材料力学-杆件横截面内的正应力
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第三章 杆件横截面内的正应力
§3-1 应力、应变及其相关关系 1. 正应力与切应力
dP dA
dP p
dA
GDGCTU30
d P2
dP
dA
d P1
d P1
dA
d P2
dA
GDGCTU30
2. 正应变与切应变
GDGCTU31
x
dx
x x
x
dx dx du
x
du dx
3. 线弹性材料的物性关系
轴向载荷引起的应变
z
dx
d z
梁轴线在xy平面内 弯曲时的曲率半径
y
d z
z
x
dx
dx
横截面上任意点（y, z)的正应变：
x
0
z
y
y
z
横截面上任意点（y, z)的正应力：
x
E x
E 0
E
y
z
E
z
y
在轴力和弯矩作用下，杆件横截面上的正应力对 于y、z都是线性分布的，即在空间形成一应力平面。
3. 静力学分析y
GDGCTU31
x
dx
x x
x
dx dx du
x E x
G
§3-2 杆件横截面上的正应力分析
考察杆横截面上只有轴力N、弯矩M y 、M z 作用的情形
y
My
Ry
Rz z Mz
Rx
x
N Mx
GDGCTU32
1. 平面假定与变形协调方程
取dx微段考虑
y
My
Nx z dxMz
平面假定：杆横截面位移后依然保持平面
EI y
1
y
EI yz
1
z
S y z dA
A
I y z2 dA
A
I yz yz dA
A
Mz
y x dA
A
A y E 0
E
y
z
E
z
y dA
ESz 0
EI yz
1
y
EIz
1
z
Sz y dA
A
I yz yz dA
A
I z y 2 dA
A
EA 0
ES y
1
y
ESz
y
My
Nx z Mz
xdA N
A
z
dA
x dA
y
x
z
z x dA My
A
y xdA Mz
A
N
xdA
A
A E 0
E
y
z
E
z
y dA
பைடு நூலகம்
EA 0
ES y
1
y
ESz
1
z
S y z dA
A
Sz y dA
A
M y
z x dA
A
A z E 0
E
y
z
E
z
y dA
ESy 0
z
y
N My z Mz y
A Iy
Iz
5. 不同变形形式下的正应力 （1）轴向拉伸或压缩时的正应力
x
N A
P
P
P
x
GDGCTU36
（2）平面弯曲正应力
x
My Iy
z
或
x
Mz Iz
y
GDGCTU37
（3）斜弯曲时的正应力
x
My Iy
z
Mz Iz
y
y
My
x Mz
z
GDGCTU38
（4）中性轴的概念及其位置
GDGCTU33
设微段一侧截面不
y
My
动，根据平面假定， 另一侧截面将发生三
Nx
种位移： 在N作用下沿x方向平行移动
z dxMz
变在M形y 作协用调下绕方y轴程转动
在Mz 作用下绕z轴转动
(横co截m面p上a任tib意i点 lit（yye,zq)的ua位ti移o： n of deformation)
x
My Iy
z
Mz Iz
y0
y
My
x Mz
z
GDGCTU38
（5）截面核心的概念
A
A
A
EA 0 ES y
1
y
ESz
1
z
N
E
S
y
0
EIy
1
y
EI yz
1
z
My
ESz 0
EI yz
1
y
EIz
1
z
Mz
EA 0 N
E
I
y
1
y
My
E
I
z
1
z
Mz
EA 0 N
EI y
1
y
My
E
I
z
1
z
Mz
0
N EA
1
y
My EI y
1
z
Mz EIz
x
E 0
E
y
z
E
1
z
N
ES
y
0
EIy
1
y
EI yz
1
z
My
ESz 0 EI yz
1
y
EIz
1
z
Mz
S y z dA, Sz y dA
A
A
I y z2 dA, I z y2 dA,
A
A
I yz yz dA
A
4. 问题的简化----正应力的一般表达式 若将y、z轴取为形心主惯性轴，则
Sy z dA 0, Sz y dA 0, I yz yz dA 0
d u d u0 (d y ) z (d z ) y
2. 应变分布与应力分布
横截面上任意点（y, z)的位移：
d u d u0 (d y ) z (d z ) y
横截面上任意点（y, z)的正应变：
x
=
du dx
d u0 dx
z dx
y dx
d y d z
0
z
y
y
z
0
=
d u0 dx
§3-1 应力、应变及其相关关系 1. 正应力与切应力
dP dA
dP p
dA
GDGCTU30
d P2
dP
dA
d P1
d P1
dA
d P2
dA
GDGCTU30
2. 正应变与切应变
GDGCTU31
x
dx
x x
x
dx dx du
x
du dx
3. 线弹性材料的物性关系
轴向载荷引起的应变
z
dx
d z
梁轴线在xy平面内 弯曲时的曲率半径
y
d z
z
x
dx
dx
横截面上任意点（y, z)的正应变：
x
0
z
y
y
z
横截面上任意点（y, z)的正应力：
x
E x
E 0
E
y
z
E
z
y
在轴力和弯矩作用下，杆件横截面上的正应力对 于y、z都是线性分布的，即在空间形成一应力平面。
3. 静力学分析y
GDGCTU31
x
dx
x x
x
dx dx du
x E x
G
§3-2 杆件横截面上的正应力分析
考察杆横截面上只有轴力N、弯矩M y 、M z 作用的情形
y
My
Ry
Rz z Mz
Rx
x
N Mx
GDGCTU32
1. 平面假定与变形协调方程
取dx微段考虑
y
My
Nx z dxMz
平面假定：杆横截面位移后依然保持平面
EI y
1
y
EI yz
1
z
S y z dA
A
I y z2 dA
A
I yz yz dA
A
Mz
y x dA
A
A y E 0
E
y
z
E
z
y dA
ESz 0
EI yz
1
y
EIz
1
z
Sz y dA
A
I yz yz dA
A
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A
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1
y
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y
My
Nx z Mz
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A
z
dA
x dA
y
x
z
z x dA My
A
y xdA Mz
A
N
xdA
A
A E 0
E
y
z
E
z
y dA
பைடு நூலகம்
EA 0
ES y
1
y
ESz
1
z
S y z dA
A
Sz y dA
A
M y
z x dA
A
A z E 0
E
y
z
E
z
y dA
ESy 0
z
y
N My z Mz y
A Iy
Iz
5. 不同变形形式下的正应力 （1）轴向拉伸或压缩时的正应力
x
N A
P
P
P
x
GDGCTU36
（2）平面弯曲正应力
x
My Iy
z
或
x
Mz Iz
y
GDGCTU37
（3）斜弯曲时的正应力
x
My Iy
z
Mz Iz
y
y
My
x Mz
z
GDGCTU38
（4）中性轴的概念及其位置
GDGCTU33
设微段一侧截面不
y
My
动，根据平面假定， 另一侧截面将发生三
Nx
种位移： 在N作用下沿x方向平行移动
z dxMz
变在M形y 作协用调下绕方y轴程转动
在Mz 作用下绕z轴转动
(横co截m面p上a任tib意i点 lit（yye,zq)的ua位ti移o： n of deformation)
x
My Iy
z
Mz Iz
y0
y
My
x Mz
z
GDGCTU38
（5）截面核心的概念
A
A
A
EA 0 ES y
1
y
ESz
1
z
N
E
S
y
0
EIy
1
y
EI yz
1
z
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1
y
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1
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z
Mz EIz
x
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y
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1
y
EI yz
1
z
My
ESz 0 EI yz
1
y
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1
z
Mz
S y z dA, Sz y dA
A
A
I y z2 dA, I z y2 dA,
A
A
I yz yz dA
A
4. 问题的简化----正应力的一般表达式 若将y、z轴取为形心主惯性轴，则
Sy z dA 0, Sz y dA 0, I yz yz dA 0
d u d u0 (d y ) z (d z ) y
2. 应变分布与应力分布
横截面上任意点（y, z)的位移：
d u d u0 (d y ) z (d z ) y
横截面上任意点（y, z)的正应变：
x
=
du dx
d u0 dx
z dx
y dx
d y d z
0
z
y
y
z
0
=
d u0 dx