第五章 非平稳序列的随机分析_11.10

g 3、转换函数的确定：要使得Var[g(xt)]等于常数， (⋅) 与 h(⋅) 、转换函数的确定： 等于常数， 1 具有倒函数关系， 具有倒函数关系，即 g ′( µ t ) = h( µ t )
常用转换函数的确定
实践中，许多金融时序都呈现出异方差性质， 实践中，许多金融时序都呈现出异方差性质，通 常序列的标准差与其均值具有某种正比关系。 常序列的标准差与其均值具有某种正比关系。
1、零均值 、
E (ε t ) = 0
2、纯随机 Cov (ε t , ε t −i ) = 0, ∀i ≥ 1 、 3、方差齐性 、
Var (ε t ) = σ ε
2
5.4 异方差的性质
异方差的定义
如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而 如果随机误差序列的方差会 随着时间的变化而 变化， 变化，这种情况被称作为异方差
拟合模型口径及拟合效果图
∇ log( xt ) = ε t ⇔ log( xt ) − log( xt −1 ) = ε t
注：图中星号为序列观察值；红色曲线为序列拟合值 图中星号为序列观察值；
例5.11的SAS过程 的 过程
data a; input returns@@; dif=dif(returns); /*构建残差序列 构建残差序列*/ 构建残差序列 r2=dif**2; /*构建残差平方和序列 构建残差平方和序列*/ 构建残差平方和序列 y=log(returns); /*原序列对数变换 原序列对数变换*/ 原序列对数变换 dify=dif(y); /*对数变换后序列差分 对数变换后序列差分*/ 对数变换后序列差分 time=intnx('month','1apr1963'd,_n_-1); format time year4.; cards; 原始数据 ; proc gplot; plot returns*time dif*time r2*time y*time dify*time; /*对应书上的图 对应书上的图5-37~图5-41*/ 对应书上的图 图 symbol c=black i=join v=none;
h 其中： 其中： (⋅) 是某个已知函数
处理思路
尝试寻找一个转换函数 g (⋅) ，使得经转换后的变量满 足方差齐性
Var[ g ( xt )] = σ 2
转换函数的确定原理
1、转换函数 、
g ( xt ) ≅ g ( µ t ) + ( xt − µ t ) g ′( µ t )
g ( xt ) 在 µ t 附近作一阶泰勒展开
ARCH模型 自回归条件异方差模型 模型(自回归条件异方差模型 模型 自回归条件异方差模型)
ARCH模型的构造步骤： 模型的构造步骤： 模型的构造步骤
1、假设在历史数据已知的情况下，零均值、纯随机残差序列 、假设在历史数据已知的情况下，零均值、 具有异方差性： 具有异方差性： Var(ε ) = h
ARCH模型的构造步骤： 模型的构造步骤： 模型的构造步骤 2 2、由于 E(εt ) = ht，可使用残差平方序列的自相关系数来考察 、
异方差函数的自相关性： 异方差函数的自相关性： 1) 自相关系数恒为零，即 ρ k = 0 ，说明异方差函数纯随机 自相关系数恒为零， 历史数据对未来异方差的估计一点作用没有， 性，历史数据对未来异方差的估计一点作用没有，这是至 今难解决的难题； 今难解决的难题； 2) 自相关系数不为零，即 ρk ≠ 0 ，说明异方差函数存在自 自相关系数不为零， 相关性， 相关性，从而可通过构造残差平方序列的自回归模型来拟 q 合异方差函数。 合异方差函数。
Var (ε t ) = E (ε ) − E (ε t ) = E (ε )
2 t 2 2 t
所以考察残差序列是否方差齐性， 所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差 平方序列是否平稳，如方差齐性满足， 平方序列是否平稳，如方差齐性满足，则有
E (ε t2 ) = σ ε2
判断原则和残差图一样
ht = E (ε t2 ) = ω +
∑
j =1
λ j ε t2− j
ARCH模型 自回归条件异方差模型 模型(自回归条件异方差模型 模型 自回归条件异方差模型)
原理
通过构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数， 通过构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数，
ht = E (ε ) = ω + ∑ λ j ε t2− j
t t
因为ε t ~ N (0, ht ), 则ε t
2
ht ~ N (0,1)
2、由于 E(εt ) = ht，可使用残差平方序列的自相关系数来考察 、 异方差函数的自相关性： 异方差函数的自相关性：
ρk =
Cov(εt2,εt2 k ) − Var(εt2 )
ARCH模型 自回归条件异方差模型 模型(自回归条件异方差模型 模型 自回归条件异方差模型)
一阶差分后残差图
1阶差分后残差序列图显示出均值平稳，但方差递增的性质。 阶差分后残差序列图显示出均值平稳，但方差递增的性质。 阶差分后残差序列图显示出均值平稳
一阶差分后残差平方图
1阶差分后残差平方序列图显示出残差平方具有显著的差异 阶差分后残差平方序列图显示出残差平方具有显著的差异 同样得出残差序列异方差的结论。 性，同样得出残差序列异方差的结论。
例5.11的SAS过程 的 过程
proc arima; identify var=y(1); estimate p=0 q=0 noint; forecast lead=0 id=time out=out;
以下程序是画拟合效果图，即图5-42 以下程序是画拟合效果图，即图
data new; merge a out; by time; estimate=exp(forecast); /*原始序列的估计值 原始序列的估计值*/ 原始序列的估计值 proc gplot; plot returns*time=1 estimate*time=2 /overlay; symbol1 c=black i=none v=star; symbol2 c=red i=join v=none; run;
异方差处理方法
假如已知异方差函数具体形式， 假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐 性变化 假如不知异方差函数的具体形式， 假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件 异方差模型
5.5 方差齐性变换
使用场合
序列显示出显著的异方差性， 序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有 某种函数关系 2
σ t = h( µ t )
5.6 条件异方差模型
ARCH模型 模型 GARCH模型 模型 GARCH模型的变体（自己看书） 模型的变体（ 模型的变体 自己看书）
ARCH模型 自回归条件异方差模型) 模型(自回归条件异方差模型 模型 自回归条件异方差模型
ARCH模型是由 模型是由Engle于1982年提出，最初被成功地应用 年提出， 模型是由 于 年提出 于英国通货膨胀指数的波动研究之中。随后， 于英国通货膨胀指数的波动研究之中。随后，金融学家发现该 模型运用于金融时序中， 模型运用于金融时序中，特别是业内关于描述金融资产的价格 行为时，它的解释能力和描述能力更好，于是ARCH 模型被逐 行为时，它的解释能力和描述能力更好，于是 渐引入金融领域并得到广泛应用， 也因此荣获2003年 渐引入金融领域并得到广泛应用，Engle也因此荣获 也因此荣获 年 度诺贝尔经济学奖。 度诺贝尔经济学奖。
异方差提出的背景
1982 年 Engle 在 分 析 英 国 通 货 膨 胀 序 列 时 ， 发 现 ARIMA模型无法得到理想的拟合效果。 模型无法得到理想的拟合效果。 模型无法得到理想的拟合效果 因为残差序列具有异方差性 具有异方差性。 因为残差序列具有异方差性。
ARIMA模型对残差序列的三个假定条件： 模型对残差序列的三个假定条件： 模型对残差序列的三个假定条件
ε t2 关于 变化的二维坐标图， 残差平方图： 变化的二维坐标图， 残差平方图：就是 关于t变化的二维坐标图
例5.11
直观考察美国1963年4月——1971年7月短期国库券的 年 月 直观考察美国 年 月短期国库券的 月度收益率序列的方差齐性。（数据见附录1.18 。（数据见附录1.18） 月度收益率序列的方差齐性。（数据见附录1.18）
对数序列一阶差分后残差图
∇yt = log( xt ) − log( xt −1 )
残差图显示残差序列波动平稳。 残差图显示残差序列波动平稳。
白噪声检验
延迟阶数 6 12 18 LB统计量 统计量 3.58 10.82 21.71 P值 值 0.7337 0.5441 0.2452
白噪声检验显示该残差序列纯随机性。 白噪声检验显示该残差序列纯随机性。
异方差直观诊断
残差图 残差平方图
残差图
方差齐性残差图： 方差齐性残差图：当残差 序列方差齐性时， 序列方差齐性时，它应该 在零值附近随机波动， 在零值附近随机波动，不 带任何趋势。 带任何趋势。
递增型异方差残差图
残差图
递减型异方差残差图 综合型异方差残差图
残差平方图
原理
残差序列的方差实际上就是它平方的期望。 残差序列的方差实际上就是它平方的期望。
例5.11续 续
对美国1963年4月——1971年7月短期 年 月 对美国 年 月短期 国库券的月度收益率序列使用方差齐性 变换方法进行分析 假定
σ t = xt
函数变换
y t = log( xt )
对数序列时序图
对数序列时序图显示它保持了原序列的变换趋势。 对数序列时序图显示它保持了原序列的变换趋势。
2 t
q
ARCH(q)模型结构 模型结构
jHale Waihona Puke =1 x = f (t , x , x , L ) + ε t −1 t−2 t t ε t = ht e t q h = ω + ∑ λ ε 2 t j t− j j =1
式中， 式中， f (t , xt −1 , xt − 2 , L) 为{xt }的 Auto-Regressive模型； 模型； 模型
Var (ε t ) = h(t )
异方差的影响
忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重 低估，继而参数显著性检验容易犯取伪错误 取伪错误， 低估，继而参数显著性检验容易犯取伪错误， 这使得参数的显著性检验失去意义， 这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致 模型的拟合精度受影响。 模型的拟合精度受影响。
本次课程主要内容
1、理解异方差的性质； 、理解异方差的性质； 2、掌握方差齐性变换在金融时序中的应用及其 、 SAS过程； 过程； 过程 3、理解条件异方差模型(ARCH模型、GARCH模 、理解条件异方差模型 模型、 模型 模 型等)的构造原理 的构造原理。 型等 的构造原理。
5.4 异方差的性质
常用转换函数的确定
最简单的假定 σ t = µ t ⇔ h ( µ t ) = µ t2 转换函数的确定
g ′( µ t ) = 1 h( µ t ) = 1
µt
⇒ g ( µt ) = log(µt )
这意味着对于标准差与均值成正比关系的异方差 序列，对数变换可以实现方差齐性。 序列，对数变换可以实现方差齐性。 可以实现方差齐性
i .i .d
et ~ N (0,1)
ARCH模型 自回归条件异方差模型 模型(自回归条件异方差模型 模型 自回归条件异方差模型)
ARCH(q)模型的定义： 模型的定义： 模型的定义
序列的条件方差是一个随时间变化的量(即条件异方差 ， 序列的条件方差是一个随时间变化的量 即条件异方差)， 即条件异方差 这个随时间变化的条件方差是序列的过去有限项平方的线性组 即自回归)， 合(即自回归 ，因此，该模型称为 阶自回归条件异方差模型。 即自回归 因此，该模型称为q阶自回归条件异方差模型。
2、求转换函数的方差 、
Var [ g ( xt )] ≅ Var [ g ( µ t ) + ( xt − µ t ) g ′( µ t )] = Var [ g ( µ t )] + Var [( xt − µ t ) g ′( µ t )] = 0 + [ g ′( µ t )] 2 Var [( xt − µ t )] = [ g ′( µ t )] 2 Var ( xt ) = [ g ′( µ t )] 2 h( µ t )