电路 罗先觉78711

(1)
第7-10页
0
■
t 1
RC
t
10
3.二阶电路的冲激响应
冲激响应：二阶电路在冲激激励下的零状态响应。
iR +R
(wk.baidu.com)
-
已知 uC(0–) = 0， iL(0–) = 0，
L
+ 求单位冲激响应uC(t)。
C
uC 0–≤t ≤0+：uC(0-)=0
-
LC
d 2uC dt 2

RC
duC dt
则 r(t) f1(t) * f2(t) h(t) * e(t)
r
(t
)


t 0
h(t


)e(
)d
第7-14页
■
14
例 已知图示电路uS 0.6e2t，冲激响应h(t) 5et，求uC (t)
+
uS
-
线性无源 电阻网络
C
uC
t
解
uC (t) 0 h(t )uS (ξ )d
LC
d 2uc dt 2

RC
duc dt

uc

us
微分方程阶数=独立动态元件个数 (一个变量，一个方程，N阶)
②状态方程法：对全部状态变量列出的一阶微分方程组
一阶微分方程个数=状态变量个数=独立动态元件个数 (N个变量, N个方程, 一阶)
第7-19页
■
19
把上述方程整理得到：
duC dt
一阶微分方程组。
第7-20页
■
20
令
[x]

x1

x2


uC

iL

—— 状态变量列向量
令
[ x ]

x1

x2



duC
dt diL

—— 状态变量一阶微分列向量
dt
令
A


0

1
L
1
C R
iL

1

e
t

L
t 0
uL

iL R


R
e

t
L
t 0
iL

1
e

t


(
t
)
L
uL

(t)
R
e

t


(
t
)
L
第7-7页
■
R + iL u－L
1 iL
L
0
t
uL
(t)
t
R L
7
单位阶跃响应和单位冲激响应关系
e(t )
R(t)
零状态
单位阶跃
(t)
单位冲激
(t)

uC uC
(0
(t
) )

0
0LC d 2uC dt
0
dt 2
0 RC
duC
0
dt

0
dt
0
0 0
uC
dt

0 (t)dt
0
LCuC (0 ) uC (0 ) 1
uC
(0 )

1 LC
V
第7-11页
■
11
t ≥0+： uC(0＋)=0

1 C
iL

diL
dt


R L
iL

1 L
uC

1 L
u
S
—— 状态方程
写成矩阵形式：

duC
dt diL



0

1
dt L
1
C R

uC

iL



0 1
L

uS


L
状态方程是一组表示状态变量与激励函数之间关系的
uC
(0 )

1 LC
V
LC
d 2uC dt 2

RC
duC dt
uC

0
电路响应为零输入响应，即单位冲激响应h(t)。其 响应也分为：欠阻尼、过阻尼和临界阻尼等三种情况。
也可以采用先求电路的单位阶跃响应，再求导的方法 求解单位冲激响应h(t)。
第7-12页
■
12
九、卷积积分
1.卷积积分
定义
C duc uc (t)
dt R
uC(0－)=0
uc不是冲激函数 , 否则KCL不成立
0C duc dt
0

u
c
0
dt
0 (t)dt 1
0 dt
0 R
0
C[uc (0 ) uc (0 )] 1
uc (0
)

1 C

uC (0

0 L diL dt 0 dt
0 (t)dt 1
0
1
L iL (0 ) iL (0 ) 1 iL (0 ) L iL (0 )
电感上的冲激电压使电感电流发生跃变
第7-6页
■
6
(2). t > 0+ RL放电
L
R
1 iL (0 ) L
1.动态电路微分方程的阶数与电路结构的关系
动态电路微分方程的阶数与电路中所含的独立动态元件的 个数相等。
例 ① 当一个网络中存在纯电容回路，由KVL可知其中必有一 个电容电压可由回路中其它元件的电压求出，此电容电 压为非独立的电容电压。
② 当网络中存在纯电感结点，由KCL可知其中必有一个 电感电流可由其它元件的电流求出，此电感电流时非 独立的。
络的状态变量数小于网络中C、L元件总数，下面着重讨论
第7-23页
■
23
例 列出图示电路的状态方程。
对结点①列KCL：
iC i1 iL 0
即：
C duC dt
iL i1
② iL L ① R1 i1
iS
uL
uR2 R2
uC
1
iC C2
uS
对回路1列KVL：
uL uC uR2 0
对回路2列KVL：
R1i1 uS uC 0
量的个数等于动态元件的个数。
第7-17页
■
17
2.状态方程
1）状态方程：对状态变量所列的一阶微分方程组
以RLC串联电路为例推导状态方程的形式。
S(t 0) R
L iL
uS
C
uC
KVL：
RiL

L
diL dt
uC
uS
KCL（VCR）：
iL

iC

C
duC dt
第7-18页
■
18
①经典法：合并为对一个变量uC求解的高阶微分方程。
)
电容中的冲激电流使电容电压发生跃变
第7-4页
■
4
(2).t > 0+ 为零输入响应（RC放电）
uc

1 C
t
e RC
t 0
ic
uc R

1
t
e RC
RC
uc
(0

)

1 C
R
t 0 1 uC
C
uc

1 C

e
t
RC (t )
0 iC
ic

(t)
1 RC

e

1
t
e RC (t )
C
0 f (t) (t) f (0) (t)
第7-9页
■
9
ic

d dt
t
[e RC (t )]

t
e RC (t )
1 RC
t
e RC (t )
(t)
1
t
e RC (t )
RC
uC
iC
R
1
阶跃响应
t
t
0
0
1 uC
iC
冲激响应 C
第7-1页
■
1
单位冲激函数的延迟
(t-t0)
(t t0 ) 0 (t t0 )
（1）


(t

t0 )dt
1
0
t0
t
单位冲激函数的性质
（1）冲激函数对时间的积分等于阶跃函数。
t
0 t 0
(t)dt

1
(t)
t 0


1 L
uC

R2 L
iL

R2 L
iS
写成矩阵形式：

duC
dt diL
dt


RL111C
1
1
C R2
L

uC

iL



R1C 0
0 R2

uS

iS

L
第7-25页
对结点②列KCL：
即：
L diL dt
uR2
uC
则：
i1

1 R1
uC

1 R1
uS
代入上述 方程，整
第7-24页
iL

uR2 R2
iS

0
■
则： uR2 R2iS R2iL
理得到：
24
duC dt
1 R1C uC
1 C iL

1 R1C uS
diL dt
t 5e(t ) 0.6e2 d 0
t 3e(t )d 3et t e d
0
0
3(et e2t )
第7-15页
■
15
十、状态方程
1.状态及状态变量
1）状态 是指在某给定时刻电路必须具备的最少量的信息， 它们和当前时刻的输入一起决定了以后任意时刻电路的行为。

6
sin 1 1.02
66 26
第7-3页
■
(t)
(1) f(0)
0
f(t) t
* f(t)在 t0 处连续
3
2. 一阶电路的冲激响应
冲激响应
激励为单位冲激函数时，电路中产生的 零状态响应。
例1.
分二个时间段来考虑冲 激响应。
（t）
R
iC + uC
C-
(1). t 在 0－ → 0+间 电容充电，方程为：
第7-27页
■
27
③ 网络中与独立电压源并联的电容元件，其电压uC由uS 决定。
④ 网络中与独立电流源串联的电感元件，其iL由iS决定。
+ uS R
-
+ 零阶 C uC 电路
iS R
L
-
以上四种请况中非独立的uC和iL不能作为状态变量，不
含以上四种情况的网络称为常态网络。状态变量数等于C、
L元件总数。含有以上四种情况的网络称为非常态网络，网
■
25
4.输出方程
1）输出方程：表示输出变量与状态变量及输入之间关系 的一组代数方程。
2）输出方程的一般形式 设电路有n个状态变量，m个独立源，r个输出变量，则其 输出方程的一般形式为：
[ y] [C][x] [D][v]
r 1 r n n1 r m m1
第7-26页
■
26
十一、几个问题
t
RC (t )
(1) 1
RC
第7-5页
■
ic + C uc
－
t
t
5
例2
分二个时间段来考虑冲激响应。
R
+
(t)
-
+ iL uL L
-
(1). t 在 0－ 0+间方程为：
RiL

L diL dt
(t)
iL (0 ) 0
0
iL不可能是冲激函数
0
0
Ri L dt
特点：
[x] [A][x] [B][v]
n1 nn n1 nmm1
① 每一个方程必须有一个状态变量微分项，其余为状态 变量及输入项；
② [x]与[x]中状态变量排列顺序要一致。
第7-22页
■
22
3.状态方程的列写
① 确定状态变量及其顺序； ② 列方程（每个方程只有一个状态变量微分项）； a.对单电容结点列KCL（尽可能多的包含电感）； b.对单电感回路列KVL（尽可能多的包含电容）； ③ 消去方程中的非状态变量（用状态变量及输入表示）； ④ 写出矩阵形式的状态方程。
第7-8页
单位阶跃响应
s(t)
单位冲激响应
h(t)
(t) d (t)
dt
h(t) d s(t) dt
■
8
例 求： is (t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t)。
is
iC +
已知： uc (0 ) 0
R
C
uC -
先求单位阶跃响应,令：
iS (t) (t)
uC(0+)=0 uC()=R = RC
t
uC (t) R(1 e RC ) (t)
iC(0+)=1 iC()=0
t
ic e RC (t )
再求单位冲激响应,令： iS (t ) (t )
uC

d dt
t
R(1 e RC
) (t)
t
R(1 e RC
) (t)

1 C
t
e RC (t )
2）状态变量 状态变量是描述电路状态的一组独立的动态变量，其
它变量均可以由此组变量表示出来。 如电容电压（电荷） 和电感电流（磁通链）。一般选择电容电压和电感电流作 为状态变量。
状态变量在任意时刻的值组成了该时刻电路的状态。
第7-16页
■
16
3）状态变量的个数 若电路中不存在纯电容回路和纯电感结点，则状态变

——
状态变量系数阵
L
令 v uS —— 输入列向量
0
令 B 1 —— 输入系数阵
L
第7-21页
■
21
上述状态方程可写成：
[x] [A][x] [B][v]
2）状态方程的标准形式
设电路有n个状态变量，m个独立源，则其状态方程的标 准形式为：
设函数 f1(t) , f2(t) t < 0 均为零
f1(t) *
f2 (t)

t
0
f1(t


)
f2( )d
性质
f1(t) * f2 (t) f2 (t) * f1(t)
第7-13页
■
13
2.卷积积分的应用
激励 e(t)
线性网络 零状态
响应r(t)
若 f1(t) h(t)
冲激响应 f2 (t) e(t)
八、一阶和二阶电路的冲激响应
1. 单位冲激函数
定义
(t) 0 (t 0)
(t) (1)

(t)dt 1
0
t
p(t )

1
[ (t

) (t

)]

2
2
p(t)
0 1
1/

单位脉冲函 数的极限
lim p(t) (t)
0
- / 2 / 2 t
d (t) (t)
dt
第7-2页
■
2
（2） 冲激函数的筛分性


f (t) (t)dt f (0) (t)dt f (0)


f(0)(t)
同理有：

f (t) (t t0 )dt f (t0 )
例
(sin t t) (t )dt