《圆的对称性》示范公开课教学PPT课件【青岛版九年级数学上册】
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解：∵ ∠1 ＝ ∠2， ∴ ∠1＋∠BOC ＝ ∠2 ＋ ∠BOC， 即∠AOC ＝ ∠BOD，
∴ AC＝BD ∴AC ＝ BD.
2.已知，如图，在⊙O中，AB ＝AC ， ∠ACB＝60°求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
解：∵ AB＝AC
∴AB ＝ AC， ∵ ∠ACB ＝ 60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB ＝ AC ＝ BC， ∴ AB＝AC＝BC ∴∠AOB ＝ ∠BOC ＝ ∠AOC.
整个圆的
1 360
叫做1°的弧.
可知：圆心角与它所对的弧有一下关系： 圆心角的度数与它所对弧的度数相等.
例题解析：
例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°， 以点C为圆心，AC为半径的圆交AB于点D， 求 AD所对的圆心角的度数.
解：连接CD， ∵ ∠C ＝ 90°，∠B ＝ 25°， ∴∠A ＝ 90°－25°＝65°， ∵CA ＝ CD， ∴∠A ＝ ∠CDA ＝ 65°， ∴∠ACD＝180°－2×65°＝50°，
结论：圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O·
B
∠AOB为圆心角
做一做：
在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的 圆心角∠AOB和 AOB(如图3－8)，将两 圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个 圆旋转一个角度，得OA与OA′重合.
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？
3.1圆的对称性
以旧引新，引导探究.
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是旋转对称图形.
用旋转的方法可解决下面问题.
●O
探究一：
如果在圆形纸片上任意画一条直径CD，过直径上 一点P作弦AB，弦AB与直径CD一定垂直吗？ 请同学们将图沿着直径CD对折，你能发现什么 结论？
例题解析：
例3 如图，AB，DE是⊙O的直径，C是 ⊙O上的一点，且 AD＝CE，BE与CE的 大小有什么关系？为什么？ 解：BE＝CE.理由是： ∵∠AOD＝∠BOE， ∴ AD＝BE , 又∵ AD＝CE ， ∴ BE＝CE
思考：
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份， 每份圆心角的度数是多少？ （2）把顶点在圆心的周角等分成360份时， 整个园被分成了多少份？每一份的弧是否 相等？为什么？
定理：
1.在同一个圆或等圆中，如果圆心角相等， 那么它所对的弧相等、所对的弦相等, 所对 的弦的弦心距也相等.
2.在同一个圆或等圆中，如果弧相等，那么 所对的圆心角__相__等_ 、所对的弦_相__等___， 所 对的弦的弦心距相__等___.
3.在同一个圆或等圆中，如果弦相等，那么 所对的圆心角_相__等__、所对的弧__相__等__,所对 的弦的弦心距__相__等_.
2
2
OD = OC - CD = R - 7.23 . 在 Rt△ODA 中，由勾股定理，得 OA2 = AD2 + OD2，即 R2 = 18.512 +（R 7.23）2 这个方程，得 R ≈ 27.3 . 所以，赵州石拱桥桥拱所在圆的半径约为
27.3 m
探究二：圆的中心对称性
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度， 还能与原来的图形重合吗？
1、圆既是轴对称图形，又是中心对称图 形,对称轴是过圆心任意一条直线,圆心是 它的对称中心.
2、垂径定理.
3、在同圆或等圆中, 对应弧、弦、圆心 角，弦心距之间的关系.
4、圆心角与它所对弧的度数的关系.
谢谢大家
∴AD 所对的圆心角的度数为50°.
例5 已知，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°， C是 AB 的中点，试确定四边形OACB的形状， 并说明理由. 解：四边形OACB是菱形.
理由：连接OC，
∵C是 AB 的中点，∴ AC＝ BC ∴ AC＝BC，∠AOC＝∠BOC＝ 1∠AOB＝60°，
2
小红认为 AB ＝ AB ，AB＝AB . 她是这样想的：
∵半径OA重合，∠AOB＝ AOB ， ∴半径OB与 OB 重合， ∵点A与点 A重合，点B与点B′重合， ∴ AB与 AB重合，弦AB与弦 AB重合. ∴ AB＝AB ，AB＝AB.
结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦相等.
求证：OA＝OB.
证明 作 OE⊥AB，垂足为点 E. 由垂径定理，得 CE = DE . ∵ AC = BD， ∴ AC + CE = BD + DE，即 AE = BE . ∴ OE 为线段 AB 的垂直平分线. ∴ OA = OB .
例题解析：
例2 1400 多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱 桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度（弧所对的 弦长）为 37.02 m，拱高（弧的中点到弦的距 离，也叫弓形的高）为 7.23 m .求桥拱所在圆 的半径（精确到 0.1 m）.
在⊙O中，如果直径CD⊥弦AB，垂足为P， 那么弦 AP BP、AD BD、AC BC.
结论：(垂径定理)
C
垂直于弦的直径,
平分这条弦
并且平分弦所对的两条弧.
·O
在⊙O中，如果CD是直径, A P
B
CD⊥AB于P，
D
那么：AP=BP，
AD BD,
AC BC.
例题解析：
例1 如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交 AB于点C、D，且AC=BD.
解 设桥拱所在圆的半径为 R（m）. 如图 ，用 AB 表示桥拱，AB 的圆心为 O . 经过点 O 作弦 AB 的 垂线，垂足为点 D，与 AB 交于点 C .
百度文库
∵ OC⊥AB，
∴ D 是线段 AB 的中点，
C 是 AB 的中点，CD 就是拱高.
∵ AB = 37.02，CD = 7.23，
∴ AD = 1 AB = 1 × 37.02 = 18.51，
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形∴AO＝AC
∵AO＝BO，AC＝BC＝AO＝BO，
∴四边形OACB是菱形.
试一试你的能力
判断下列说法是否正确： 1相等的圆心角所对的弧相等.（×） 2相等的弧所对的弦相等.（√ ） 3相等的弦所对的弧相等.（× ）
1.已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的 点，∠1＝∠2，求证：AC=BD.
∴ AC＝BD ∴AC ＝ BD.
2.已知，如图，在⊙O中，AB ＝AC ， ∠ACB＝60°求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
解：∵ AB＝AC
∴AB ＝ AC， ∵ ∠ACB ＝ 60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB ＝ AC ＝ BC， ∴ AB＝AC＝BC ∴∠AOB ＝ ∠BOC ＝ ∠AOC.
整个圆的
1 360
叫做1°的弧.
可知：圆心角与它所对的弧有一下关系： 圆心角的度数与它所对弧的度数相等.
例题解析：
例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°， 以点C为圆心，AC为半径的圆交AB于点D， 求 AD所对的圆心角的度数.
解：连接CD， ∵ ∠C ＝ 90°，∠B ＝ 25°， ∴∠A ＝ 90°－25°＝65°， ∵CA ＝ CD， ∴∠A ＝ ∠CDA ＝ 65°， ∴∠ACD＝180°－2×65°＝50°，
结论：圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O·
B
∠AOB为圆心角
做一做：
在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的 圆心角∠AOB和 AOB(如图3－8)，将两 圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个 圆旋转一个角度，得OA与OA′重合.
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？
3.1圆的对称性
以旧引新，引导探究.
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是旋转对称图形.
用旋转的方法可解决下面问题.
●O
探究一：
如果在圆形纸片上任意画一条直径CD，过直径上 一点P作弦AB，弦AB与直径CD一定垂直吗？ 请同学们将图沿着直径CD对折，你能发现什么 结论？
例题解析：
例3 如图，AB，DE是⊙O的直径，C是 ⊙O上的一点，且 AD＝CE，BE与CE的 大小有什么关系？为什么？ 解：BE＝CE.理由是： ∵∠AOD＝∠BOE， ∴ AD＝BE , 又∵ AD＝CE ， ∴ BE＝CE
思考：
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份， 每份圆心角的度数是多少？ （2）把顶点在圆心的周角等分成360份时， 整个园被分成了多少份？每一份的弧是否 相等？为什么？
定理：
1.在同一个圆或等圆中，如果圆心角相等， 那么它所对的弧相等、所对的弦相等, 所对 的弦的弦心距也相等.
2.在同一个圆或等圆中，如果弧相等，那么 所对的圆心角__相__等_ 、所对的弦_相__等___， 所 对的弦的弦心距相__等___.
3.在同一个圆或等圆中，如果弦相等，那么 所对的圆心角_相__等__、所对的弧__相__等__,所对 的弦的弦心距__相__等_.
2
2
OD = OC - CD = R - 7.23 . 在 Rt△ODA 中，由勾股定理，得 OA2 = AD2 + OD2，即 R2 = 18.512 +（R 7.23）2 这个方程，得 R ≈ 27.3 . 所以，赵州石拱桥桥拱所在圆的半径约为
27.3 m
探究二：圆的中心对称性
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度， 还能与原来的图形重合吗？
1、圆既是轴对称图形，又是中心对称图 形,对称轴是过圆心任意一条直线,圆心是 它的对称中心.
2、垂径定理.
3、在同圆或等圆中, 对应弧、弦、圆心 角，弦心距之间的关系.
4、圆心角与它所对弧的度数的关系.
谢谢大家
∴AD 所对的圆心角的度数为50°.
例5 已知，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°， C是 AB 的中点，试确定四边形OACB的形状， 并说明理由. 解：四边形OACB是菱形.
理由：连接OC，
∵C是 AB 的中点，∴ AC＝ BC ∴ AC＝BC，∠AOC＝∠BOC＝ 1∠AOB＝60°，
2
小红认为 AB ＝ AB ，AB＝AB . 她是这样想的：
∵半径OA重合，∠AOB＝ AOB ， ∴半径OB与 OB 重合， ∵点A与点 A重合，点B与点B′重合， ∴ AB与 AB重合，弦AB与弦 AB重合. ∴ AB＝AB ，AB＝AB.
结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦相等.
求证：OA＝OB.
证明 作 OE⊥AB，垂足为点 E. 由垂径定理，得 CE = DE . ∵ AC = BD， ∴ AC + CE = BD + DE，即 AE = BE . ∴ OE 为线段 AB 的垂直平分线. ∴ OA = OB .
例题解析：
例2 1400 多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱 桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度（弧所对的 弦长）为 37.02 m，拱高（弧的中点到弦的距 离，也叫弓形的高）为 7.23 m .求桥拱所在圆 的半径（精确到 0.1 m）.
在⊙O中，如果直径CD⊥弦AB，垂足为P， 那么弦 AP BP、AD BD、AC BC.
结论：(垂径定理)
C
垂直于弦的直径,
平分这条弦
并且平分弦所对的两条弧.
·O
在⊙O中，如果CD是直径, A P
B
CD⊥AB于P，
D
那么：AP=BP，
AD BD,
AC BC.
例题解析：
例1 如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交 AB于点C、D，且AC=BD.
解 设桥拱所在圆的半径为 R（m）. 如图 ，用 AB 表示桥拱，AB 的圆心为 O . 经过点 O 作弦 AB 的 垂线，垂足为点 D，与 AB 交于点 C .
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∵ OC⊥AB，
∴ D 是线段 AB 的中点，
C 是 AB 的中点，CD 就是拱高.
∵ AB = 37.02，CD = 7.23，
∴ AD = 1 AB = 1 × 37.02 = 18.51，
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形∴AO＝AC
∵AO＝BO，AC＝BC＝AO＝BO，
∴四边形OACB是菱形.
试一试你的能力
判断下列说法是否正确： 1相等的圆心角所对的弧相等.（×） 2相等的弧所对的弦相等.（√ ） 3相等的弦所对的弧相等.（× ）
1.已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的 点，∠1＝∠2，求证：AC=BD.