复杂网络简介

汪小帆, 李翔, 陈关荣, 复杂网络理论及其应用, 清华大学出版社, 2006

S. P. Borgatti, A. J. Mehra, D. J. Brass, G. Labianca, Net work Analysis in the Social Sciences, Science 323 (2009) 892 -895.

感受：学海无涯，还有很多知识都还未掌握。

Barabasi A L;Albert R Emergence of scaling in random networks 1999

Watts, . and Strogatz, . (1998) Collective Dynamics of “Small-World” Networks. Nature, 393, 440-442.

什么是复杂网络？

对普通人而言，在媒体上看到复杂网络，首先想到的是互联网，实际上网络已经成为Internet的代名词，确实Internet从只有几个结点的简单的网络，发展到今天Internet 的用户已经数以亿计，即使不考虑终端用户，路由器的用户也是几万人，确实是复杂的网络，而且对互联网我们缺少统一的行政管理机构，可以说到今天已经没有任何一个人能够知道互联网上所有的路由器到底是怎么联结在一起，就是没有互联网联结一张很完整的清晰的地图。

世界上除了互联网以外，复杂网络的例子在我们生活中比比皆是，比如说我们把一个万维网做为一个结点，可以说至少和我们人类的数目相当的，所以万维网也是极其复杂的网络。就拿我们人体而言，我们人体当中实际上有各种各样的复杂网络，我们大脑当中的神经网络，实际上就是有数量高于十次方以上大量的神经源互相连接在一起，我们人体还有各种各样的新陈代谢网络。那么一条江河里面食物链构成的食物链也是网络，甚至大型软件系统都可以看成是小的对象类通过互相调用构成的复杂网络，因此可以说绝大部分的事物都可以看成是复杂网络。

复杂性的表征

复杂网络的复杂性到底体现在哪些方面？

1）直观而言，就是网络的结构非常复杂，比如说互联网、路由器和路由器怎么连接，我们没有很清晰、很规则的概念；

2）网络是不断演化的，以互联网而言，网络上我们可以说路由器是不断地增加，路由器与路由器之间的连接也是不断增长的；

3）连接的多样性。就像人类朋友的关系，朋友也有亲密和疏远之分；还有网络动力学的复杂性，互联网每一个路由器的动力行为，实际上都是在不停地变化，而且不同的结点都有不同的动力行为，这些都是网络复杂的因素。

那么我们说一个网络复杂，它的复杂性到底体现在哪些方面？首先第一直观而言，就是网络的结构非常复杂，比如说互联网、路由器和路由器怎么连接，我们没有很清晰、很规则的概念；其次网络是不断演化的，以互联网而言，网络上我们可以说路由器是不断地增加，路由器与路由器之间的连接也是不断增长的；还有一个就是连接的多样性。就像人类朋友的关系，朋友也有亲密和疏远之分；还有网络动力学的复杂性，互联网每一个路由器的动力行为，实际上都是在不停地变化，而且不同的结点都有不同的动力行为，这些都是网络复杂的因素。

今天我想跟大家交流的是关于网络结构上的复杂性。那么在研究网络结构的复杂性之前，我们首先想要关心的一个问题就是我们为什么要研究网络的结构？一个最主要的理由一个系统的结构、一个网络的结构与它的功能密切相关。我们大家可以想象一下，我们要想解决一个城市里面的道路交通堵塞的问题，我们首先必须要对现有的城市交通道路的布局有一个非常清晰、完整的了解，否则的话很难想象我们能够很好解决道路堵塞的问题。像时尚病毒在我们人类自身构成的网络当中的传播，也与我们人类社会的日益网络化相关的，病毒的传播也是与互联网的网络化相关的，所以我们之所以研究网络结构，就是结构与功能之间有着密切的关系。

复杂网络的描述语言

描述这种不同类型复杂网络的共同语言，这样一种共同的语言，应该说是由伟大的数学家欧拉在十八世纪就给我们建立了

用规则的图来表示复杂网络的结构

关于复杂网络突破结构性质的研究，进展有很多，但重要的方面，可以归为以下这三个方面：

1、网络的聚类特性。

2、尽管网络结点很多，但是是不是真的很大，它到底有多小。

3、网络当中的结点与结点是否平等。事实上可以归为这三个问题。

聚类特性

用一句成语就是网络物以类聚、人以群分的关系，以朋友关系网络而言的话，那么我的朋友圈的聚类系数是什么？就是我在我的朋友圈当中，任意随机找两个朋友，我看这两个朋友他们两个人之间也互相是朋友的概率是多大。我们根据我们日常经验来看，事实上我的朋友大部分都是我的同事、同学、邻居，所以他们相互为朋友的概率事实上也是不小的，而一个网络如果它真的是完全随机的，那么我的朋友当中两个人互相为朋友的概率应该是很小的，所以说实际的复杂网络，它并不是完全随机的，而是具有比完全随机网络高得多的聚类的特性，这是最近几年来人们通过对许多大型的实际的复杂网络的数据做统计分析得到的结论，就是与完全随机的网络相比，我们的网络具有高得多的聚类效应，确实是物以类聚，人以群分，这是一个特性。

小世界特征

对以下的例子，我们可以发现小世界这样一种特征，是不同类型的复杂网络所共有的一种特征，也就是说这些不同类型的复杂网络，尽管他们的规模都很大，但是两个结点之间的距离比我们想象得要小得多。

另外一个特性，这些网络看上去都很大，那么我们从反方面来说，它到底有多小呢？我们要看它有多小，我们就要有具体的概念来刻划，一个网络当中两个结点之间的距离我们定义为从这个结点到那个结点所需要的最小的边数，我们就称为这两个结点之间的距离。一个网络的平均距离就是网络所有的结点距离，我们取平均值，过去几年来人们对众多不同的复杂网络进行分析发现这些网络虽然大，但是实际上这些网络都是惊人的小，同样以人类自身的网络为例的话，实际上在二十世纪六十年代美国一个社会科学家就通过一系列的实验发现在我们地球上随机找两个人，这两个人之间，从平均的意义上来讲，这两个人通过六层朋友关系