常微分方程第三版优秀课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设 镭 的 衰 变 规 律 与 该 时 刻 现 有 的 量 成 正 比 , 且 已 知 t0时 ,镭 元 素 的 量 为 R0克 ,试 确 定 在 任 意 t时 该 时 镭 元 素 的 量 .
解 设 t时 刻 时 镭 元 素 的 量 为 R (t),
依题目中给出镭元衰 素变 的律可得 :
dR dt
一、什么是微分方程？
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
二、微分方程的研究内容
1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通 解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解
的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。
2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在
性、延展性、解对初值的连续性和可微性问题。
3、微分方程解析理论 由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证
在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同 的问题。比如：某个物体在重力作用下自由下落，要寻求 下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间 飞行，要寻求它飞行的轨道等，研究这些问题所建立的数 学方程不仅与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想 很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间 的关系找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或 几个方程中去求得未知函数的表达式——即求解微分方程。
的净增长数与人口数之比）为常数 r.
解 Malthus模型： dN rN dt
Logistic模型： dNr(1 N )N
dt
Nm
例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关 专家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传 播的试验以获取数据,所以通常主要是依据机理 分析的方法建立模型.
解: SI模型
ddxtkx(nx),x(0)x0
SIS模型
d dx t k(xn 1x)x ,(0)x0
SIR模型
dx dt
kxy
lx,
dy dt
kxy
,
x(0) x0, y(0) y0 nx0.
例5 生物种群模型
意大利生物学家棣安考纳发现某海港在第 一次世界大战期间捕鱼量减少而捕获到的捕食 鱼占的百分比确急剧增加，为解释这种现象， 意大利数学家沃特拉（Volterra）建立了一个 关于捕食鱼和被食鱼生长情形的模型。
k
R,
R(0) R0
这里 k0,是由R于 (t)随时间的增加.而减
解之得:
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
电路的基尔霍夫（Kirchhoff）第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电 流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L dI,RI, Q,
dt C
其中Q为电量.
解 由Kirchhoff第二定律, 得到
e(t)LdIR IQ0. dt C
因为 I dQ , 于是得到
dt
d2I RdI I 1d(et)
d2tLdtLC L
. dt
这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.
例3 人口模型 英国人口学家马尔萨斯（Malthus）在担任牧师期 间，查看了当地教堂100多年人口出生统计资料， 发现：人口增长率是一个常数。 假设条件：净相对增长率（单位时间内人口
§1.1 微分方程模型
微分方程: 联系着自变量,未知函数及其导数
的关系式.
为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程.
例1 镭的衰Βιβλιοθήκη Baidu规律:
常微分方程第三版优秀 课件
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重 要分支，是人们解决各种实际问题的 有效工具，它在几何、力学、物理、 电子技术、航空航天、生命科学、经 济领域等都有广泛的应用。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的， 1676年詹姆士·贝努力致牛顿的信中第一次提出 微分方程。微分方程建立后，立即成为研究，了 解和知晓现实世界的重要工具。1846年，数学 家和天文学家合作，通过求解微分方程发现了一 颗有名的新星——海王星。1991年，科学家在 阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所 含碳原子消失的程度，通过求解微分方程，推断 这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例 还有很多。在微分方程发展的史中，数学家牛顿， 莱布尼茨，雅各布·贝努利、欧拉、拉格朗日等 等都做出了卓越的贡献。
假设在疾病传播 考期 察内 地所 区的n总 不人 变 , 数 (1 )在 时 该 t人 群 中 易 感 染 者 (健 康 )和 已 感 染 者 (病 人 )在 总 人 数 分 别 为 y(t)和 x(t).
(2 )一 个 病 人 能 传 染 的 人 数 与 当 时 的 健 康 人 数 成 正 比 ， 比 例 常 数 为 k ；
沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼 与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).
解
Volterra
dx
被捕食-捕食模型：
dt dy
x (a by ), y ( c dx )
明了解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）表示成级数 形式，并引进 特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔 函数等，并使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了 微分方程解析理论。
4、微分方程的数值解法
5、微分方程的定性和稳定性理论
1900年，希尔波特提出的23个问题中的第16个问题之 一，至今未解决。
解 设 t时 刻 时 镭 元 素 的 量 为 R (t),
依题目中给出镭元衰 素变 的律可得 :
dR dt
一、什么是微分方程？
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
二、微分方程的研究内容
1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通 解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解
的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。
2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在
性、延展性、解对初值的连续性和可微性问题。
3、微分方程解析理论 由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证
在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同 的问题。比如：某个物体在重力作用下自由下落，要寻求 下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间 飞行，要寻求它飞行的轨道等，研究这些问题所建立的数 学方程不仅与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想 很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间 的关系找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或 几个方程中去求得未知函数的表达式——即求解微分方程。
的净增长数与人口数之比）为常数 r.
解 Malthus模型： dN rN dt
Logistic模型： dNr(1 N )N
dt
Nm
例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关 专家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传 播的试验以获取数据,所以通常主要是依据机理 分析的方法建立模型.
解: SI模型
ddxtkx(nx),x(0)x0
SIS模型
d dx t k(xn 1x)x ,(0)x0
SIR模型
dx dt
kxy
lx,
dy dt
kxy
,
x(0) x0, y(0) y0 nx0.
例5 生物种群模型
意大利生物学家棣安考纳发现某海港在第 一次世界大战期间捕鱼量减少而捕获到的捕食 鱼占的百分比确急剧增加，为解释这种现象， 意大利数学家沃特拉（Volterra）建立了一个 关于捕食鱼和被食鱼生长情形的模型。
k
R,
R(0) R0
这里 k0,是由R于 (t)随时间的增加.而减
解之得:
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
电路的基尔霍夫（Kirchhoff）第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电 流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L dI,RI, Q,
dt C
其中Q为电量.
解 由Kirchhoff第二定律, 得到
e(t)LdIR IQ0. dt C
因为 I dQ , 于是得到
dt
d2I RdI I 1d(et)
d2tLdtLC L
. dt
这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.
例3 人口模型 英国人口学家马尔萨斯（Malthus）在担任牧师期 间，查看了当地教堂100多年人口出生统计资料， 发现：人口增长率是一个常数。 假设条件：净相对增长率（单位时间内人口
§1.1 微分方程模型
微分方程: 联系着自变量,未知函数及其导数
的关系式.
为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程.
例1 镭的衰Βιβλιοθήκη Baidu规律:
常微分方程第三版优秀 课件
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重 要分支，是人们解决各种实际问题的 有效工具，它在几何、力学、物理、 电子技术、航空航天、生命科学、经 济领域等都有广泛的应用。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的， 1676年詹姆士·贝努力致牛顿的信中第一次提出 微分方程。微分方程建立后，立即成为研究，了 解和知晓现实世界的重要工具。1846年，数学 家和天文学家合作，通过求解微分方程发现了一 颗有名的新星——海王星。1991年，科学家在 阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所 含碳原子消失的程度，通过求解微分方程，推断 这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例 还有很多。在微分方程发展的史中，数学家牛顿， 莱布尼茨，雅各布·贝努利、欧拉、拉格朗日等 等都做出了卓越的贡献。
假设在疾病传播 考期 察内 地所 区的n总 不人 变 , 数 (1 )在 时 该 t人 群 中 易 感 染 者 (健 康 )和 已 感 染 者 (病 人 )在 总 人 数 分 别 为 y(t)和 x(t).
(2 )一 个 病 人 能 传 染 的 人 数 与 当 时 的 健 康 人 数 成 正 比 ， 比 例 常 数 为 k ；
沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼 与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).
解
Volterra
dx
被捕食-捕食模型：
dt dy
x (a by ), y ( c dx )
明了解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）表示成级数 形式，并引进 特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔 函数等，并使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了 微分方程解析理论。
4、微分方程的数值解法
5、微分方程的定性和稳定性理论
1900年，希尔波特提出的23个问题中的第16个问题之 一，至今未解决。