数学一轮课件(理科)人教A第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算

第1讲平面向量的概念及线性运算
〔壬夯基释疑〕
〔乞考点突破〕
一（考点三）（例3 ）［训练
3 ）
（乞课堂小结〕
1.判断正误(在括号内打“ J ”或“ X ”)
⑴若向量a, b共线，则向量a, 0的方向相同.(X)
(2)若a〃瓦b//c9则a〃c・(x)
(3)向量乔与向量筋是共线向量，则4, B, C,。

四点在一条直线上.(X)
(4)若a//b,贝归；I G R使b =加(X)
【例1】给出下列命题：①若\a\ = \b\,贝!| a=b；
②若A, B, C, D是不共线的四点，贝iAB =DC^四边形平行四边形的充要条件；
③若a=b, b=c,则a=c；④若a//b f方〃c,贝|）a〃c. 其中正确命题的序号是（）
A.②③
B.②④
C.③④
D.②③④
解析①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.VAfe=Dt, AI Aft I = IDt Ifi AS // Dt, 又A, B, C, D是不
共线的四点，・•・四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则A&l = IDtl, 且砸，方向相同，因此，A&=Dt.
【例1】给出下列命题：①若\a\ = \b\9贝!| a=b；②若A, B, C, D是不共线的四点，则布=庞是四边形ABCD为
平行四边形的充要条件；
③若a=b, b=c9贝!| a=c；
④若a//by b//c9贝!)a//c.
其中正确命题的序号是（
A.②③
B.②④
C.③④
D.②③④
解析③正确•・九=方，方的长度相等且方向相同，又b=c, :・b, c的长度相等且方向相同，:・a, c的长度相等且方向相同，故
a=c.
④不正确.当b=0时，a, c可能不平行. 综上所述，正确命题的
序号是②③.
答案A
规律方法
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.
⑷非零向量a与盒的关系：打是与。

同方向的单位向量.
【训练1】给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③加=0（2为实数），则2必为零；
④几“为实数，若加=“方，则4与〃共线•
其中错误命题的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析① 错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.
②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.
③错误.当a=0时，不论2为何值，加=0.
④错误.当2=“=0时，此时，a与〃可以是任意向量.
答案C
【例题2】⑴在AABC中，AB边的高为CD 若CB=a9 CA=b9 a・b=O,
\a\ = l9 1勿=2,贝！］血=( )
解析(1) V«^=0, ••• ZACB=90°,
JC A
对角线AC 与BD 交于点O 9AB+AD=2AO, 则 2= .
解析(2)因为4BCD 为平行四边形，
所以詡+前=衣=皿,
已知
故 2=2.
.
答案 ⑴ D (2)2 r 【例题2】⑵如图，在平行四边形ABCD 中,
D D ____________
规律方法
(1)解题的关键在于熟练地找岀图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化•
⑵用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系;
④化简结果.
解析⑴连接CD,
由点C, D 是半圆弧的三等分点, 得CD//AB 且筋= 所以劭=方+
尹. 【训练2】⑴如图所示，已知4B 是圆O 的直径，点是半圆 弧的两个三等分点，Ai=a f At=b t 则瓦5 =()
A. a —毎 ⑵如图，D, E, F 分别是AABC 的边48, BC, CA 的中点，
则( )A&&+旋+申=0 B.Bb-CP+D^=Q
CAb+ci-Cp=Q D •前一矗一就=0
B^a —b C. a+毎 D.£a+b
B
【训练2】⑴如图所示，已知4〃是圆O 的直径，点C, D 是半圆 弧的两个三等分点，Ab=a, At=b,贝!ME = ()
A. a —如
⑵如图，D, E, F 分别是AABC 的边48, BC, CA 的中点, 则( )A&&+旋+詡=0 B.Bb-CP+D^=Q
CAb+ci-Cp=Q D •前一矗一就=0
解析⑵由题意知：AD=FE 9
Bi=Dp f Cp=Eb f 而睦+筋+护=0, •••
前+矗+彷=0・ 答案(1)D (2)A B^a —b C. a+毎 D.£a+b
C
⑵解•:ka+b 与a^rkb 共线 :.Bb=Bt+cb=2a+8b+3(a-b):即 ka+b=Mikb,
I /• (k —=(lk~ l)b. =2«+8方+3“一3b=5(a +Z^)=5A&. V«, b 是不共线的
⑴证明
Rt=2a+8b ，
ct)=3(a —b).
:•••存在实数入 使 ka+b =2(a +肋),
；两个非零向量,
A A S,命共线，又它们有公共点B9
AA, B, D三点共线.! .\^2—1=0, ^.k=±i.
1 /
规律方法
⑴证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
(2)向量a, b共线是指存在不全为零的实数舟，忌使加/ + 2力=0成立；若21°+久2〃=0，当且仅当21=^2=0时成立，则向量a,方不共线・【训练3】⑴已知向量i与/不共线，且陆=汁呛，Ab=ni+j. 若A, B,。

三点共线，则实数加，兀应该满足的条件是（）
A. /w+n = l
B.加+〃 = —1
C. mn = l
D. mn = — l
第（2）小题见下一页
解析（1）由A, B9 D共线可设詡=加,
于是有i^nvj=X(ni4-y) =Xni+^/.
又爲/不共线, r［加=1,
因此一
tti, 即有mn = l.
（2）（2014-南京模拟）如图，经过的重心G 的直线与OA 9 OB 分别交于点 P, Q, ^OP=mOA 9 OQ=nOB 9 叫 nER, 则*+扭值为 • 解析
⑵设鬲=a PQ = O0
— O 卞
=nb —ma, P S = O S —
^P = 由P, G, 0三点共线
,oh=b,由题意知oS =|x|（^J =扣+〃）, 卜祐+如， 艮卩nb —ma=l 孑——加
得，存在实数2,使得屜=2兀,
—…代3
1 1 消去2得万+贏=3.
/ X
1. 向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多 联系
相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多 记忆一些有关的结论.
2. 对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量。

与 b 共
线是指a 与b 所在的直线平行或重合
3. 要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满 足向
量等式方=加，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置
思想方法
易错防范
《课后限时刑療》（见教辅）。