初始信号利用小波分解分为5层.通过最小极大方差法得到阈值,分别使用一般的小波阈值去噪方法和本文里设计的小波阈值去噪方法处理小波系数.仿真的结果如图2所示.
从图中可以看出,硬阈值法不能完全去除噪声信号,处理后的信号包含了一些“锯齿”,不光滑.软阈值已经失去了很多有效的信号,使信号在奇异点变化缓慢.而本文设计的小波阈值去噪方法恰恰避免了软、硬阈值两者的不足之处,既成功去除掉了更多的噪声,又还很好的保留了更多的有效信号.
3.5小波阈值去噪算法实例：
心电信号去噪
3.5.1心电信号的噪声特点
心电信号中混杂着的噪声是不平稳的，在其采集过程中会受到来自多类型噪声的干扰，其中以下三种噪声影响较大:
（1）当来自电源的磁场作用于心电图机时，会与周围人体之间形成一个环形电路;
（2）人体肌肉紧张也会产生电路而造成影响; （3）人体呼吸系统也会产生噪声影响.
这些额外的磁场与电路所产生的噪声会严重地干扰心电信号，心电信号会因为这些干扰而变得畸形，还会影响之后对信号的处理,特别是计算机会因此而得出错误的判断，导致不良的后果.可以看出，准确有效的去除心电信号中的噪声是非常有必要的.
(心电信号)
3.5.2小波分析的去噪原理
在现实的应用中，信号一般波动较大，不具有线性还有不少的奇异点.一个原始的一维信号用公式可表示为：
其中，f (t )为真实的信号，s (t )为含噪的信号，e (t )为噪声，σ为噪声的标准偏差. 有效信号通常处于低频地带，而高频信号一般是噪声信号.
在使用小波分析分解原始信号之后，在高频小波系数中包含了大量的噪声信号，有用信号往往集中在数量较少的低频小波系数内；而噪声对应的小波系数则相反.
综合上面的叙述，我们能够利用阈值去噪法来处理小波系数，然后应用小波逆变换进行信号重构，这样就能够消除信号中的噪声.
3.5.3小波分解的示意图：
Time / s
V o l t a g e / m V
)(*)()(t e t f t s σ+=1
_,,1,0n t =
3.5.4一维信号利用小波进行除噪的步骤
1.利用小波变换来去噪的流程示意图：
在小波变换域上进行阈值处理：
3.5.5阈值函数和阈值的选取
阈值函数可以采用硬阈值法或者是软阈值法，阈值则可选择固定阈值、stein 无偏似然估计阈值、启发式阈值和极大极小阈值中的一个.
3.5.6小波函数的选择
小波变换并不只是由正弦函数所唯一确定的，小波基分为了很多种，不同的小波对应不同的信号去噪.对于特定的信号来说，假如小波的选择不当，去噪的结果很有可能相差很远，甚至还有可能丢失一些有用的信息.面对如此之多小波，必须经过大量的仿真研究结果来筛选出能出色处理心电信号的小波.依照不少文献记载，对心电去噪最适宜的函数是b 样条函数：
小波分解系数示意图
预处理
小波变换多尺度分解
各尺度小波系数除噪
小波逆变换重构信号
除噪后的信号
含噪信号
多层小波分解
阀值操作 多层小波重构
b 样条函数是一种非紧支撑正交的对称小波，光滑性比较高，频率特性不错，分频能力也强，还有频带相干较小的特性.在信号处理之中小波的作用就相当于带通滤波器，并且它的对称性和反对称性分别等价为线性相位和广义线性相位.我们知道的是，当一个带通滤波器是非线性相位或广义线性相位的时候，它将会使通过它的信号发生生畸变.本文从理论的和实践的两个角度来看，紧支集的小波则是最有力的一个.b 样条函数是一种基本的样条函数，并且它的支撑区域最小．据上所述，b 样条小波确实是一个很合适的选择.
3.5.7小波去噪效果的评价
2
1)(1∑
=-=
N
i xi yi N
MSE ))
((log *1012210∑=-=N
i i i i y x y SNR
式中的yi 表示标准的原始信号, xi 则表示经处理后的估计的信号.其中，信
噪比mse 越大越好, 多尺度熵snr 则越小越好.
3.5.8小波去噪程序
matlab程序：
应用作为小波函数进行层分解
%db53
%利用无偏似然估计阈值
%对100.dat from mit-bih-db的单导联数据进行去噪处理clear;clc
()
load'D:/matlab/matlab7.2/work/M.mat';
()
=
E M:,2;
=
E E';
()
=
n size E;
()
s E1:2000;
=
%小波分解
[c l]=wavedec(e,3,'db5');
%?从c中提取尺度3下的近似小波系数
()
=
cA3appcoef C,L,'db5',3;
从信号中提取尺度下的细节小波系数
%c1,2,3
()
cD1detcoef C,L,1;
=
()
=
cD2detcoef C,L,2;
()
=
cD3detcoef C,L,3;
% 从c中提取尺度3下的近似小波系数
ca3=appcoef(c,l,'db5',3);
从信号中提取尺度下的细节小波系数
%c1,2,3
()
=
cD1detcoef C,L,1;
()
=
cD2detcoef C,L,2;
()
cD3detcoef C,L,3;
=
使用的无偏似然估计原理进行选择各层的阈值
%stein
%cD1,cD2,cD3为各层小波系数，
%'rigrsure?为无偏似然估计阈值类型
()
=
thr1thselect cD1,'rigrsure';
()thr2thselect cD2,'rigrsure';= ()thr3thselect cD3,'rigrsure';=
%各层的阈值
[]TR thr1,thr2,thr3;=
%'s';'h '.为软阈值硬阈值 SORH 's';=
%-------------------------去噪 %XC 为去噪后信号
[]%CXC,LXC 为的小波分解结构
%PERF0PERF2.和是恢复和压缩的范数百分比 %'lvd ',为允许设置各层的阈值 %'gbl'.为固定阈值
%3为阈值的长度
[]XC,CXC,LXC,PERF0,PERF2wdencmp('lvd ',E,? ...'db5',3,TR,SORH);
= ()%SNR ,%MSE %.N n 2;-----------------------=去噪效果衡量（越大效果越好越小越好）选取信号的长度 x E;
y XC;F 0;
M 0;
====
221:()(()());()();()()/();();();
forii N
m ii x ii y ii t ii y ii f ii t ii m ii F F f ii M M m ii ==-===+=+。