线性代数复习资料

1、 行列式的展开定理：（任意某行或某列所有元素和对应代数余子式相乘后求和。） 例：已知3阶行列式|A|中第3列元素依次为3，1，0，它们的余子式依次

为4，2，-9，求|A|=10

２、行列式的性质：

３、矩阵的运算：

（１）相加 ①条件：同型 ②规则：对应元素相加

（２）相乘 ①条件：列数与行数相同矩阵 （m ｘs 与s x n m ｘn ）

②规则： （３）规律

注意：运算次序不能颠倒 例如()(

)22B A B A B A -=+-　（ⅹ） ４、转置矩阵

（１）定义：由各行对换成相应的列所构成的矩阵（ＭｘＮ ＮｘＭ）

（２）

５、伴随矩阵

（１）定义：由行列式｜Ａ｜中各行元素对应代数余子式对换成相应的列所构成的方阵

（２）性质：

６、可逆矩阵及其性质

（１）求法： ①待定系数法 ＡＡ－１

＝Ａ－１

Ａ＝Ｅ②公式法 ③初等变换（Ａ｜Ｅ）∽（Ｅ｜Ａ

－１

）

（２）性质：

.

)

(;

)

(;)(;

)

(A B A B A

A B A B A A A T T T

T

T T T T

T T

==

+=+=λ

λ. ,)()4.

,)()3.),()2.D D ,1)T 乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零则此行列式完全相同列如果行列式有两行行列式变号列互换行列式的两行即式相等行列式与它的转置行列

k k =.

, )( , )( )8.

, )( )7.

, )( )6.

)( )5行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列式之和此行列式等于两个行列则的元素都是两数之和行若行列式的某一列式为零则此行列元素成比例列行列式中如果有两行提到行列式符号的外面以的所有元素的公因子可列行列式中某一行;

)(,)(CA BA A C B AC AB C B A +=++=+);

(),()()(为数其中λλλλB A B A AB ==.E A A A E n n m n m n m m ⨯⨯⨯==);()(BC A C AB =∑

==+++=s

k kj ik sj

is j i j i ij b a b a b a b a c 1

2211 .

)()

();

0(1

)(;)(11

1

11

1

A A A A A A T

T ----=≠⋅=

=--λλ

λ.

,1

A

A A

A *

-=则可逆若矩阵.:E A A A A A ==*

*随矩阵具有重要性质

（3）利用可逆矩阵证明或解矩阵方程（注意：矩阵方程变形时不能改变矩阵的性质 ）

例如：矩阵A 满足：A 2-3A -2E =0， 求A -1

变形时不能出现矩阵与数的加法运算： 比如：A(A-3)=2E 是错误运算。

７、方阵行列式性质：

例：

解：由 知： A*=|A|A -1 ①

因为 AA -1 = E 则 | AA -1 | =|E| 即有 |A||A -1|=|E| ② 又 |A -1|= -2 |E|=1 把其带入②知 |A|=-1/2 ③ 把③带入①知： A* = -1/2 A -1

8、向量组秩 （ 对应矩阵初等行变换为阶梯形矩阵后的阶梯数） 9、向量组相关性 （向量组秩小于向量个数则有关，等于则无关）

例如：已知向量a 1=(１，１，２) a 2=(２，３，１ ) a 3=(３，２，Ｃ)

（１）线性相关：ｃ＝７ （２）线性无关：不等于７

10、向量组的加法运算 （满足矩阵相加运算规则）

设α=(2，1，-2)，β=(1，2，3)，则求2α－3β=（１，－４，－１３）

11、线性方程组的矩阵形式和向量形式表示 例如:⎪⎩⎪

⎨⎧+=+=+=3

33223113333222211223312211111y a y a y a x y

a y a y a x y a y a y a x ＋＋＋

（１）如果：⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=321y y y Y 则矩阵表示形式

Y A X T =

（２）如果：a 1=(a 11 a 12 a 13)

T

a 2=(a 21 a 22 a 23 )T a 3=(a 31 a 32 a 33)T

则向量表示形式：ｘ＝a 1ｙ１ ＋ a 2ｙ１

＋

a ３ｙ３

12、线性方程组解的判断

（１）齐次：有零解条件是系数行列式不等于０. 例如

求：ｐ为何值时有非零解（ｐ＝１）并确定其一个基础解系.

.;,,,B A AB A A n B A n ==λλλ则阶方阵为为数设.,1

A A A A *

-=则可逆矩阵

（２）非齐次：有唯一解条件是系数行列式不等于０ ，一般都是根据（系数矩阵的秩）

①Ｒ（Ａ）≠Ｒ（Ａ｜ｂ） 无解

②Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ａ｜ｂ）＜ｎ（未知量个数） 通解（无穷多个解） ③Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ａ｜ｂ）＝ｎ（未知量个数） 唯一解

例如：给定线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=+λ+=+λ+=++4

x x 2x 3x x x 4x x x 321

321321,

(1)问λ在什么条件下,方程组有解?又在什么条件下方程组无解? (2)当方程组有解时,求出通解.

当方程组有无穷多解．

说明：不管是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组，其解都可以用初等行变换

的方法，把系数矩阵或其增广矩阵变换为行最简形矩阵，然后写出解向量形式求基础解系。

13、向量的内积 ( 对应元素乘积之和，是数)

例如：已知向量α=(１，1，0，２)T ，β=(－1 , 2, 1, ０ )T , 求［αβ］＝１ 14、单位向量 （原向量各成分平方和后所构成的向量）

例如：向量α=Ｋ(-3, 1, 5, -1 )为单位向量，求Ｋ＝１╱６

15、矩阵的特征值和特征向量求法 (A-入E)=0 | A-入E|=0 （特征方程）

已知矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭

⎪⎪⎪，的一个特征值为１. 求（１）对应的特征向量：212-⎛⎝ ⎫⎭

⎪

⎪⎪（２）｜Ｅ－Ａ｜＝０