复变函数与积分变换第二章资料

w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
例5、
求下列曲线在映射 w 1 z
下的象
（1）x2 y2 9 （2）x2 ( y 1)2 1
1
x
y
w z u x2 y2 ,v x2 y2
(1)消 x, y 建立 u, v 所满足的象曲线方程或
lim v(x,
( x, y)( x0 , y0 )
例4 研究w z2 所构成的映射 .
w z2 u x2 y2 , v 2xy | w || z |2 , arg(w) 2arg(z)
乘法的模与辐角定理
y (z)
v (w)
o
o
x
u
图1-1
y、v (z)、(w)
o
x、u
图1-2
例4 研究w z2 所构成的映射 .
y (z)
v (w)
记作 w f (z).
E — f (z)的定义域，常常是平面区域
G {w w f (z) , z E} — 值域
分类： 若z 一个w值，称f (z)是单值函数;
z 多个w值，称f (z)是多值函数.
今后无特别声明，所讨论的函数均为单值函数。
z x iy ( x, y); w u iv (u, v)
)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v ( u2 v2
1)2
1
v
1 2
w平面内的一条直线。
3. 反函数或逆映射
定义 设 w =f (z) 的定义域为E, 值域为G
z E w f(z) w G
若一个(或几个)z E z (w) w G
则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数或逆映射, 记作z f 1(w)。
例 设 z=w2 则称w z 为z=w2的反函数或逆映射
则 w (u iv) ( x iy)2 x2 y2 2xyi w z2 u x2 y2 v 2xy
例2 若已知
f
(z)
x1
x2
1
y2
iy1
x2
1
y2
将 f (z)表示成 z 的函数.
（共轭法）设z x iy,则x 1 (z z), y 1 (z z)
2
2i
Ch2 解析函数
§2.1 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研 究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复 变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。 经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理 论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学， 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。
在复变函数中,用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 x，y与 u，v 之间的对应关系。以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.
以下不再区分函数与映射（变换）。
例3 研究w z 所构成的映射. 解 设z r(cos i sin ) rei
z rei —关于实轴对称的一个映射 ➢见图1-1~1-2
3
2 复变函数的极限与连续性
1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性
1. 函数的极限
定义设 w f (z), z U (z0 , ), 若存在数A， 0,
（）, 当 0 （0 )
z z0
时,有
f (z) A ,
则称A为
f
(z)当z
z0时的极限，记作
lim
z z0
由两个实二元函数反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）
后，代入原象曲线方程即得象曲线方程.
u2
v2
x2
1
y2
1 9
1
1
1 u iv
（2）w z z w x iy u iv u2 v2
x
y
u u2 v2
v u2 v2
代入原象曲线方程，得
( u2
u
v2
2 k
w z z e 2 (k 0,1) ∴为多值函数,2支.
当反函数单值时，z f 1[ f (z)]， z E (一般z f 1[ f (z)])
当函数(映射)w f (z)和其反函数(逆映射)
z (w)都是单值的，则称函数(映射)w f (z)
是一一对应的。
1. 已知映射w= z3 ，求区域 0<argz< 在平面w上的象。
w f (z) f ( x iy) u(x, y) iv( x, y)
故 u u( x, y) v v( x, y)
复变函数w=f(z)与实函数的关系：
w f (z) u iv u u( x, y) v v( x, y)
例1 w z2 令z x iy w u iv
二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物 理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支 的联系也日益密切。
1. 复变函数的定义 —与实变函数定义相类似
定义 设E是一个复数z x iy的非空集合,存在法则 f ,使得 z E,就有一个或几个w u iv与之对应,
则称复变数w是复变数z的函数（简称复变函数）
(3) 若f(z)在 z0 处有极限,其极限是唯一的.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理2.1 设f (z) u( x, y) iv( x, y)， z x iy ，z0 x0 iy0
则
lim
zz0
f
(z)
A
u0
iv0
lim u( x,
( x, y)( x0 , y0 )
f (z)
A
或当z z0时，f (z) A
y
(z)
v
(w)
几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去
w f (z)
z0
o
xo
心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
A
一个预先给定的
u ε邻域中
(1) 定义中, z 的z方0 式是任意的.与 一元实 变函数相比较要求更高.
(2) A是复数.
（拼凑法）f (z) z 1 z
2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
z E ( z平面) w f(z) w G (w平面）的映射(变换).
定义域
值域
称w为z的象，而z称为w的原象。
y
(z)
v
(w)
w=f(z)
E w=f(z)
z
G w
o
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）