差分方程模型(讲义)

差分方程模型

一. 引言

数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。

1. 确定性连续模型

1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。

2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。

3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。

4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。

2. 确定性离散模型

1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。

2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。

3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。

4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。

随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

二. 差分方程简介

在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义

给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i =关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程

常系数线性齐次差分方程的一般形式为

02211=++++---k n k n n n x a x a x a x ， (1)

或者表示为

0),,,,(1=++k n n n x x x n F (1’)

其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21 为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程

02211=++++--k k k k a a a λλλ (2)

称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21 称为(1)式的特征根。

2.1 差分方程的解

常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根)

设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21 ，则

n

k k n n n c c c x λλλ+++= 2211

为该差分方程(1)的通解。其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件

)0(i i x x =，),,2,1(k i = (3)

时，可以确定一个特解。

例1 在信道上传输三个字母c b a ,,且长度为n 的词， 规定有两个a 连续出现的词不能传输，试确定这个信道允许传输的词的个数。

解: 令n x 表示允许传输且长度为为n 的词的个数， ,3,2,1=n ，通过简单计算可得 31=x ，(a,b,c), 82=x (即ab,ac, bc, bb,cc,ba,ca,cb)。

当3≥n 时，若词的第一个字母是b 或c ，则词可按1-n x 种方式完成; 若词的第一个字母是a ，则第二个字母是b 或c ，该词剩下的部分可按2-n x 种方式完成。 于是得差分方程

2122--+=n n n x x x ( ,4,3=n )

其特征方程为

0222=--λλ，

特征根为

311+=λ， 312-=λ

则通解为

n n n c c x )31()31(21-++=， ( ,4,3=n )

利用条件31=x ，82=x 求参数1c ，2c ，即由

⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++8

)31()31(3

)31()31(2

22121c c c c ， 解得

3

2321+=

c ， 3

2322+-=

c

故得到原差分方程的通解为

n n n x )31(3

232)31(3

232-+-+

++=

， ( ,4,3,2,1=n )

2.1.2 特征根为重根

设l λλλ ,,21是k 阶差分方程02211=++++---k n k n n n x a x a x a x 的

l )1(k l ≤≤个根，重数分别为l m m m ,,,21 ，且k m l

i i =∑=1

，则该差分方程的通解

为

n l i m i li n i m i i n i m i i n n c n c n c x l

λλλ11

2

1

1

21

1

1

12

1

-=-=-=∑∑∑+++=

同样的，有给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。 例2 设初始值为2,1,0,13210====x x x x ，解差分方程

02534321=---+----n n n n n x x x x x ， ( ,5,4=n )

解: 该差分方程的特征方程为

0253234=---+λλλλ，

解得其根为2,1,1,1---，故通解为

n n n n n c n c n c c x 2)1()1()1(42321+-+-+-=

代入初始条件2,1,0,13210====x x x x ，得

52421=

c ，52291-=c ，5273=c ，52

104=c 故该差分方程的满足初始条件的解为

n n n n n n n x 252

10)1(527)1(5229)1(52422+-+---=

2.1.3 特征根为复根

设k 阶差分方程02211=++++---k n k n n n x a x a x a x 的一对共轭复根

βαλλi ±=21,和相异的2-k 个单根k λλλ ,,43，则该差分方程的通解为

n

k k n n n n n c c c n c n c x λλλθρθρ+++++= 443321sin cos

其中22βαρ+=，α

β

θarctan

=。