均匀设计

均匀试验设计
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主要内容
均匀设计的概念、特点、原理
均匀设计的具体应用方法
1 什么是均匀设计
1.1 均匀设计的概念
均匀设计(Uniform Design)是一种试验设计
方法(Experimental Design Method),称为均 匀设计(Uniform Design)或均匀设计试验法 (Uniform Design Experimentation)。它可 以用较少的试验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析 因试验设计方法。
3.3.2 设计表的选择 选择均匀设计表需要注意以下几点： (1) 要满足试验次数的要求：即确定Un表n的 问题；
(2) 表的列数要满足试验因素数的要求；即确
定Un表s的问题；
3.3.3 回归模型建立
回归模型可分为线性回归模型和非线性模型 等。 3.3.3.1 线性回归模型 分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。 (1) 一元线性回归模型 模型为 y=a+bx,线性相关的程度常用相关系 数来衡量，在某一显著性水平α下，当相关系数 的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x和y 有线性相关关系。
3.3 具体问题的解决方法
试验次型优化
试验参数优化 使用均匀设计时需要注意的其它问题
例1 某猪场研究30-
50kg育肥猪的饲料配方 时，研究蛋白质、消化 能和粗纤维三个因素的 不同水平对该阶段猪增 重的影响，具体因素与 水平如表：
3.1 试验设计的共性问题（续1）
（1） 因素的含义：在一个试验过程中，影响试验指 标的因素通常是很多的，通常固定的试验因素在试验 方案中并不称为因素，只有变化的因素才称为因素； （2） 关于因素数量：在一项试验中，因素不宜选得 太多(如超过10个)，那样可能会造成主次不分；相反 地，因素也不宜选得太少（如只选定一、二个因素）， 这样可能会遗漏重要的因素，或遗漏因素间的交互作 用，使试验的结果达不到预期的目的；
3.1 试验设计的共性问题（续2） （3） 关于各因素的水平范围：试验水平范围 应当尽可能大一点。如果试验在实验室进行， 试验范围大比较容易实现；如果试验直接在生 产中进行，则试验范围不宜太大，以防产生过 多次品，或产生危险。试验范围太小的缺点是 不易获得比已有条件有显著改善的结果； （4） 关于因素的水平数：若试验水平范围允 许大一些，则每一因素的水平个数最好适当多 一些；
3.3.3.2 非线性回归模型
一般分为二次型回归模型、多项式回归模型 等。 (1) 二次型回归模型 由于因素间常有交互作用，那么前面的回归 模型就不足以反映实际，于是二次型回归模型常 常为人们所采用。若有 m个因素则二次型回归模 型为：
回归方程中的项数为m(m+3)/2，若使回归系数的 估计成为可能，则需要试验次数n>1+m(m+3)/2， 因此进入方程的变量必须经过筛选，如采用前进
2.2 均匀设计表的产生
每个均匀设计表都规定了它的使用表，用于进 行试验各因素水平组合的具体安排。这样做的原因 是：从均匀设计表Un(nm)中选出 s列, 则可能的选择 有(ms)种， 但不同列组合起来所代表的点集的均匀 性是不同的，所设计试验的效果也是不同的，因而 如何选用均匀设计表中的列必须引入一个判别表的 均匀性好坏的准则。度量均匀性的准则很多,其中偏 差(discrepancy)是使用历史最久、最为广泛接受的 方法，均匀设计也同样采用偏差来衡量其设计表的 均匀性，偏差越小，则设计表的均匀性越好。
3 均匀设计的应用方法
试验设计的共性问题
均匀设计的应用方法 具体问题的解决方法
3.1 试验设计的共性问题 试验设计（如正交试验设计、裂区试验设 计、系统分组设计等）过程必然离不开试验基 础内容的构思（试验的评价指标；试验的因素、 水平的选择和试验次数的拟定）、试验结果数 据的分析等共性方面的问题。试验的因素和水 平的选择关系到一个试验能否成功的关键，下 列的注意事项和建议对使用试验设计（当然也 包括均匀设计）的人员应该是有益的：
3.1 试验设计的共性问题（续3）
（5） 关于因素的水平间隔：水平间隔的大小和生产 控制精度是密切相关的。如不切实际地降低试验的水 平间隔，在试验范围确定了的情况下必然会引起试验 次数的增加；而因素水平间隔太大，其试验结果的中 不确定性成分也必然增加； （6） 因素和水平的含意可以是广义的：例如五种棉 花用于织同一种布，要比较不同棉花影响布的质量的 效应，这时“棉花品种”可设定为一个因素，五种棉 花就是该因素下的五个水平。
因素 水平 1 2
A 粗蛋 白（ %） 12 13
B 消化 能（ 卡） 2500 2600
C 粗纤 维（% ） 4 5
3
4 5 6 7
14
15 16 17 18
2700
2800 2900 3000 3100
6
7 8 9 10
3.3.1 试验次数问题
均匀设计的最大特点是试验次数等于因素 的最大水平数，而不是平方的关系，试验次数 与被考均匀设计的最大特点是试验次数等于因 素的最大水平数，而不是平方的关系，试验次 数与被考察的因素的个数有关，建议试验次数 选为因素数的３倍左右为宜，这样选择的均匀 设计表的均匀性好，也有利于以后的建模和优 化。察的因素的个数有关，建议试验次数选为 因素数的３倍左右为宜，这样选择的均匀设计 表的均匀性好，也有利于以后的建模和优化。
注意：回归模型不等于回归方程，回归方程只是回归模型中的表达方式的部 分，一个完整的模型的表述，包括它的数学表达部分—回归方程，还有因素 的组成、因素范围和置信水平、随机误差等内容，本文论述中为了直观的原 因，可能将“回归方程”表述为“回归模型”。
3.3.3.1 线性回归模型（续）
(2) 多元线性回归模型 当影响因变量ｙ的自变量不止一个时，比如有 ｍ个x1,…,xm 这时ｙ和ｘ之间的线性回归方程为： y=a+b1x1+b2x2+,…,+bmxm,其回归显著性检验一般用 Ｆ检验，方程中各项在回归中的重要性用该项的偏 回归平方和进行判定。由于其回归系数的求解需要 解用来确定回归系数的的方程组--正规方程，通常 情况下仅此一项工作就导致分析过程中需要进行大 量的计算，在方程项数很少的情况下还可以通过人 工方式在可接受的时间内完成，否则一般都要借助 计算机才能完成。
水平数
均匀设计表U11(116)和它的使用表
均匀设计表 U11(116)
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 11 3 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 11 4 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 11 5 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4 11 6 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11
(4) 用分次试验的指标值和取得该指标值的各因 素水平值建立试验指标—各因素水平关系的回归 模型（这也是均匀设计中的最重要的环节之一)； (5) 成功地建立了回归模型后在各试验因素的试 验范围内寻找最佳的各因素水平组合并进行该组 合的验证试验（也可和步骤６一起进行)； (6) 验证试验成功则进一步缩小各因素的试验范 围，重新选择均匀设计表（即从步骤２开始）进 行各因素范围缩小和水平划分更为细致的新的一 轮的试验，进一步寻找最优试验条件组合。一般 情况下，此次最优条件即为整个试验的最优条件， 试验结束。
1.2 均匀设计的特点（续2）
试验数随水平数增加而增加，若采用正交设计，试 验数则随水平数的平方数而增加。例如用正交设计 需做961次5因素31水平的试验，采用均匀设计只需 做31次试验，其效果基本相同。由于均匀设计不再 考虑正交试验的整齐可比性，因此其试验结果的处 理要采用回归分析方法—线性回归或多项式回归分 析。回归分析中可对模型中因素进行回归显著性检 验，根据因素偏回归平方和的大小确定该因素对回 归的重要性；在各因素间无相关关系时，因素偏回 归平方和的大小也体现了它对试验指标影响的重要 性。这些一般都要借助计算机才能完成。
2 均匀设计的原理
均匀设计表和使用表各部分的含义
均匀设计表的产生 混合水平均匀设计表的产生方法
2.1 均匀设计表和使用表各部分的含义
均匀设计和正交设计相似，也是通过一套精
心设计的表来进行试验设计的。均匀设计表 用Un(qs)表示
如图：
均匀设计 因素的最大数
Un
试验次数
s) (q
3.3.3.2 非线性回归模型（续2）
个比较小的邻域内可用多项式任意逼近，因此在比较 复杂的的实际问题中，可以不问ｙ与各因素的确切关 系如何，而采用多项式进行分析（一次多项式是多项 式的特例）。在多项式回归模型中，常用的子模型结 构如下：
3.3.3.2 非线性回归模型（续3）
（1）对数(Logarithm)：包括自然对数、常用对数和以n为底对数， 数学表达式分别为Ln(x)、Lg(x)、Logn(x)[以下将“数学表达式”和 “函数”类的语句省略] （2）幂(Power)：整数次幂、非整数次幂，xn （3）倒数(Reciprocal)：1/x （4）三角函数(Trigonometric function)、反三角函数(Inverse trigonometric function)(涉及力学领域等常用，比如工件的切割、 弹道轨迹等),包括有：正弦 Sin(X)、余弦 Cos(X)、正切 Tan(X)、 余切 Cotan(X)、正割 Sec(X)、余割 Cosec(X)、双曲正弦 HSin(X)、 双曲余弦 HCos(X)、双曲正切 HTan(X)、双曲余切 HCotan(X)、双 曲正割 HSec(X)、双曲余割 HCosec(X)、反正弦 Arcsin(X)、反余 弦 Arccos(X)、反正切 Atn(X)、反余切 Arccotan(X)、正割： Arcsec(X)、反余割：Arccosec(X)、反双曲正弦：HArcsin(X)、反 双曲余弦：HArccos(X)、反双曲正切：HArctan(X)、反双曲余切： HArccotan(X)、反双曲正割：HArcsec(X)、反双曲余割： HArccosec(X)。 （5）幂指数：anx
U11(116)的使用表
S 2 3 4 1 1 1 5 4 3
列
号
D 0.1632
5 4 5
0.2649 0.3528
5
6
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5 6
0.4286
0.4942
说明：设计表中的列代表的是各因素的水平，
但具体代表的是哪个因素的水平，需按使用 表确定，使用表s一栏的数字是试验的因素数， 它后面的数字指定了各种因素数进行试验时 该如何选择设计表的列；使用表中D栏代表 不同因素数选择设计表的不同列时均匀设计 的偏差，偏差越小，均匀性越好，试验成功 的几率和结果的可靠性越大。
1.2 均匀设计的特点（续1）
的试验点并没有能做到充分 “均匀分散”;为了达 到“整齐可比”，试验点的数目就必须比较多(例如 用正交表安排每因素为q个水平数的多因素试验,试 验的次数为rq2,r为自然数)。均匀设计只考虑试验 点在试验范围内充分“均匀散布”而不考虑“整齐 可比”,因此它的试验布点的均匀性会比正交设计试 验点的均匀性更好，使试验点具有更好的代表性。 由于这种方法不再考虑正交设计中为“整齐可比” 而设置的实验点，因而大大减少了试验次数，这是 它与正交试验设计法的最大不同之处。采用均匀设 计，每个因素的每个水平仅做一次试验，当水平数 增加时，
3.2 均匀设计的应用方法
均匀设计的具体应用过程一般分以下六个 步骤： (1) 确定试验指标、因素、因素水平范围和因 素水平数（这是关系到试验成功与否的关键）； (2) 选择合适的均匀设计表建立分次试验的具 体因素水平组合； (3) 执行分次试验并取得每次试验的指标值；
3.2 均匀设计的应用方法（续1）
3.3.3.2 非线性回归模型（续1）
法、后退法、逐步回归法或最优子集法等进行变量的 筛选。其回归系数求解可经过方程项的转换按多元线 性回归的方法完成。 (2) 多项式回归模型 一般地，包含多变量的任意多项式可表述为： 可通过类似x1=Z1,x2=Z2,x3=Z12,x4=Z1Z2,x5=z22 的变换， 将其按多元线性回归分析。多项式回归在回归分析中 占特殊地位，因为任何函数至少在一
1.2 均匀设计的特点
均匀设计遵从和具有试验设计方法的共性及本质内 容，它能从全面试验点中挑选出部分代表性的试验 点，这些试验点在试验范围内充分均衡分散，但仍 能反映体系的主要特征。例如正交设计 (Orthogonal Design)是根据正交性来挑选代表点的， 它在挑选代表点时有两个特点: 均匀分散，整齐可 比。“均匀分散”使试验点均衡地布在试验范围内， 让每个试验点有充分的代表性,“整齐可比” 使试验 结果的分析十分方便，易于估计各因素的主效应和 部分交互效应，从而可分析各因素对指标的影响大 小和变化规律。但是，为了照顾“整齐可比”,它