应用性问题

160 x 400 y 96000
x 100 解这个方程组得 y 200
答：该校采购了100顶小帐篷，200顶大帐篷
不等式（组）型应用题
例2：某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区 急需帐篷后，立刻到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有 两种规格，可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元； 可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。学校花去捐 款96000元采购这两种帐篷，正好可供2200人居住。 （1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人住 的大帐篷； （2）学校原计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆 将 所购帐篷紧急运往灾区，已知 甲型卡车每辆可同时装 运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运 12顶小帐篷和7顶大帐篷 ，如何安排甲、乙两种型号 的卡车可 一次性 将这批帐篷运往灾区？有几种方案？
（）作AE BC于E 1 Q 原来的坡度是1： 0.75 AE 1 4 EB 0.75 3 设AE 4k，BE 3k， AB 5k 又 Q AB 5米 k 1，则AE 4米
不等式（组）型应用题
一般步骤： （1）审：未知量、已知量、不等关系； （2）设：用字母表示未知数(写明单位)； （3）列：列出不等式（组）； （4）解：解所列不等式（组）； （5）验：检验答案是否符合不等式、符合题意 （6）答：写出答案.
例2：某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区 急需帐篷后，立刻到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有 两种规格，可供 3人居住的小帐篷，价格每顶160元 ； 可供 10人居住的大帐篷，价格每顶400元 。学校花去捐 正好可供2200人居住 . 款 96000元 采购这两种帐篷， （1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人住 的大帐篷； （2）学校原计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将 所购帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装 运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运 12顶小帐篷和7顶大帐篷，如何安排甲、乙两种型号的 卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有几种方案？
例4（08徐州）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图 表，请你根据图表信息完成下列各题：
项目金额/元 月功能费 基本话费 长途话费 短信费
5
金额/元 60 50 40 30 20 10 0
月功能费 基本话费 长途话费 短信费
50
45
25
项目
1.该月小王手机话费共有多少元？ 125元 2.扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角为多少度？ 72° 3.请将表格补充完整；将条形统计图补充完整.
y
95 90 85 80 75 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
分析：设日销售量为y 件，时间为x天。 易得： y 2 x 96
x
例3（08扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元， 经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件） 与时间（天）的关系如下表：
中考数学专题探究
第八讲 主 讲 单 位 实际应用性问题 傅文霞 镇江市江南学校
足球是全世界最热门的运动
足球场上有句顺口溜：“向着球门跑，越近就 越好；歪着球门跑，射点要选好！”从数学角度看 是何道理？
E C F
B
A
源自文库 E
F
C
A
B
应用题是中考试题的经典试题，解决应用 题的思想方法如下：
实际问题 分析、联想、 转化、抽象
时间（天） 日销售量(件)
1 3 6 10 36 … 94 90 84 76 24 …
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t （天） 的函数关系式为：y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数）；后20 天每天的价格y2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为： y2= —1/2t+40（21≤t≤40且t为整数）。下面我们来研究 这 种商品的有关问题。 （1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、 二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的 函数关系式；
件商品就捐赠a 元利润（a＜ 4）给希望工程，公
司通过销售记录发现，前20 天中，每天扣除捐赠
后的日销售利润随时间t的增大而增大， 求a的取
值范围。
日销售总利润=日销售量 (每件的价格-每件成本-a) 分析：
W
y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数） 1 可得：w 2t 96 t 5 a 1 t 20 4 2 整理得， w 1 t 2 a 7 2 a 17 2 1 t 20
时间（天）
1
3
6
10 36 24
… …
日销售量（件） 94 90 84 76
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与t时间（天） 的函数关系式为：y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数）；后20 天每天的价格y2（原/件）与t时间（天）的函数关系式为： y2= —1/2t+40（21≤t≤40且t为整数）。下面我们来研究 这 种商品的有关问题。 （1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、 二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的 函数关系式；
x
x 1000 是原方程的根，且符合题意．
答：该厂原来每天生产1000顶帐篷．
分式方程不要忘记检验!
若设时间为
x
天 ， 如何列方程呢？
不等式（组）型应用题
现实世界中不等关系是普遍存在的， 有关最佳决策、合理调配、统筹安排等 最优化问题，一般可通过对给出的一些 数据进行分析、转化、建立不等式模型， 再求在约束条件下的不等式的解集．
相等关系:
花96000元采购这两种帐篷 正好可供2200人居住 设：采购了 顶3人小帐篷，y 顶10人 住的大帐篷。
x
人数 小帐篷 大帐篷 总量
价格
3x
160x
10y
2200
+
+ 400y
96000
=
=
解：（1）设该校采购了x顶小帐篷，y顶大帐篷 根据题意得 3 x 10 y 2300
（2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大， 最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售 一件商品就捐赠a 元利润（a＜ 4）给希望工程， 公司通过销售记录发现，前20 天中，每天扣除 捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， 求a
的取值范围。
已知：日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 时间（天） 1 3 6 10 36 … 日销售量（件） 94 90 84 76 24 … （1）利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识 确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
20
W
y=-2x+96
y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数） 或y2= —1/2t+40（21≤t≤40且t为整数)
（2）设销售利润为w元，
1 w 2t 96 t 25 20 1 t 20 4 当t=14， 最大值为 1 或 w 2t 96 t 40 20 21 t 40 578元. 2
（2）请预测未来40天中那一天的
销售利润最大，最大日销售利润是 多少？
已知：商品每件成本为20元，未来40天内， 若设日销售量为y 件，时间为x天，则y=-2x+96 前20天：每天的价格y1（元/件）与t时间（天）的函数 关系式为：y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数） ； 后20天：每天的价格y2（元/件）与t时间（天）的 函数关系式为： y2 = —1/2t+40（21≤t≤40 且t为整数） 。 求：请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销 售利润是多少？ 分析：日销售总利润=日销售量 (每件的价格-每件成本)
例1(08镇江）
5.12汶川大地震发生以后，全国人民众志成 城．首长到帐篷厂视察，布置赈灾生产任务，下面 是首长与厂长的一段对话： 首长：为了支援灾区人民，组织上要求你们完成 12000顶帐篷 的生产任务． 厂长：为了尽快支援灾区人民，我们准备每天的生 产量比原来多一半． 首长：这样能提前几天完成任务？ 厂长：请首长放心！保证 提前4天完成任务！ 根据两人对话，问该厂 原来每天生产多少顶帐篷 ？
不等关系:
甲、乙两种型号的卡车能装走的小帐篷数至少为100顶
甲、乙两种型号的卡车能装走的大帐篷数至少为200顶 设： 安排甲种型号的卡车 甲 卡车数量(辆) 小帐篷(顶) 大帐篷(顶)
a
辆 乙 帐篷总量(顶)
a
20 a
4a + 12(20 a) 100 11a + 7(20 a) 300
相等关系 现在每天的生产量=原来每天的生产量 1.5 原来所用时间—实际所用时间=4 易 设： 原来每天生产 x 顶帐篷。 错 点 原来 现在
总工作量 12000 12000
工作效率
时间
x
12000 x
_
1.5x
12000 1.5x
=4
解：设该厂原来每天生产 顶帐篷，根据题意 得： 12000 12000 4 x 1.5 x 解方程得： x 1000 经检验：
2 则， 2 a 7 20且a 4
y=-2x+96
20
解得:
3 a 4
运用数形结合容易理解!
统计型应用问题 统计的内容有着非常丰富的实际背 景，其实际应用性特别强，与统计有关 的实际问题可建立统计模型，并利用统 计的知识加以解决。
统计型应用问题
一般步骤：
（1）审：已知量、未知量、量与量关系； （2）列：列式（算式、方程、不等式等） （4）解：解决统计问题； （5）验：检验答案是否符合题意 （6）答：写出答案.
1 2 整理得 w t 14 578 1 t 20 2
或
w t 44 16 21 t 40
2
最大值应在 t=21时取得， 为513元.
综上所知，当t=14时，利润最大，最大利润是578元。
不要忘记分类讨论!
（3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一
解：设甲型卡车安排了 a 辆，则乙型卡车安排了(20 a)辆 根据题意得
4a 12(20 a) 100 11a 7(20 a) 200
解这个不等式组得15≤a≤17.5 ∵车辆数为正整数 ∴a=15或16或17 ∴20-a =5或4或3 答：略。
不要忘记取整!
函数型应用问题 函数及其图象是初中数学中的主要内容 之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽 带;它与代数、几何、三角函数等知识有着密 切联系，在实际问题中，有关用料最省、造 价最低、利润最大等问题可以通过分析、联 想，建立函数模型，转化为函数的最值问题.
解答数 学问题
建立数学模型
应用性问题的常见模型有：
方程模型
不等式模型
函数模型
统计模型
几何模型
方程（组）型应用题
一般步骤： （1）审：未知量、已知量、相等关系； （2）设：用字母表示未知数(写明单位)； （3）列：列出方程（组）； （4）解：解所列方程（组）； （5）验：检验答案是否符合方程、符合题意 （6）答：写出答案。
几何型应用问题
几何型应用问题常常以现实生活情 景为背景，考查学生识别图形、动手操作 图形、运用几何知识解决实际问题以及探
索、发现问题等能力，同时也对学生观察、
想像、分析、综合、数形结合等数学思想
方法进行考查．
例5： 一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图7所 示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB的 坡度由1∶0.75改为1∶ 3 ；② 用一组与背水坡面长边垂 直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间 地种草与栽花 ． ⑴ 求整修后背水坡面的面积； ⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方 米20元，那么种植花草至少需要多少元？
函数型应用问题 一般步骤： （1）审：常量、变量、相等关系； （2）设：用两个字母分别表示自变量、因变量； （3）列：列出函数关系式（写出自变量的取值 范围） （4）解：解决函数问题； （5）验：检验答案是否符合函数关系、符合题意 （6）答：写出答案.
例3（08扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元， 经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件） 与时间（天）的关系如下表：