有阻尼自由系统的振动分析

有阻尼自由系统的振动分析
实际系统振动时不可避免地存在阻力，因而在一定时间内振动逐渐衰减直至
停止。

阻力有多种来源，例如两个物体之间的干摩擦阻力、气体或液体介质的阻力、有润滑剂的两个面之间的摩擦力、由于材料的粘弹性而产生的内部阻力等等。

在振动中这些阻力统称为阻尼。

其弹簧一质量系统模型图示如右图，因为有考虑到阻尼的影响故其运动方程应为：
mu（t） cu（t） ku（t） =0 （1）或
u（t） 2 E（u（t）w 2
u（t） =0 （2）
其中2 I，=丄式（2）是一个常系数齐次线性微分方程
m
x 2
2 x
2=o （3）
其通解为 x = • ='：-$'：V 2 -1
由上可知，式（2）的解与E的大小有关。

对于E可分为以下四种情况简要讨论:
1 、临界阻尼情况（E =1或C=2m ）
在这种情况下特征方程的根是一对重根：X1、2=- 3 ,
式（2）的通解是u（t）'t[u o（1 …，t）• u°t] （4）
在这种情况下系统不发生振动。

临界阻尼就是不产生振动的最小阻尼。

2、超阻尼情况（E > 1或C> 2m w ）
U ■丄戶
i"t u o 亠■心u o
此特征根是两个负实数。

通解为u（t） =e [u o chd，-0 o sh「d t （5）
⑷d
式中「d = 2 -1，这种阻尼过大系统的运动是按指数规律衰减的非周期运动。

3、负阻尼情况（E < 0或C v 0）
阻尼本来是消耗能量的，负阻尼则表示系统在不断增加能量，这种情况下的运动是不稳定的，其振幅会越来越大，直到系统振动失效破坏。

4、低阻尼或小阻尼情况（E < 1或C< 2m w ）
一…t uo uo~r ,_ __
此时特征根是两个复数，式（2）的通解为u（t）
二
e （sin
d
t u
cos
d
t）
（6）
mgr
w d
式中=- 2，由此可知，阻尼使系统自振频率减小，亦即使系统自振周期增大。

由上式可看出，阻尼式振幅按指数规律衰减。

理论计算和工程应用中常采用阻尼比E来表示结构阻尼的大小，阻尼比E是阻尼系数和临界阻
尼的比值。

在实际工程结构中阻尼比E相对较小，最大阻尼比不超过0.20，因此实际工程结构动力
计算中常不计阻尼对自振圆频率的影响，即 3 d=3在我国相关结构设计规范中，对于钢结构阻尼比
E取0.02，钢筋混凝土结构阻尼比E取0.05。

一般的耗能减震系统，加入阻尼器的动力系统阻尼比
E 一般为0.10-0.20。

阻尼一般来源于材料变形的摩擦，结构连接部位的摩擦和结构周围外部介质。

关于阻尼力，根据不同的耗能机理，提出了不同的阻尼理论，其中主要有一下三种：
1、粘性阻尼，该理论认为阻尼力大小与速度成正比，方向与速度方向相反，也称为粘滞阻尼，
可表示为：F D(t)=「cu(t),其中F D (t )为阻尼力，c为粘性阻尼系数。

2、复阻尼，又称为结构阻尼或材料阻尼，该理论认为在简谐振动中阻尼与位移成正比，其相位
与速度相同，可表示为：F D (t) = i ku(t) , n为复阻尼系数，k为劲度系数，复阻尼能很好地反应
材料内摩擦的耗能机理，故应用较多。

3、摩擦阻尼，该理论认为阻尼力就等于摩擦力，方向与速度方向相反，也称为干摩擦阻尼，可
表示为：F
D (t) W |
u(t),卩为摩擦系数，N为正压力，摩擦阻尼一般应用于摩擦力占主导地位
的劲力系统中。

由于自由振动反应受阻尼比影响较大，阻尼比大的动力系统其自由振动的衰减快于阻尼比小的动力系统，由此，我们可以通过结构的自由振动实验来获得结构阻尼比，若设自由振动的相邻周期的幅值为U i和U i+1，我们能从中计算对数衰减率:
产c
利用公式=石，m
为质量，亦可求出阻尼比。

可求出阻尼比: i：'y =ln
U i
u i 1
(7)
(8)
考虑到实际结构的阻尼比E小于0.2，可以近似取 d - 2-1，则上式简化为:
1 ln
2 二
U i
u i 1
ln U i
u i ~m
(9)相邻周期
(10)间隔m个周期
2
二
、y
,2二)2*2
2
二
1
2「m。