弹塑性有限元分析

Ｆ ｆａ）ｃ ＝ （； ＝ ， 一 ０ （３ ６０ －）
式中ｃ 为与材料有关的参数。上式退化为单轴应力状态时， 可以 ｃ 根据单轴应力
应变曲 线上定义的屈服强度或破坏强度确定。 此可以引 因 用等效应力和等效应变 的 概念来利用单应力应变曲 线的试验结果。用上式可以 绘制应力空间中的屈服 面， 对于脆性材料即为破坏包络曲 若Ｆ＜ ， 面。 ０ 则处于弹性工作状态； ＿ ， 若Ｆ＞ ０
形是与加载路径有关的，因 此增量理论是目 前有限元分析的主流理论。 对于增量理论， 需要一个准则来判定材料处于屈服状态后塑性变形增量的方
向，该准则称为塑性流动准则，因此增量理论也称流动理论。 采用增量理论确定空间应力状态材料的本构关系的步骤为： １ ． 假定屈服条件或屈服面 屈服条件可表达为空间应力的屈服函数
化规律确定：
．引 兑
明
Ａ Ｆ＿（ 飞 ＿ａ，丁Ｑ 、ａ
６
ａ Ｋ、’１ｃ１ ａ
１ （ ５ 口 －
ｅ
飞 Ｏｎ ）
若材 料的塑 位势函 性 数就是规定的 服面函 （－ ） 相应的塑 屈 数 ｑＦ ， － 性流动 称 准则
为相关流动准则，否则称为非相关流动准则。
式 －就 弹 性 况 增 形 的 构 系 阵 ． 式 夙１映 ）是 塑 情 下 量 式 本 关 矩 ［ｊ算 。 反 （７ ６ ３ Ｄ计 ，
了 应力与总应变曲 切线斜率， 线的 将其代替单元刚度矩阵计算式中的 本构关系矩
阵得 单 的 线 度 习相 的 塑 有 元 程 即 到 元 切 刚 卜 ，应 弹 性 限方 为
Ｊ 卜［ ］８ Ａ Ｋ ［｝ Ｒ ， ｄ
位移切线刚度矩阵
（－ ） ６３ ９
沁｝ 荷 增 所 应 等 结 力 量 仁 ｝ 结 位 增 ， 构 载 为 载 量 对 的 效 点 增 ， Ｓ 点 移 量 结 荷 一 为
３ ． 根据塑性流动准则确定塑性应力增量与应变增量之间的关系
在初始弹性阶段， 应力应变存在一一对应关系， 即广义虎克定律。 进入塑性 状态后， 不再有一一对应的关系， 只能建立应力增量与应变增量的关系， 即增量
形 的 构 系 一 应 增 ｛｝弹 应 增 ］． 塑 应 增 协 式 本 关 。 点 变 量ｄ 由 性 变 量ｄ｝ 性 变 量 ， ｅ ，和
的结果与试验资料能很好的吻合。特别是在低静水压力区与试验结果相当吻合
［。 ９ 矩形钢管混凝土析架节点中，核心混凝土处于三轴应力状态， １ ］ 管壁对核心
混凝土产生的约束作用不大，比较适合采用 Ｗｉ ｍ Ｗａ ｋ 的五参数破坏准则。 ｌ － ｍｅ ｌ ａ
该准则在主 应力 （； Ｑ， 空间 破坏面通常 Ｑ， ３ ２ Ｑ） 上的 表示为 静水压力咨 和与 静水 轴相垂直的 压力 偏平面 应力， 相 上偏 与 似角。 数， 的函 如图６ ６ － 所示。 、 咨
两部分组成：
沁卜恤。 ｝ 卜叭 （２ ６） － ３
式 弹 应 增 可 弹 本 矩 ［确 ， ｛｝ Ｄ＇ ， 性 变 中 性 变 量 由 性 构 阵Ｄ 定 即ｄ 卜［ ｛ ｝塑 应 增 』 ｅ ｒｄ ，
量根据塑性流动准则确定。 根据 Ｍｉｓ ｓ 提出的塑性位势理论， ｅ 塑性流动的方向（ 塑 性应变增量矢量的方向）与塑性位势函数的梯度方向相一致，即
ｒＢ ， 与主应力ＣＩ ３ ｌ Ｉ ２ ）的变换关系为 Ｑ Ｑ
２，６ 一 ３ Ｑ一 ２ Ｑ
咨 ，Ｑ ， ＝ ｍ ＝Ｆ ｍ ， 汤 ３
ｃ ｓ ｏ Ｂ＝
（－４ ） ６ ７
式。合＋＋） 了一’２）Ｑ 尹因 中 一ＱＱＱ 一六 ‘ ）？ ’３ 。 二 （ ２ ， ｒ ３ 。 ＋ ＋ 】 （ （可 一 一
ａ ｂ
肪 湘 川
、 ！ ． … １ ． ． 一
应变Ｅ一直延续到ｅ １ １ １ ｚ ０ 的ｂ ＝６
点： ③强化阶段 （‘ ｂ 段） 用一条
直线来简化，该直线一直延续到 抗拉强度ｆ ｕ ，对应的应变为
ｏ ｅ ，Βιβλιοθήκη Baidu
匀
图６ －５钢材的 应力￣应变关系曲 线
３ ０１ ｆ１ ６ １ ６ 取 ｝ ． ④二 塑 ＝ ０ ， ＝ 所。 次
１． （ ｌ ａ ｌ。 ｇ ．＝ － ａ ｗ 乙，石 几５ Ｔ
６
飞 凡ｊ ｝
ｌ ａｌ ａ
其中Ａ 是一待定参数．因此，式 （－３）可改写为 ６ ０
同［ ＋ 一＇ 愣Ｊ Ｄ ｒ 网 ｛［｝］ ｄＤ一｝ ， ｌＡａ ｝ ［ｕ ＝ Ｄ ｄ ｅ
６ ６
，Ｊ ４
，Ｊ 工Ｉ
〕
进一步改写为
点可取 ２ ２２ ｘｘ＜
６２ ．
（ 一２ ） ６ ９
根据式 （ ２ ） 混凝土单元刚度矩阵同样可采用高斯积分求得，高斯积分 － ８， ６
弹塑性有限元分析
弹塑性增量理论
６２ １ ．．
上 单 刚 矩 的 算 确 单 材 的 构 系 阵Ｄ 即 定 料 元 度 阵 计 需 定 元 料 本 关 矩 ［ ， 确 材 述 ］
系 ｝ ５０ 数， ＝ ／ ６
Ｖ １
ｏ ０
０
０ ０
１ 一ｖ
２
（一 ） ６２
应用于钢材的一个通用的屈服准则是Ｖｎ ｓ 屈服准则， ｏ－ ｅ Ｍｉｓ 其一个便于应用
的屈服函数表达式为
Ｆ＝ 。 人＝ ａ一 ０
口．＝
（－３ ６ ） ４ （－４ ６ ） ４
合：ｒ（ ：（。）ｒｒ・ （－ ， ）ａ ｘ ３＋＋） （ ａ 一Ｚ ） （ ｎ“ 。 ）。 ＋一ｓ ｝ ｚ ＋ ： ＋ ，
角Ｂ 处的偏应力为
２（ 一２ｏ ＋ ，ｒ ４，ｒｃ２＋ｒ ４ ｒ， ｒｃ０． ｒ ， （ 一２ｏＢ ５ 一ｒ ． ， ｓ （ 一） ｒ ， ｓ ， ， ｒ ） ， ２ ４． ） ， ｒ ） （ ＝ Ｂ
由 ６ ２） 以 得 元 变 单 结 位 的 系 阵 】单 结 位 式（ ５可 求 单 应 与 元 点 移 关 矩 巨 ， 元 点 移 －
矩阵６二 １２ ３ ，８， ｖｗＴ １， ”） 得到 刚 矩阵 １０［， ， Ｓ ［ ｉ ｌ （ ， ，８。 单元 度 １ Ｓ ａ ９二 ｆ Ａ ， ｕ ＝ ］ ， ｆ ２ 二 ］ ＝ ３
［】 ［｝ ｊ ．Ｂｖ Ｋ一 Ｋ一 ［［Ｉ ， Ｔ Ｂ，］ ．Ｙ Ｚ Ｄ ［ ｆ ＇
６． ．２钢管材料本构关系 ２
单元应力应变矩阵取一般的形式
（－０ ６４）
（－１ ６ ） ４
钢管采用板壳单元， ，０ 弹性矩阵 ａ＝， 相应的 行列取为０ 如式 （－ ） ， ６ ２ 所示。 ４
式中Ｅ 伪 弹性模量和泊 ， 松比 扮 考 应力沿 ， 虑剪 板厚度方向 不均匀 分布的 修正
如图 ６ －５ 采用多线性随动强化准则，文献［所建议的 ４ ］ 等效应力应变曲线，
简化模型，本文不考虑弹塑性阶
ｆ卜 －－－－－－－－－－－ －－ ：． －－－－－－－－－－－ －－一
… … 。 １． … …
段，即弹性阶段一直保持到屈服
点 ； 服平台 （ 段） 石 ②屈 ａ ｂ 用一
条水平直线表示，此阶段从屈服
利用雅可比变换，单元刚度矩阵
［一Ｊ［［［Ｉｄ Ｋ 工１］］ ｒｔ （， ］ ，１ ＤＢ ｌｄ 。 １ Ｔ Ｊ ｓ Ｂ ］ ｄ ６８ 一）
为了 提高单元的精度， 实体单元的位移模式中也可增加附加位移项， 位移模
式为
ｕ 艺Ｎｒ， ； 一２ ｕ１ｓ ＋，一 ） 一 ； ）＋， ｒ ＋ｂ一２ ｕ１， （ｓｕ ｕ１ ） （ ） （ ， ， （ ｔ
性流动阶段 （ 段） ｃ ｄ 也是一条水平直线。
根据相关流动准则得到弹塑性矩阵为
呵 Ｄ 瓢粼［ ］ ［｝ － Ｄ一 ．回 Ａａ托 ＋｝ ｛Ｔ ８［ａ Ｄ｝ Ｂ
根据式 （－３ ）可以求得Ａ即 ｂ 段的斜率。 ６ ７ ｅ
（ ４） ６６ －
式中Ａ对应于塑性流动阶段 （ｂ ａ 段和 ｃ 段） ｄ 取Ａ ；对于强化阶段 （ｃ ＝０ ｂ 段）
应力范围等加以适当选择。 于本文研究的重点是矩形钢管混凝土析架节点的承 由
载力， 节点变形也主要取决于钢管的变形， 因此本文对管内混凝土材料也采用弹
塑性本构模型，即将混凝土视为理想弹塑性材料。
塑性理论一般由三部分组成： １ ）屈服准则：即应力状态满足什么条件时进入屈服状态；
２ ）强化准则：材料初始屈服后，继续加载时屈服面在应力空间中的移动，
多维空间应力应变关系。 在有限元分析中引入多维本构关系， 为了 国内外学者进
行了 大量的 试验和理论研究， 提出了 众多的非线性材料的本构模型， 包括基于多 轴试验数据的非线弹性模型和基于经典塑性理论的 弹塑性本构模型， 及基于各 以 种新兴力学分支的 本构模型， 例如粘塑性理论、内 时理论、 断裂力学、 损伤力学 等９０ １１ ８１ ．］钢材是 较理想的 弹塑性材料，比 适合 较 采用弹塑性本构模型。 混 对于 凝土材料， 很难得到一个通用的本构模型， 根据结构分析的 只能 特点、 精度要求、
［ ＝ Ｔ ］ｙ Ｋ ｆ ］ ｄ ］ ｆ ［ ｄ ｀ ］ Ｂ ｚ ｇ［ ＊ ＢＤ （２ ６６ 一）
由 单元整体坐标与自 然坐标变换公式 （－１ ）可以得到 ６ ５ ａ
ｄｙ 一 ｄｓ ｘｄ 冈ｒｄ ｄｚ ｄｔ （２ ６ ７ － ）
ｘ 为塑性变形过程中所作的塑性功， ＝ 对应于初始屈服面。 ｘ０ 对于理想弹塑性材
料没有强化阶段，初始屈服面与后续屈服面是重合的。
塑性理论的强化准则主要有等向 强化和随动强化． 等向强化假定后续屈服面 的形状、 中心与初始屈服面相同， 大小随强化程度作均匀扩大； 随动强化假定后 续屈服面的形状、大小与初始屈服面相同，但在应力空间中发生平移。
网 ［Ｄ＠
（］Ｄ （｝［Ｒ） ［－ ｄ一 ｍ Ｄ ［ｂｅ Ｄ ｄ ， ，
６
气， 润０
可以推导出
［ ｝｝ Ｄ ｛Ｔ ｝ ａ［ ａｖ］ Ｑ Ｄ ＝Ｄ ［ ］ Ａａ （ ＋｝ａ ｛ＴＱ ａ［ １ Ｄ
６ ［
ｎ 一 一—
，ｊ ，
护
式中的 Ａ为应变硬化参数，对于理想弹塑性材料， ＝ ；对于强化材料 Ａ ０
即屈服条件的变化准则：
３ ）塑性应力一应变关系：分为全量理论和增量理论。
全量理论讨论的是塑性应变本身与应力间的关系， 与加载路径无关， 只适合 单调比例加载， 在有限元分析中己 很少采用。 增量理论讨论塑性应变增量与应力
增量间的关系， 在描述材料塑性状态时的应力应变关系用增量形式。 由于塑性变
则认为材料进入塑性。 ２ ． 根据强化准则确定后续屈服面
材料进入塑性后， 继续加载或卸载，屈服条件发生改变， 称为强化，所形成 的新的屈服面称为后续屈服面，也称加载面。屈服函数可以表达为
Ｆａ， ＝ （； ） ０ ｊ ｘ （３ ６１ －）
此破坏面函 位１ ２ ２＝ 与Ｆｇ ， ０ 数Ｆ ， ， ） ０ （ ｒ ） ６６ ， ＝ Ｂ 之间可以 很方便地替换。
Ｆ ，印＝ 在偏平面上， ０ 偌ｒ ， 其包络线由６ 段相同 椭圆 线连接而成， 的 弧曲 相
邻曲线段在Ｂ ０和８ ６０ ＝０ ＝０处都符合连续条件， 如图６ （） －６ 所示， ａ 偏平面相似
式 。为 效 力 ． 应 单 应 状 下 屈 点 对 板 单 的 管 中 。等 应 ，， 于 轴 力 态 的 服 ・ 于 壳 元 钢 ， ｆ 对
忽略厚度方向的应力，则
ａ＝ ’Ｏ ，叮 十ｚ ．扣： ＇ 十 ３ 一ｘ ａ 忌
所示： ①弹性阶段 （ａ ｏ 段） 是以
弹性模量 Ｅ为斜率的直线，为了
（－５ ６４）
６． ． ２ ３混凝土的弹塑性增量形式本构关系
，破坏准则 国内外学者提出的混凝土破坏准则不下数十个， 其中） ｌ － ａ ｋ 五参数 Ｖｌｍ Ｗ ｍ ｅ ａ
破坏准则建议的包络面能符合破坏包络面的几何要求， 在包括拉伸应力的实际应
用范围中的二轴和三轴拉、 压状态都有准确的计算强度， 对于所有应力组合得到