桥梁结构分析理论与方法7
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式相同，这时，前面的方程就是力法方程。利用这一点，我们可以 用位移法编制的程序来进行分析，因此用最小弯曲能量原理确定成
桥内力的具体做法可以是：将索、塔和梁的面积取得很大，用平面
杆系程序来计算静载内力，此时索的重量未被计入，因为静载索力 尚未求出，待求出索力后（静载加活载），算出斜拉索面积和斜拉
索的分布重量，并再加到优化结构上重新计算静载内力，这时的内
面内力、位移期望值范围作为约束条件。使用这种方法，必须合
理确定约束方程，否则容易得出错误结果。
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最大偏差最小法将可行域中参量与期望值的偏差作为目标函 数，使最大偏差达到最小。这是一个隐约束优化问题，最后归结 为一个线性规划问题。这种方法适用于成桥状态和施工中的索力
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周念先教授在《桥梁方案比选》中提出的桥梁分类方法: 按跨越能力 墩支桥 特点是：桥墩支点间的距离不能太大；适用于中小跨度桥梁 梁式桥、上承式拱桥、斜腿式刚架等 杆吊桥 用一定间距的吊杆或斜索将一座大跨度桥梁分成许多个小跨弹 性支承连续梁，这类结构包括： 悬索桥、斜拉桥、系杆拱桥等
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实际上不只是斜拉桥有这样的问题，自锚式悬索桥、斜拉-悬吊
组合体系桥以及系杆拱桥等这类内部超静定结构，都有如何确定合 理或较优内力状态的问题。以下以斜拉桥为例说明恒载内力优化的
思路和方法。
1） 结构内力状态优化的概念 斜拉桥成桥恒载内力分布的合理与否是衡量设计优劣的重要标
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b 斜拉索力的无约束优化法
这类方法的典型例子是弯曲能量最小法和弯矩最小法。弯曲 能量最小法是用结构的弯曲应变能作为目标函数，弯矩最小法是
以弯矩平方和作为目标函数。有关文献中给出的这两种方法只适
用于恒载索力优化，无法计入预应力的影响，且计算时要改变结 构的计算模式。 c 索力的有约束优化 这类优化方法的典型例子主要有：用索量最小法和最大偏差 最小法。用索量最小法以斜拉索的用量作为目标函数，以关心截
如果取EI/l3=1，EA/h=192，上式变成
N ql / 2
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这一状态相当于中间有支点的两跨简支梁的恒载内力状态，这时对 应的梁的弯矩图如下图所示。
为了优化梁的受力，可以根据需要拟定一个目标函数。现以梁的 弯矩平方和为例来加以说明。目标函数为：
f M 2 ( x)dx
ij
mi m j EI ds Ni N j EA ds
ip
mi M p EI
ds
Ni N p EA
ds
式中，Ni为xi=1时基本结构的轴力，Np为静载产生基本结构的轴力，
A为结构构件的截面面积。
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很明显，当A取大值时，δij、Δip和基本结构的余能表达式的公
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(2).零位移法
该方法是通过索力调整，使成桥状态下主梁在恒载作用下索梁 联结处的位移为零。对于采用满堂支架一次落架的斜拉桥体系，其 结果与刚性支承连续梁法基本一致。 (3).弯曲能量最小法和弯矩最小法 弯曲能量最小法是以结构(塔、梁)弯曲应变能作为目标函数， 从能量原理出发，设计合理索力保证成桥后结构弯曲能量最小。在 具体应用中，通过将主梁，主塔和斜拉索的截面积取大值，梁、塔 的弯曲刚度保持不变，进行结构计算，所得结构主梁、主塔弯矩都 很小。弯矩最小法则是以结构的弯矩平方和为目标函数，使设计的
力为优化内力(如果计算出的索力有的拉力很小，甚至受压，说明索 的布置需要调整，或者由I来调整），然后再恢复结构的真实面积， 作后续计算。
材料利用率低
受弯结构
所用材料极限强度 远低于高强钢丝 材料可全截面利用， 但受稳定限制
跨度远小于拱桥 和悬索桥 跨度远大于梁桥但 远小于斜拉桥和悬 索桥
受压结构
所用材料极限强度 远低于高强钢丝
材料全截面利用
受拉结构
所用材料为高强钢 丝，极限强度为常 用高强钢的3倍左右
跨越能力最大，采 用现在的材料，极 限跨度能达到 5000～7000m
第七章 缆索承重Hale Waihona Puke Baidu梁的计算分析
本课程所介绍的缆索承重桥梁主要指斜拉桥和悬索桥，其共 同特点是缆索为主要承重结构或关键的受力构件。本章主要介绍 实用的计算方法。 按结构的受力体系，一般将桥梁结构分为梁、拱、悬索和组 合结构
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结构的弯矩平方和最小。其结果与弯曲能量最小法接近。
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(4).内力平衡法 内力平衡法是以结构内力为研究对象，按照“内力平衡” 的原则得到合理的斜拉索索力。基本原理是设计恰当或合理的
斜拉索张拉力，以使结构各控制截面在恒载和活载的共同作用
下，上翼缘的最大应力和材料允许应力之比等于下翼缘的最大 应力和材料容许应力之比，从而达到截面上、下缘材料均被充
准之一。恒载内力的优化过程实际是斜拉桥的设计过程。
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对于斜拉桥的恒载内力优化（或称设计），可用下面的简单例子 给予说明。
对于上图所示结构，如果我们按结构力学的方法来计算结构的赘 余力，可以计算出中间拉索的轴力为
5ql 4 384 EI N 3 l 48EI h EA
0
l
梁中的弯矩可写为
M q(lx x 2 ) / 2 Nx 2
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将弯矩表达式代入目标 函数中，可计算得到使目标 函数f最小的赘余力为
N 5ql / 8
对应的梁的弯矩如右图。 从上面的分析我们可以看出，如果能对拉杆进行张拉，通过调整 拉杆中的张力，就可以调整梁中的弯矩。设定不同的目标，可调整出不 同的梁的弯矩状态。这就是斜拉桥恒载索力计算的出发点，即通过设计 恒载索力使斜拉桥受力合理。
分利用，截面受力均匀。
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当截面为同一种材料且上、下对称时，预期的目标恒载弯矩就 等于活载最大弯矩和最小弯矩的代数平均值，所以将活载弯矩包络 图的上、下两条包络线的中心线反号作为优化目标的恒载弯矩，最 终优化结果会形成中心线基本为零的结构恒活载组合弯矩包络图。 (5) 用索量最小法 该法以斜拉索用量(索力乘以索长的累计值)为目标函数，以所 关心截面的内力、位移期望值范围和索力均匀性为约束进行优化， 用这种方法约束条件的选取至关重要，若选择不合理，则无法获得 理想优化结果。
构弯矩为Mp，那么任意截面总弯矩为
M M p xi mi
i 1
n
n为斜拉索的根数。 现在我们要建立优化目标函数。通常希望梁和塔在静载作用 下弯矩要尽可能小，因此用结构弯矩产生的余能作为目标优化函 数很合适。弯矩的余能为
1 M2 U ds 2 EI
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对于按跨度划分的桥梁, 周教授的标准是: 超大桥：跨度1000m以上 特大桥：跨度500～1000m 大 中 小 桥：跨度300～500m 桥：跨度100～300m 桥：跨度100m以下
桥梁适用范围： 斜拉桥：可达1000m左右
悬索桥：1000m以上
系杆拱桥：跨度可达500～600m 墩支桥：小跨度桥梁
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a
指定受力状态的索力优化法 刚性支承连续梁法和零位移法是这类方法的代表。刚性支承
连续梁法将斜拉桥主梁在恒载作用下弯曲内力呈刚性支承连续梁 状态作为优化目标。将梁索交点处设为刚性支承点进行分析，计 算出各支点反力，利用斜拉索的竖向分力与刚性支点反力相等的 条件，就可容易地确定最优索力。
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(6).影响矩阵法 选择斜拉桥成桥状态和施工状态中设计者关心的结构控制截面 内力、位移作为受调向量[D]，斜拉索索力为施调向量[X]，通过影 响矩阵[A]建立受调向量与施调向量间的关系[A][X]=[D]，形成一个 线性方程组，将索力优化问题转化为线性方程组的求解问题。 将上述各种方法归结起来可分为三种: 指定受力状态的索力优化、 无约束的索力优化和有约束的索力优化。
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2） 斜拉桥设计中索力优化主要方法 斜拉桥设计中使用的索力优化理论比较多，目前主要有刚性支 承连续梁法、零位移法、弯曲能量最小法、弯矩最小法、内力平衡 法、用索量最小法和影响矩阵法等。下面分别对其进行介绍： (1).刚性支承连续梁法 刚性支承连续梁法是指选择合适的斜拉索张拉力，使结构在成 桥时的恒载内力状态，与以拉索锚固点为主梁支点的刚性支承连续 梁的内力一致。
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一般的连续梁、连续刚构桥这类墩支撑桥梁，结构设计和施工
顺序（方案）一旦确定，结构恒载内力就是确定的，一般不能通过 结构内部的调整来改变结构恒载状态（超静定结构支反力调整可调 整结构恒载内力） 对于斜拉桥来说，在恒载状态时，斜拉索可以看成是一种主动 受力构件，可以通过设计斜拉索的索力来调整或改变结构的内力状 态。 既然斜拉索有这样的力学行为，那么就提出了什么是合理的恒 载内力状态问题？是否可以设计成最优的恒载状态？
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7.1 斜拉桥的恒载索力确定
斜拉桥是塔、梁、斜拉索三种基本构件组成的缆索承重结构体 系，一般表现为柔性的受力特性。由于斜拉索是可张拉的结构，因 此斜拉桥的力学计算模式在不同的阶段是不一样的。 建成后的结构塔、梁和斜拉索构成一整体，是一多次超静定结 构，因此在活载作用下各构件的内力按刚度分配；不考虑非线性影 响时，与一般结构的计算一致；如果考虑几何非线性，则要将斜拉 索作为索结构、同时考虑恒载内力状态、结构大位移的影响。
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指定受力状态的索力优化方法的优点是力学意义明确，计算 简单，且成桥索力接近“稳定张拉力”，可减小徐变对成桥内力 的影响。但是，要通过施工来实现这种内力状态是困难的，因为 跨中无索区的弯矩与一次张拉力无关（不计徐变时），成桥后必 须设法消除由中间合拢段及二期恒载引起的正弯矩效应。一般用 反复调索来实现。此外，刚性支承连续梁法只顾及了梁的受力状 态，而忽略了塔的受力状况，结构布置稍有不当，就会在塔内引 起较大的恒载弯矩。
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零位移法以结构在恒载作用下梁的节点位移为零作为优化 目标。对于支架上一次落梁的斜拉桥，其结果与刚性支承连续 梁几乎一致（梁的EA→∞）。因此，也会遇到与刚性支承连续 梁法相似的问题。对于悬拼结构或悬浇的结构，零位移法是没 有意义的。因为施工时梁的位移包括了刚体位移和梁体变形两 部分，前者可以通过拼装方式进行调整，只有后者才与索力有 直接联系。
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以上表达式具有n个方程，因此能解得恒载作用下的索力而使弯 矩能量最小，即弯矩所耗费的材料最少。值得注意的是余能表达式中 的惯性矩I 可以任意选择，它完全可以是虚构的，例如，梁和塔的I 取 不同比值，或者边跨和中跨的I 可以有不同的选择，这完全决定于力 学的要求。另外如果是直接求则需专门的程序。如果做如下处理：
将弯矩的表达式代入余能表达式中有：
n 1 1 U M p xi mi ds 2 EI i 1 2
1 1 2 EI
n 2 n n M p xi x j mi m j 2M p xi mi ds i 1 j 1 i 1
优化。
斜拉桥受力性能的好坏要根据实际结构来评价，并不能用单一 的目标函数来统一表示。
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3）最小弯曲能量法具体运用 对恒载作用下的结构内力进行计算分析，最方便直观的方法就 是将斜拉索切断，用力代替，如下图所示基本结构。
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设Xi=1作用的时候，产生梁的弯矩为mi，恒载作用下基本结
桥内力的具体做法可以是：将索、塔和梁的面积取得很大，用平面
杆系程序来计算静载内力，此时索的重量未被计入，因为静载索力 尚未求出，待求出索力后（静载加活载），算出斜拉索面积和斜拉
索的分布重量，并再加到优化结构上重新计算静载内力，这时的内
面内力、位移期望值范围作为约束条件。使用这种方法，必须合
理确定约束方程，否则容易得出错误结果。
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最大偏差最小法将可行域中参量与期望值的偏差作为目标函 数，使最大偏差达到最小。这是一个隐约束优化问题，最后归结 为一个线性规划问题。这种方法适用于成桥状态和施工中的索力
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周念先教授在《桥梁方案比选》中提出的桥梁分类方法: 按跨越能力 墩支桥 特点是：桥墩支点间的距离不能太大；适用于中小跨度桥梁 梁式桥、上承式拱桥、斜腿式刚架等 杆吊桥 用一定间距的吊杆或斜索将一座大跨度桥梁分成许多个小跨弹 性支承连续梁，这类结构包括： 悬索桥、斜拉桥、系杆拱桥等
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实际上不只是斜拉桥有这样的问题，自锚式悬索桥、斜拉-悬吊
组合体系桥以及系杆拱桥等这类内部超静定结构，都有如何确定合 理或较优内力状态的问题。以下以斜拉桥为例说明恒载内力优化的
思路和方法。
1） 结构内力状态优化的概念 斜拉桥成桥恒载内力分布的合理与否是衡量设计优劣的重要标
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b 斜拉索力的无约束优化法
这类方法的典型例子是弯曲能量最小法和弯矩最小法。弯曲 能量最小法是用结构的弯曲应变能作为目标函数，弯矩最小法是
以弯矩平方和作为目标函数。有关文献中给出的这两种方法只适
用于恒载索力优化，无法计入预应力的影响，且计算时要改变结 构的计算模式。 c 索力的有约束优化 这类优化方法的典型例子主要有：用索量最小法和最大偏差 最小法。用索量最小法以斜拉索的用量作为目标函数，以关心截
如果取EI/l3=1，EA/h=192，上式变成
N ql / 2
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这一状态相当于中间有支点的两跨简支梁的恒载内力状态，这时对 应的梁的弯矩图如下图所示。
为了优化梁的受力，可以根据需要拟定一个目标函数。现以梁的 弯矩平方和为例来加以说明。目标函数为：
f M 2 ( x)dx
ij
mi m j EI ds Ni N j EA ds
ip
mi M p EI
ds
Ni N p EA
ds
式中，Ni为xi=1时基本结构的轴力，Np为静载产生基本结构的轴力，
A为结构构件的截面面积。
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很明显，当A取大值时，δij、Δip和基本结构的余能表达式的公
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(2).零位移法
该方法是通过索力调整，使成桥状态下主梁在恒载作用下索梁 联结处的位移为零。对于采用满堂支架一次落架的斜拉桥体系，其 结果与刚性支承连续梁法基本一致。 (3).弯曲能量最小法和弯矩最小法 弯曲能量最小法是以结构(塔、梁)弯曲应变能作为目标函数， 从能量原理出发，设计合理索力保证成桥后结构弯曲能量最小。在 具体应用中，通过将主梁，主塔和斜拉索的截面积取大值，梁、塔 的弯曲刚度保持不变，进行结构计算，所得结构主梁、主塔弯矩都 很小。弯矩最小法则是以结构的弯矩平方和为目标函数，使设计的
力为优化内力(如果计算出的索力有的拉力很小，甚至受压，说明索 的布置需要调整，或者由I来调整），然后再恢复结构的真实面积， 作后续计算。
材料利用率低
受弯结构
所用材料极限强度 远低于高强钢丝 材料可全截面利用， 但受稳定限制
跨度远小于拱桥 和悬索桥 跨度远大于梁桥但 远小于斜拉桥和悬 索桥
受压结构
所用材料极限强度 远低于高强钢丝
材料全截面利用
受拉结构
所用材料为高强钢 丝，极限强度为常 用高强钢的3倍左右
跨越能力最大，采 用现在的材料，极 限跨度能达到 5000～7000m
第七章 缆索承重Hale Waihona Puke Baidu梁的计算分析
本课程所介绍的缆索承重桥梁主要指斜拉桥和悬索桥，其共 同特点是缆索为主要承重结构或关键的受力构件。本章主要介绍 实用的计算方法。 按结构的受力体系，一般将桥梁结构分为梁、拱、悬索和组 合结构
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结构的弯矩平方和最小。其结果与弯曲能量最小法接近。
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(4).内力平衡法 内力平衡法是以结构内力为研究对象，按照“内力平衡” 的原则得到合理的斜拉索索力。基本原理是设计恰当或合理的
斜拉索张拉力，以使结构各控制截面在恒载和活载的共同作用
下，上翼缘的最大应力和材料允许应力之比等于下翼缘的最大 应力和材料容许应力之比，从而达到截面上、下缘材料均被充
准之一。恒载内力的优化过程实际是斜拉桥的设计过程。
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对于斜拉桥的恒载内力优化（或称设计），可用下面的简单例子 给予说明。
对于上图所示结构，如果我们按结构力学的方法来计算结构的赘 余力，可以计算出中间拉索的轴力为
5ql 4 384 EI N 3 l 48EI h EA
0
l
梁中的弯矩可写为
M q(lx x 2 ) / 2 Nx 2
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将弯矩表达式代入目标 函数中，可计算得到使目标 函数f最小的赘余力为
N 5ql / 8
对应的梁的弯矩如右图。 从上面的分析我们可以看出，如果能对拉杆进行张拉，通过调整 拉杆中的张力，就可以调整梁中的弯矩。设定不同的目标，可调整出不 同的梁的弯矩状态。这就是斜拉桥恒载索力计算的出发点，即通过设计 恒载索力使斜拉桥受力合理。
分利用，截面受力均匀。
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当截面为同一种材料且上、下对称时，预期的目标恒载弯矩就 等于活载最大弯矩和最小弯矩的代数平均值，所以将活载弯矩包络 图的上、下两条包络线的中心线反号作为优化目标的恒载弯矩，最 终优化结果会形成中心线基本为零的结构恒活载组合弯矩包络图。 (5) 用索量最小法 该法以斜拉索用量(索力乘以索长的累计值)为目标函数，以所 关心截面的内力、位移期望值范围和索力均匀性为约束进行优化， 用这种方法约束条件的选取至关重要，若选择不合理，则无法获得 理想优化结果。
构弯矩为Mp，那么任意截面总弯矩为
M M p xi mi
i 1
n
n为斜拉索的根数。 现在我们要建立优化目标函数。通常希望梁和塔在静载作用 下弯矩要尽可能小，因此用结构弯矩产生的余能作为目标优化函 数很合适。弯矩的余能为
1 M2 U ds 2 EI
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对于按跨度划分的桥梁, 周教授的标准是: 超大桥：跨度1000m以上 特大桥：跨度500～1000m 大 中 小 桥：跨度300～500m 桥：跨度100～300m 桥：跨度100m以下
桥梁适用范围： 斜拉桥：可达1000m左右
悬索桥：1000m以上
系杆拱桥：跨度可达500～600m 墩支桥：小跨度桥梁
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a
指定受力状态的索力优化法 刚性支承连续梁法和零位移法是这类方法的代表。刚性支承
连续梁法将斜拉桥主梁在恒载作用下弯曲内力呈刚性支承连续梁 状态作为优化目标。将梁索交点处设为刚性支承点进行分析，计 算出各支点反力，利用斜拉索的竖向分力与刚性支点反力相等的 条件，就可容易地确定最优索力。
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(6).影响矩阵法 选择斜拉桥成桥状态和施工状态中设计者关心的结构控制截面 内力、位移作为受调向量[D]，斜拉索索力为施调向量[X]，通过影 响矩阵[A]建立受调向量与施调向量间的关系[A][X]=[D]，形成一个 线性方程组，将索力优化问题转化为线性方程组的求解问题。 将上述各种方法归结起来可分为三种: 指定受力状态的索力优化、 无约束的索力优化和有约束的索力优化。
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2） 斜拉桥设计中索力优化主要方法 斜拉桥设计中使用的索力优化理论比较多，目前主要有刚性支 承连续梁法、零位移法、弯曲能量最小法、弯矩最小法、内力平衡 法、用索量最小法和影响矩阵法等。下面分别对其进行介绍： (1).刚性支承连续梁法 刚性支承连续梁法是指选择合适的斜拉索张拉力，使结构在成 桥时的恒载内力状态，与以拉索锚固点为主梁支点的刚性支承连续 梁的内力一致。
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一般的连续梁、连续刚构桥这类墩支撑桥梁，结构设计和施工
顺序（方案）一旦确定，结构恒载内力就是确定的，一般不能通过 结构内部的调整来改变结构恒载状态（超静定结构支反力调整可调 整结构恒载内力） 对于斜拉桥来说，在恒载状态时，斜拉索可以看成是一种主动 受力构件，可以通过设计斜拉索的索力来调整或改变结构的内力状 态。 既然斜拉索有这样的力学行为，那么就提出了什么是合理的恒 载内力状态问题？是否可以设计成最优的恒载状态？
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7.1 斜拉桥的恒载索力确定
斜拉桥是塔、梁、斜拉索三种基本构件组成的缆索承重结构体 系，一般表现为柔性的受力特性。由于斜拉索是可张拉的结构，因 此斜拉桥的力学计算模式在不同的阶段是不一样的。 建成后的结构塔、梁和斜拉索构成一整体，是一多次超静定结 构，因此在活载作用下各构件的内力按刚度分配；不考虑非线性影 响时，与一般结构的计算一致；如果考虑几何非线性，则要将斜拉 索作为索结构、同时考虑恒载内力状态、结构大位移的影响。
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指定受力状态的索力优化方法的优点是力学意义明确，计算 简单，且成桥索力接近“稳定张拉力”，可减小徐变对成桥内力 的影响。但是，要通过施工来实现这种内力状态是困难的，因为 跨中无索区的弯矩与一次张拉力无关（不计徐变时），成桥后必 须设法消除由中间合拢段及二期恒载引起的正弯矩效应。一般用 反复调索来实现。此外，刚性支承连续梁法只顾及了梁的受力状 态，而忽略了塔的受力状况，结构布置稍有不当，就会在塔内引 起较大的恒载弯矩。
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零位移法以结构在恒载作用下梁的节点位移为零作为优化 目标。对于支架上一次落梁的斜拉桥，其结果与刚性支承连续 梁几乎一致（梁的EA→∞）。因此，也会遇到与刚性支承连续 梁法相似的问题。对于悬拼结构或悬浇的结构，零位移法是没 有意义的。因为施工时梁的位移包括了刚体位移和梁体变形两 部分，前者可以通过拼装方式进行调整，只有后者才与索力有 直接联系。
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以上表达式具有n个方程，因此能解得恒载作用下的索力而使弯 矩能量最小，即弯矩所耗费的材料最少。值得注意的是余能表达式中 的惯性矩I 可以任意选择，它完全可以是虚构的，例如，梁和塔的I 取 不同比值，或者边跨和中跨的I 可以有不同的选择，这完全决定于力 学的要求。另外如果是直接求则需专门的程序。如果做如下处理：
将弯矩的表达式代入余能表达式中有：
n 1 1 U M p xi mi ds 2 EI i 1 2
1 1 2 EI
n 2 n n M p xi x j mi m j 2M p xi mi ds i 1 j 1 i 1
优化。
斜拉桥受力性能的好坏要根据实际结构来评价，并不能用单一 的目标函数来统一表示。
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3）最小弯曲能量法具体运用 对恒载作用下的结构内力进行计算分析，最方便直观的方法就 是将斜拉索切断，用力代替，如下图所示基本结构。
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设Xi=1作用的时候，产生梁的弯矩为mi，恒载作用下基本结