最新人教版高中数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》导学案

高中数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》导学案

【学习目标】

1、 通过课前预习，学生掌握角度和弧度的概念，熟悉弧度与角度的互化，熟悉弧长和扇形的面积公式；

2、 通过课堂探究，熟练掌握运用任意角三角函数的定义进行化简和求值。

【重、难点】

三角函数的定义及应用是考察的重难点。

1．－870°的终边在第几象限 ( )

A ．一

B ．二

C ．三

D ．四

【知识点链接】 第一象限角的集合可以表示为{α| },第二象限角的集合可以表示为{α| },第三象限角的集合可以表示为{α| },第四象限角的集合可以表示为{α| }.

2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是 ( )

A.2π3

B.11π6

C.5π6

D.3π4

【知识点链接】若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|＝ }(或{β|β＝ })．

3．若sin α<0且tan α>0，则α是 ( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

【知识点链接】四个象限的符号可用口诀来表示：

4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．

【知识点链接】

(1)角度与弧度的换算：①1°＝ rad ；②1 rad ＝ .

(2)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝r α，则扇形的面积为S ＝ .＝ .

5.=3

4cos π . 【知识点链接】sin(α＋k ²2π)＝ cos(α＋k ²2π)＝ tan(α＋k ²2π)＝

【知识脉络】角的概念→角度与弧度的转化→扇形半径和面积公式

【考点一】角的集合的表示

[例1] (1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？

(2)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合．

变式：若角β的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°范围内，终边与角β3

的终边相同的角为________．

小结：

(1)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．

(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合， 然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角.

【考点二】三角函数的定义

[例2]已知角α的终边经过点P(m ，－3)，且cos α＝－45

，则m 等于 ( ) A ．－114 B.114 C ．－4 D ．4

变式：角θ的终边上有一点(a ，a)，a ∈R 且a≠0，则sin θ的值是 ( ) A.

22 B ．－ 22 C.22或－22

D ．1

变式：已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，

32，则tan α＝ ( ) A. 3 B ．± 3 C.

33 D ．±33

小结：定义法求三角函数值的两种情况：

(1)已知角α终边上一点P 的坐标；

(2)已知角α的终边所在的直线方程；

分别思考如何来求解？

【考点三】 扇形的弧长、面积公式及其应用

[例3](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．

(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

变式：已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是 ( )

A.23

B.32

C.23π

D.32

π

变式：圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )

A.π3

B.2π3

C. 3 D ．2

小结：1.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．

2.记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12

αR2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．

1.若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( )

A ．2kπ＋β(k∈Z)

B ．2kπ－β(k∈Z)

C ．kπ＋β(k∈Z)

D ．kπ－β(k∈Z)

2.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )

A ．1或4

B ．1

C ．4

D ．8

3.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－2,3]

B ．(－2,3)

C ．[－2,3)

D ．[－2,3]

4. 在直角坐标系中，O 是原点，A(3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．

5. 若β的终边所在直线经过点P ⎝

⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________.

【课外延申】

已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0