数据的数字特征

3、平均数
由于平均数与每一个样本的数据有关， 所以任何一个样本数据的改变都会引起平均 数的改变，这是众数、中位数都不具有的性 质。
也正因如此 ，与众数、中位数比较起来，平 均数可以反映出更多的关于样本数据全体的 信息。
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样 本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易 计算，但只能表达样本数据中的少量信息. 平 均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个 数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也 越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中 位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实 际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的 实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画 样本数据的离散程度.
复习回顾
前面我们学习了利用统计图表显示数 据的特征
条形统计图
统计图
折线统计图 扇形统计图
茎叶图
一、数据的特征除了利用统计图表外，还可以利
用一些统计量来表述，前面我们在表示数据的集 中趋势和离散程度时，我们利用平均数、中位数， 众数、极差、方差等来表示。
(1)平均数：就是一组数据的平均，设有n个数据， x1 ,x2, …,xn,这组数据的平均数为：
直径/mm
1
2
3
4
5 6 7 产源自文库编号
8
9 10
用不同的方式刻画数据离散程度，其理 想的形式满足一下三条 ：
1°应充分利用数据，以便提供更确却的信息
2°仅用一个数据来刻画数据的离散程度 3°对于不同的数据，当离散程度大时，该数亦 大
问题3 分别计算上题中的甲乙车床的标准差？ 根据标准差计算公式
s ( x1 x ) ( x 2 x ) ( x n x )
1 2 n
0
24
4、数据a 1 , a 2 a n , 的方差为 S 的方差为（ ） A
1 2 S
2
2
，则 2 a , 2 a
1
2
2an
B
S
2
C
2S
2
D
4S
2
25
小结：
• 1 . 众数、中位数、平均数的概念
• 2. 三种数字特征的优缺点 • 3. 极差、方差、标准差的概念
• 4. 如何利用标准差刻画数据的离 散程度?
2°你能从上图中分别比较甲 乙两组数据的平均数和方差 的大小吗？
88400 752 00 31 8
1 2 3 4 5
028 02337 12448 238
例1某公司员工的月工资情况如表：
我的工资是 1500
我的工资 是2000
职员D
职员c
我的工 资是 4000
我的可以拿 到？？？
工程师
应聘者
月工资/元 员工数/人
2 2 2
n
甲：s＝0.16（mm） 乙：s＝0.077(mm) 因为甲的标准差比乙大，因此乙更稳定
练
习
1、下列说法中正确的有___________ （1）在统计中，把所需考察对象的全体 叫做总体， （2）一组数据的平均数一定大于这组数 据中的每一个数据， （3）平均数、众数、中位数，从不同的 角度描述一组数据的集中趋势， （4）一组数据的标准差越大，说明数据 波动越大。
极差，方差与标准差.
极差、方差与标准差
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甲：７ 乙：９
８ ５
７ ７
９ ８
５ ７
４ ６
９ ８
10 ６
７ ７
４ ７
极差：
甲的环数极差=10-4=6 乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均 数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极 差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种 “去掉一个最高分,去掉一个最低分”的统计策略.
8000 1
5000 2
4000 2000 1000 800 4 6 12 8
700 20
600 5
500 2
(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数。 (2)公司经理会选取上面哪个来代表该公司员工的月工资情 况，税务官呢？工会领导呢？ 分析：1.根据平均数、中位数的计算公式，可以算出平均数 为：1373元，中位数为：800元，众数为：700元
16
方差与标准差：
2 2 2
方差：
s
2
(x
=
1
- x
)
+
(x
2
- x
)
+ L +
(x
n
- x
)
n
2
2
2
标准差：
(x
s =
1
- x
)
+
(x
2
- x
)
+ L +
(x
n
- x
)
n
注：（1）方差变形式 （2）极差，方差和标准差用来反映离散程度 （3）若一组数据全部相等则离散度为0
甲：７ 乙：９
８ ５
７ ７
2.不同身份的人代表不同阶层人的利益，对公司领导平均数 好，对税务官中位数比较好，对工会领导众数即使他的选择
如果你应聘该公司，你怎样看待公司员工的收入情况？
二、三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中 点，但它对其它数据信息的忽视使得无 法客观地反映总体特征. 2
、中位数是样本数据的等分线， 它不受少数极端值的影响，这在某 些情况下是优点，但它对极端值的 不敏感有时也会成为缺点。
如例1
：有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ 乙：９ ８ ５ ７ ７ ９ ８ ５ ７ ４ ６ ９ ８ 10 ７ ４ ６ ７ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击 作出评价? x 甲 7， x 乙 7 两人射击 的平均成绩是一样的.那么两 个人的水平就没有什么差异吗?
22
2、为了判断甲、乙两名同学本学期几 次数学考试成绩哪个比较稳定，通常需 要知道这两个人的（ ） A 平均数 B 众数 C 极差 D 标准差
23
3、对一组数据 a , a , , a ，如果将他 们改为 a 1 m , a 2 m , , a n m , 其中 m ，则下面的结论正确的是（ ） A平均数变了，方差不变， B平均数不变，方差变了， C平均数、方差都不变， D 平均数、方差都变了。
甲：７ 乙：９
频率 0.3 0.2
0.1 4 5
８ ５
７ ７
９ ８
５ ７
４ ６
９ ８
频率
10 ６
７ ７
４ ７
0.4 0.3 0.2 0.1 6 (甲) 7 8 9 10
环数 4 5 6 7 (乙) 8 9 10
环数
直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散, 乙成绩相对集中(如上图所示). 因此,我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.
甲/mm 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2 39.8
乙/mm
40.3 40.2 40.1 40 39.9 39.8 39.7 39.6
40.0
40.0
39.9
40.0 39.9 40.1 40.1
40.1
40.0 39.9
你能选择适当的数分别表示这两组数据吗？
９ ８
５ ７
４ ６
９ ８
10 ６
７ ７
４ ７
s 甲 = 2， s 乙 =
6 5
标准差越大离散程度越大，数据较分散，稳 定性就越差； 标准差越小离散程度越小，数据较集中在平 均数周围，稳定性就越好.
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例2 甲乙两台机床同时生产直径为40mm的零件，为 了检验产品的质量，从两台机床生产的产品中个抽 取10件进行测量，结果如下：
注：中位数可能在所给数据中也可能不在所给数据中 (3)众数：就是一组数据中出现次数最多的数．
(4)极差：就是一组数据中最大数与最小数之间 的差．
其中平均数、加权平均数、中位数或众数反映集 中趋势
甲的中位数：18 22 问题1 在上一节中，从甲乙两个城市随机抽取的 众数：10 18 30 16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示如下 极差：53 甲的平均数：22.8 乙的中位数：27 31 方差：210.9 甲 乙 众数：23 34 乙的平均数：28.6 1°甲乙两组数据的中位数众数 极差：38 865 0 方差：115.2 极差分别是多少？
x x1 x 2 x n n
特别地，如果上面n个数据中不同数据x1，x2，…，xn的个 数分别为k1，k2，…，kn，那么它们的平均数为
x
x1 k 1 x 2 k 2 x n k n k1 k 2 k n
(2)中位数：就是一组数据按照从小到大或从大到小的 顺序进行排列时，处于中间位置的数． 奇数个数时，中位数有1个 偶数个数时，中位数有2个