关于分块矩阵的一些范数不等式
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Ｉ ＮＩ Ｉ 号 Ｉ Ｂ
都有 ｌ Ａ Ｉ ≤ ｌ Ａ ｌ ． Ｊ Ｊ ｌ ｌ ｌ ： １ Ｉ Ｉ
Ａ Ｉ Ｉ２ 卫 … ＩＮ 号 １号 Ｉ Ｉ ｌ Ｉ ］ ＡＩ Ｉ Ａ
Ｂ ｌ ｌ ：Ｉ … １卫 Ｉ ｌ ｌ 卫 Ｂ
引 １ 设 阶 阵 ＝Ⅱ １ 中 ， 理． ３ ２２ 矩 Ａ ｆ ， 口 ｒ ｘ 其
范数 不等 式。 关 键词 ： 块矩 阵 ； 正定 矩 阵 ；ｃ ａｔ － 分 半 Ｓ ｈ ｔ ｎｐ 范数 ； ｅ 范数 不等 式 中 图分 类号 ： １ １ ２ Ｏ５．１ 文献 标识码 ： Ａ
在文献 ［ ］ ５ 中作者证明了， 对一个 ２× Ｎ阶分
块 矩 阵 ， 在满 足 ４种 情 形之 一 时 ， 下 述 范 数 不 有 等 式成立 ， １≤Ｐ≤２时 ：Ｉ 当 Ｊ ２时 ，『 ｆ ≤ ｔ 其 中 Ｄ ｖ， Ｉ Ｉ ／ ｌ Ａ … Ａ ＼ Ａ ２ Ⅳ
Ⅳ
Ａ
１
￡
互
因此 Ｉ ｌ ｔ
Ｎ
∑
。
∑
～ ４ 数 ≤ ＋
、、 ●●● ●●●● ／ ｆ Ｉ
∑（ Ｉ Ｉ ｐ
ｉ ＝ｌ
＾ ，
∑
ｉ １ ＝
６
２
● ● Ｊ
卫２
互
（． ） １ １
）
ｎ １
＾ 『
一
≥ Ｉ ； ｌ ｔ Ｐ≥
ｆ ）对２ 非阵， （ Ｊ 任× 负Ａ 耋 意２ 矩、 ， 阶 Ｂ 则
当 １≤Ｐ≤２时 ｇ Ａ＋Ｂ ≤ ｇ Ａ）＋ （ （ ） （ ｇ Ｂ）， 当ｐ≥ ２时不 等式反 号 ．
＼ … ’ Ｉ１ ２ … ＢＪ Ⅳ ／
ｆｌ －ｌ ｌ ｚ】 … ｌ Ｉ ＼ Ｉ Ｉ ｌ 『 Ｉ ｌ ， ， Ａ Ａ ，
Ａ ＋Ｂ） Ｔ （ ≤ ｒ Ａ）＋Ｔ （ ｆ ｒ Ａ） ｆ
阵 的每个子分块阵 Ａ ， 日 都为非负对角矩阵时 的两个新的 Ｓｈｔ ｎ － ｃａｅ 范数不等式 。 ｔ ｐ
２ 主 要 结论
定 理 ２ １ 设 Ａ Ｂ 为 凡×ｎ阶非 负对 角矩 阵 ， ２ ． ， 当
≤ Ｐ≤ ４时有 ：
Ａ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ＩＩ … Ｉ Ｊ ， 『－ ｌ 号 ａｌ Ｂ ２ ” ２ ｔ
Ｉ ， Ｉ 号
ຫໍສະໝຸດ Baidu
引 １ｔ ２２ 矩 Ａ：ａ ：是 个 中 １≤ ｉ≤ Ｎ ，１≤Ｊ≤ ｎ 理 ． 设 ×阶 阵 ｉ ｆ ‘ 一 ２ ｓ ＼ １ ｉ
Ｃｉ ｂｉ ，
证明
当 Ｎ ＝２， 阵 为半 正定矩 阵 或子分 块 阵 Ａ Ｂ 矩 ， 都 为对 角 阵时 ， 述 范 数 不 等 式也 是 成 立 的 ， 文 上 在 献 ［ ］ ［ ］ 已给 出 了证 明。本 文 讨 论 了分 块 矩 ２ 、３ 中
若 函 数
） 凹函 数 ， 为 当 ∈ 【 ， Ｏ ＋∞ ）， ： 有
设矩 阵 Ａ ， ｉ ｉ Ｂ 的对 角 元分 别 为 ａ ｂ 其 ， ，
半正定 矩 阵 ， 中 ａ ｃ ｂ为 非 负 元 素 ， ａ 其 ， ， 若 。≤
ａ ， ｂ ｃ ≤ ｃ ， ｂ ≤ ：， ： 则对酉不变范数 ．『ｌ Ｊ，
令 （ ＝Ｉ ａ Ｂ
则
） ，
１０ ５ ６ （０ ０ ０ ０ １ ０ ００— ２ ９ ２ １ ） ４— ０ ５— ４
・
关 于分 块 矩 阵 的 一些 范 数 不 等 式
蒋
摘
玲 ， 淦瞳 ， 何 杨剑锋
（ 贵州大学 理学院， 阳 ５ ０ ２ ） 贵 ５ ０ ５
要 ： 文建 立 了两个其 子 矩 阵都 为 非 负对 角阵 的分 块 矩 阵 关 于 Ｓ ｈｔ ｎｐ 范数 的 一 些新 的 本 ｃ ａ ｅ － ｔ
ｂ， ｃ， ｄ 为 非 负 元 素 ． 定 义 ： ｇ Ａ ＝ （）
收 稿 日期 ： Ｏ Ｏ一 ６—１ ２ｌ ０ １
基金项 目： 贵州 国际合作项 目 基金黔科合外 Ｇ字 （０ ０ ０ １ ） 全国统计科研项 目（０ ９ Ｚ ０ ） ２ １７０ １ ； ２０ ｔ ０９ 作者简介 ： 蒋 玲 （９ ３ ， ， １８ 一） 女 湖南益 阳人 ， 硕士研究生 ， 研究方向 ， 矩阵理论及其应 ， ｍ ｉ ｊ ｎ ｌｇ９ ２ ６ ．ｏ ． Ｅ ａ ：ａｇ ｎ ２ ＠１３ ｔｍ ｌ ｉ ｉ０
＼ｌ ｌ ｌ Ｉ ｌ Ｉ … ｌ ｌ ｌ ｌ Ｉ Ｉ ／
引理 １４ ． 函 数 ，当
设 Ａ、 Ｂ是 正 算子 ， 函数 ） 凸 若 为 ∈ 【． 。 ０ Ｏ ＋ｏ ）， ）≤ ０，有 ：
。
： Ａ＋ ） Ｔ （ ）＋Ｔ （ ） ≥ ｒＡ ｆ ｒ Ａ ｆ
第 ２ 卷 第 ４期 ７
２１ ０ ０年 ８月
贵州大学学报 （ 自然科学版 ） Ｊｕｎｌ ｆ ｕｚｏ ｎｖｒｔ Ｎ ｔｒ ｃｅｃｓ ｏｒａ ｉ ｕＵ ｉｅｓｙ（ ａ ａ Ｓ ｉ ｅ） ｏＧ ｈ ｉ ｕｌ ｎ
Ｖｏ＿２ ．４ ｌ ７ Ｎｏ
Ａｕｇ ２ ０ ． ０１
文章 编 号
１ 预 备 知 识
定 义 １ １ 对 任 意 一 个 矩 阵或 算 子 Ａ， Ｓ ｈ ｔ ｎ ． 将 ｃ ａ ｅ ｔ
ｐ范数定义为 ：ｌ 一 ｌ
＝ （ ｒＡＩ 言， 中 ｌ ＝ Ｔ ） 其 ｌ ， ＡＩ
≤
（ Ａ）＇ Ａ‘ １．当矩 阵 Ａ是 一个 半正 定矩 阵 时 ，ｃａｅ ／ ２ Ｓｈｔ ｎ ｔ ｐ范数 又可 以表 示为 Ｉ 一 ｌ ＝（ ） １。
通讯作者 ： 何淦瞳 ， ｍ ｉ ｈ ｎａｔ ｇ ２ ．ｏ Ｅ ａｌ ａｇｎｏ ＠１６ ｔｍ． ： ｎ
贵州大学学报 （ 然科学版 ） 自
第２ ７卷
ＴＩ ＝［ ｒＴ ］ ， Ｔ （ ・ ２ 吾
２
∑
ｎ
ｌ
（ ｌ ） ｌ ｊ ａ 百， ｉ ｑ
Ｉ ｊ 卫
＝ Ｕ Ｉ ｔ
都有 ｌ Ａ Ｉ ≤ ｌ Ａ ｌ ． Ｊ Ｊ ｌ ｌ ｌ ： １ Ｉ Ｉ
Ａ Ｉ Ｉ２ 卫 … ＩＮ 号 １号 Ｉ Ｉ ｌ Ｉ ］ ＡＩ Ｉ Ａ
Ｂ ｌ ｌ ：Ｉ … １卫 Ｉ ｌ ｌ 卫 Ｂ
引 １ 设 阶 阵 ＝Ⅱ １ 中 ， 理． ３ ２２ 矩 Ａ ｆ ， 口 ｒ ｘ 其
范数 不等 式。 关 键词 ： 块矩 阵 ； 正定 矩 阵 ；ｃ ａｔ － 分 半 Ｓ ｈ ｔ ｎｐ 范数 ； ｅ 范数 不等 式 中 图分 类号 ： １ １ ２ Ｏ５．１ 文献 标识码 ： Ａ
在文献 ［ ］ ５ 中作者证明了， 对一个 ２× Ｎ阶分
块 矩 阵 ， 在满 足 ４种 情 形之 一 时 ， 下 述 范 数 不 有 等 式成立 ， １≤Ｐ≤２时 ：Ｉ 当 Ｊ ２时 ，『 ｆ ≤ ｔ 其 中 Ｄ ｖ， Ｉ Ｉ ／ ｌ Ａ … Ａ ＼ Ａ ２ Ⅳ
Ⅳ
Ａ
１
￡
互
因此 Ｉ ｌ ｔ
Ｎ
∑
。
∑
～ ４ 数 ≤ ＋
、、 ●●● ●●●● ／ ｆ Ｉ
∑（ Ｉ Ｉ ｐ
ｉ ＝ｌ
＾ ，
∑
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６
２
● ● Ｊ
卫２
互
（． ） １ １
）
ｎ １
＾ 『
一
≥ Ｉ ； ｌ ｔ Ｐ≥
ｆ ）对２ 非阵， （ Ｊ 任× 负Ａ 耋 意２ 矩、 ， 阶 Ｂ 则
当 １≤Ｐ≤２时 ｇ Ａ＋Ｂ ≤ ｇ Ａ）＋ （ （ ） （ ｇ Ｂ）， 当ｐ≥ ２时不 等式反 号 ．
＼ … ’ Ｉ１ ２ … ＢＪ Ⅳ ／
ｆｌ －ｌ ｌ ｚ】 … ｌ Ｉ ＼ Ｉ Ｉ ｌ 『 Ｉ ｌ ， ， Ａ Ａ ，
Ａ ＋Ｂ） Ｔ （ ≤ ｒ Ａ）＋Ｔ （ ｆ ｒ Ａ） ｆ
阵 的每个子分块阵 Ａ ， 日 都为非负对角矩阵时 的两个新的 Ｓｈｔ ｎ － ｃａｅ 范数不等式 。 ｔ ｐ
２ 主 要 结论
定 理 ２ １ 设 Ａ Ｂ 为 凡×ｎ阶非 负对 角矩 阵 ， ２ ． ， 当
≤ Ｐ≤ ４时有 ：
Ａ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ＩＩ … Ｉ Ｊ ， 『－ ｌ 号 ａｌ Ｂ ２ ” ２ ｔ
Ｉ ， Ｉ 号
ຫໍສະໝຸດ Baidu
引 １ｔ ２２ 矩 Ａ：ａ ：是 个 中 １≤ ｉ≤ Ｎ ，１≤Ｊ≤ ｎ 理 ． 设 ×阶 阵 ｉ ｆ ‘ 一 ２ ｓ ＼ １ ｉ
Ｃｉ ｂｉ ，
证明
当 Ｎ ＝２， 阵 为半 正定矩 阵 或子分 块 阵 Ａ Ｂ 矩 ， 都 为对 角 阵时 ， 述 范 数 不 等 式也 是 成 立 的 ， 文 上 在 献 ［ ］ ［ ］ 已给 出 了证 明。本 文 讨 论 了分 块 矩 ２ 、３ 中
若 函 数
） 凹函 数 ， 为 当 ∈ 【 ， Ｏ ＋∞ ）， ： 有
设矩 阵 Ａ ， ｉ ｉ Ｂ 的对 角 元分 别 为 ａ ｂ 其 ， ，
半正定 矩 阵 ， 中 ａ ｃ ｂ为 非 负 元 素 ， ａ 其 ， ， 若 。≤
ａ ， ｂ ｃ ≤ ｃ ， ｂ ≤ ：， ： 则对酉不变范数 ．『ｌ Ｊ，
令 （ ＝Ｉ ａ Ｂ
则
） ，
１０ ５ ６ （０ ０ ０ ０ １ ０ ００— ２ ９ ２ １ ） ４— ０ ５— ４
・
关 于分 块 矩 阵 的 一些 范 数 不 等 式
蒋
摘
玲 ， 淦瞳 ， 何 杨剑锋
（ 贵州大学 理学院， 阳 ５ ０ ２ ） 贵 ５ ０ ５
要 ： 文建 立 了两个其 子 矩 阵都 为 非 负对 角阵 的分 块 矩 阵 关 于 Ｓ ｈｔ ｎｐ 范数 的 一 些新 的 本 ｃ ａ ｅ － ｔ
ｂ， ｃ， ｄ 为 非 负 元 素 ． 定 义 ： ｇ Ａ ＝ （）
收 稿 日期 ： Ｏ Ｏ一 ６—１ ２ｌ ０ １
基金项 目： 贵州 国际合作项 目 基金黔科合外 Ｇ字 （０ ０ ０ １ ） 全国统计科研项 目（０ ９ Ｚ ０ ） ２ １７０ １ ； ２０ ｔ ０９ 作者简介 ： 蒋 玲 （９ ３ ， ， １８ 一） 女 湖南益 阳人 ， 硕士研究生 ， 研究方向 ， 矩阵理论及其应 ， ｍ ｉ ｊ ｎ ｌｇ９ ２ ６ ．ｏ ． Ｅ ａ ：ａｇ ｎ ２ ＠１３ ｔｍ ｌ ｉ ｉ０
＼ｌ ｌ ｌ Ｉ ｌ Ｉ … ｌ ｌ ｌ ｌ Ｉ Ｉ ／
引理 １４ ． 函 数 ，当
设 Ａ、 Ｂ是 正 算子 ， 函数 ） 凸 若 为 ∈ 【． 。 ０ Ｏ ＋ｏ ）， ）≤ ０，有 ：
。
： Ａ＋ ） Ｔ （ ）＋Ｔ （ ） ≥ ｒＡ ｆ ｒ Ａ ｆ
第 ２ 卷 第 ４期 ７
２１ ０ ０年 ８月
贵州大学学报 （ 自然科学版 ） Ｊｕｎｌ ｆ ｕｚｏ ｎｖｒｔ Ｎ ｔｒ ｃｅｃｓ ｏｒａ ｉ ｕＵ ｉｅｓｙ（ ａ ａ Ｓ ｉ ｅ） ｏＧ ｈ ｉ ｕｌ ｎ
Ｖｏ＿２ ．４ ｌ ７ Ｎｏ
Ａｕｇ ２ ０ ． ０１
文章 编 号
１ 预 备 知 识
定 义 １ １ 对 任 意 一 个 矩 阵或 算 子 Ａ， Ｓ ｈ ｔ ｎ ． 将 ｃ ａ ｅ ｔ
ｐ范数定义为 ：ｌ 一 ｌ
＝ （ ｒＡＩ 言， 中 ｌ ＝ Ｔ ） 其 ｌ ， ＡＩ
≤
（ Ａ）＇ Ａ‘ １．当矩 阵 Ａ是 一个 半正 定矩 阵 时 ，ｃａｅ ／ ２ Ｓｈｔ ｎ ｔ ｐ范数 又可 以表 示为 Ｉ 一 ｌ ＝（ ） １。
通讯作者 ： 何淦瞳 ， ｍ ｉ ｈ ｎａｔ ｇ ２ ．ｏ Ｅ ａｌ ａｇｎｏ ＠１６ ｔｍ． ： ｎ
贵州大学学报 （ 然科学版 ） 自
第２ ７卷
ＴＩ ＝［ ｒＴ ］ ， Ｔ （ ・ ２ 吾
２
∑
ｎ
ｌ
（ ｌ ） ｌ ｊ ａ 百， ｉ ｑ
Ｉ ｊ 卫
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