高中数学用补形法求解立体几何题

为
异面直线 与 所成的角，而
，AD=1，
。
连结 ，在△
中，BF= ，
，
，由余弦定理得
，故
与 所成角为
。
五、不规则几何体补成规则几何体
例 6、如图 6，多面体的底面是边长为 l 的正方形，上面的棱平行于底面，其长为 ，其余棱均为 l，求这个 多面体的体积。
解：如图 7，作以 为棱长的正四面体 ABCD，连结 AC、AD、BC、BD 中点组成的四边形为正方形即为多面 体的底面（因正四面体的对棱互相垂直），这个正方形所在平面把四面体分成两个全等的多面体，故
MO⊥DN，所以∠SOM 是二面角 S-DN-M 的平面角。又 MO SB= ，SM= ，所以
，
故所求二面角的正切值是 。
二、三棱柱可补成四棱柱
例 3、已知斜三棱柱的侧面
与平面 ABC 垂直，∠ABC= ，BC=2，AC= ，且
，
，求点 C 到侧面
的距离。
解：把斜三棱柱 ABC
补成如图 3 所示的平行六面体，设所求的距离为 d，则 d 也是平面
中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平wenku.baidu.com 等于多少？
将三棱柱分成体积为
解：延长 到 ， 到 ， 到 ，且
，
，
，且
，延长 、 ，则
。
，则得三棱柱 即有三棱锥
因为
，所以
，又
。
所以 故
。 。
四、补相同几何体 例 5、长方体
中，AB= ，AD=1，
，求异面直线 与 所成的角。
解：如图 5，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 的长方体 ，连结 BF，则∠
。
分析：正四面体可看作是正方体经过切割而得到，因而构造一个棱长为 1 的正方体 ABCD
，则
四面体
就是棱长为 的正四面体，而正方体的外接球就是四面体的外接球，又正方体的对角线
长就是球的直径，易知对角线长度为 ，故球表面积
。
例 2、如图 1，在底面是直角梯形的四棱锥
中，∠ABC= ，SA⊥面 ABCD，SA=AB=BC=1，AD= 。
高中数学 | 用补形法求解立体几何题
几何体的补形要围绕着已知条件来进行，通常策略是把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三 棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补同样几何体等。
一、棱锥补成棱柱
例 1、一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为
A.
B.
C. D.
与
平面
间距离，作
于点 D，作
于点 F，因为
，
，
，所以
，又∠ABC= ，BC=2，所以
，因侧面
与底面 ABC 垂直，
于点 D，所以
，又
，知 AB⊥面
，因而 AB⊥ED，又∠ABC= ，所
以 DE ∥ BC ， D 为 AC 中 点 ， 且 。
，故
，而
所以
。
三、棱台补成棱锥
例 4、如图 4，三棱柱 ABC 、 的两部分，那么
（1）求四棱锥
的体积；
（2）求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值。 解：（1）解答略。
（2）以 SA 为棱，构造正方体 AECB-SFGH，如图 2，分别取棱 SF、HG 中点 M、N，连结 DM、MN、SN、ND， 设 ND 与 SC 相交于 O，连接 MO。 则有面 MDN∥面 SAB，且 SM⊥面 MDN， 所以所求的二面角等于二面角 S-DN-M。 在正方体 AECB-SFGH 中，△NSD 与△NMD 都是等腰三角形，所以 SO⊥DN，