固体物理 第一章 晶体结构1-3

间隙 —— ∆=0.31r0
r0—— 原子球的半径
—— 体心立方晶格 结构的金属 Li、Na、K、Rb、 Cs、Fe 等
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晶体中原子的排列应该采取尽可能紧密的方式
—— 结合能最低的位置
密堆积 ：晶体由全同一种粒子组成，将粒子看作小圆
球这些全同的小圆球最紧密的堆积。
密堆积所对应的配位数 是 晶体结构中最大的配位数。
§1.3 晶向、晶面和它们的标志
晶体性质的各向异性，表明晶体结构具有方向性。 一、晶列和晶向
晶列：由于晶体的周期性结构，布拉伐格子的格点可以看成分 列在一系列相互平行的直线上，这样的直线系称为晶列。
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晶列的特点：
一族平行晶列把所有格点包括无遗。
在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。
典型晶体：CsCl、CsBr、CsI
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3) ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构
典型晶体：ZnS、CdS、GaAs、-SiC
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§1.2 晶格的周期性
一、晶格与布拉伐格子 1. 晶格：晶体中原子(或离子)(周期性)排列的具体形式。
2. 布拉伐格子(空间点阵）
由一个顶点向三个面心引基矢。
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四、复式晶格的原胞
复式格子的原胞：即是相应简单 晶格的原胞，一个原胞中包含各 种等价原子各一个。
一个原胞中包含A层和B层原子各 一个，共两个原子(对应一个格点)
a1 a2
两者之间的夹角为1200
hcp
c 1.633 a1
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布拉伐格子：数学上的抽象，是点在空间中周期 性的规则排列,也称空间点阵。
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格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化 学、物理和几何环境上完全相同。 基元：每一个格点所代表的物理实体。
实际晶格 = 布拉伐格子 + 基元
晶格的类型很多，但布拉伐格子只有14 种。
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4.晶胞 除了周期性外，每种晶
体还有自己特殊的对称性。
为了同时反映晶格的对称性， 晶体学中往往选用较大的周 期性单元，称为结晶学原胞， 简称为晶胞或单胞。 晶胞是晶格中最典型的周期性单元。能够同时 反映晶格的周期性和对称性。 晶胞的三个棱边矢量用 a , b , c 表示称为轴矢 24 （或晶胞基矢），其长度a，b，c ，称为晶格常数。
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晶面指数: 能够标志晶面取向的一组数，称为晶面指数
(indices of lattice plane )。 要描述一个平面的方位，需要找出一个坐标系中表示 该平面的法线方向，或给出该平面在三个坐标轴上截 距。
同一族晶面，在不同坐标系中求得的指数往往是 不同的。用结晶学原胞（晶胞）基矢构成坐标系, 得到的晶面指数, 称之为密勒指数。
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三、简单晶格的原胞
下面对结晶学中属于立方晶系的简立方、体心立方和 面心立方晶格的固体物理原胞进行分析。
a ai 基矢 b aj c ak
sc 体积 V a
3
晶胞：
原胞：
a1 ai 基矢 a2 aj a 3 ak
a3 体积 V a1 (a2 a3 ) 2 原子个数 1
bcc原胞示意图
由一个顶点向三个体心引基矢。
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fcc 晶胞：
a ai 基矢 b aj c ak
体积 V a3 原子个数 4
1 1 n 8 6 4 8 2
c
个原子。
c
金刚石结构每个结晶学原胞(晶胞)包含4个格点，共8
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2. 若在面心立方晶格的体心增加一个同种原子，得到的 晶格是简单晶格还是复式晶格？其对应的布拉伐格子 是什么？
“面心＋体心”立方是复式晶格，其对应的布拉伐格
子是简立方格子，每个基元包含5个原子。
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fcc + 双原子基元
A类碳原子 共价键方向
B类碳原子 共价键方向
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复式晶格包含多个等价原子，每类等价原子各构 成一个简单晶格，这些简单晶格彼此相同。复式晶 格是由等价原子的简单晶格嵌套而成。
SC + 双原子基元
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二、基矢和原胞----描述周期性
通常用密勒指数来标记不同的晶面。
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确定密勒指数的步骤：
1）选任一结点为原点，以晶胞基矢 a 、 c 为轴 b、 2）求出晶面族中离原点最近的晶面在 a 、 c 轴上的截距 h' a 、k ' b 、 l ' c 。 b 、
3）将 h' 、 k ' 、 l ' 取倒数并化为互质整数 h 、k 、
思考题：
1. 金刚石结构对应的布拉伐格子是什么？该结构一个原
胞中包含几个格点？几个原子？一个晶胞呢？
c c 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4
的长度套构而成,其布拉伐格子为面心立方。
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固体物理学 金刚石结构每个固体物理学原胞包含1个格点,基元由两个
1 1 1 碳原子组成,位于（000）和 4 4 4 处。
OB：共12个，表示为<110>
OC：共8个，表示为<111>，如右图
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二、晶面和晶面指数
晶面：在布拉伐格子中作一簇平行的平面，这些相互平 行、等间距的平面可以将所有的格点包括无遗。
—— 这些相互平行的 平 面称为晶体的晶面
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同一个格子，两组不同的晶面族
晶面的特征：晶面的取向、晶面间距
每一簇晶列定义了一个方向 —— 晶向
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晶向的标志
取某一格点为原点O，以基矢 沿晶向到最近的一个格点的位矢 为轴建立坐标系
—— 一组整数
晶向指数 对同一晶列，选用不同的 基矢为坐标轴，其 晶向 指数的表示不同。
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Rl 2a1 3a2
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体积 V a3
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bcc 晶胞：
a ai 基矢 b aj c ak
体积 V a3
原子个数 2
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原胞：
a a1 2 ( i j k ) a 基矢 a2 ( i j k ) 2 a a3 ( i j k ) 2
} 表示为 {111
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可以证明：在立方晶系中，晶向指数为[hkl]的晶 列垂直于密勒指数为(hkl)的晶面。
例1：1.9 指出体心立方晶格(111) 面与(100) 面交线的晶向。
解：如图，(111) 面与(100) 的交线为AB ������ ������ ������ ������ 将AB平移，使得A点与原点重合 ， 则B 点的位置矢量为 RB aj ak
Graphite
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2. 化合物晶体
1) NaCl晶格结构 氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体 Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
典型晶体：NaCl、LiF、KBr
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2) CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对 角线位移1／2 的长度套构而成
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全同原子球在一个平面上最紧密排列，任一个球都与6 个 球相切。每个球的周围有6个空隙。
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固体物理学 （ hexagonal close-packed, hcp ） c. 六角密排晶格
原子球排列为：AB AB AB ……
六角密徘晶格的典型单元 典型晶体：Be、Mg、Zn、Cd、Ti 配位数：12
配位数: 一个原子的周 围最近邻的原子数
简单立方晶格的典型单元
3
配位数：6
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b. 体心立方晶格
（body-centered cubic, bcc）
体心立方晶格的典型单元
原子球排列形式
配位数：8
体心立方原子球排列方式表示为 AB AB AB ……
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体心立方晶格中，A层中原子球的距离等于 A－A层之间的 距离，A层原子球的
晶向指数
Baidu Nhomakorabea
晶向指数
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简单立方的晶向（用[ ]表示）及等效晶向( < >)
立方边OA：[100]
面对角线OB：[110] 体对角线OC：[111]
体心和面心布拉伐格子常以 晶胞基矢为轴标志晶向，故 其晶向指数与简立方相同。
OA、OB、OC的等效晶向？
[0 1 0], OA：[100],[1 00], [010]， [001 ],[001] 100
l ，则 （hkl）即为密勒指数。
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立方晶系的晶面 选用晶胞基矢构造坐标系
符号相反的晶面只有在区分晶体外表面时才有意义。
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(100) 面等效晶面数分别为：3个 (110) 面等效晶面数分别为：6个
表示为 {100} 表示为 {110}
(111) 面等效晶面数分别为：4个
e. 金刚石晶格结构
碳原子构成的一个面心立方 原胞内还有四个原子，分别 位于四个空间对角线的 1／4 处 一个碳原子和其它四个碳 原子构成一个正四面体
典型晶体：金刚石、Si、Ge等 金刚石晶格结构的典型单元
金刚石结构的配位数：4
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Diamond
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第一章 晶体结构
美丽的晶体
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§1.1 一些晶格的实例
晶格 —— 晶体中原子排列的具体形式。
1.元素晶体
一维
二维
二维正方堆积
二维密排堆积
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三维
a. 简单立方晶格
（simple cubic, sc）
原子球在一个平面 内呈现为正方排列
平面的原子层叠加起 来得到简单立方格子 用圆点表示原子的位置 得到简单立方晶格结构
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晶格的分类： 简单晶格：每个基元中只包含一个原子的晶格。 简单晶格中所有原子在化学、物理和几何环境 上都是完全等同的。
复式晶格：每个基元中包含两个或更多的原子的晶格。 简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原 子组成的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石和 hcp晶格都是复式晶格。
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������
������
所以该晶向为 [0 1 1] 。
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固体物理学 例2：如图所示 a b c ，I和H D A
c
b
C
分别为BC，EF之中点，试求晶面 AEG，ABCD，DIHG的密勒指数 AEG 1 1 1 1:1:1 (111) ABCD
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fcc原胞：
a a1 2 ( i j ) a 基矢 a2 ( j k ) 2 a a ( k i ) 3 2 a3 体积 V a1 a2 a3 4
原子个数 1
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d. 面心立方晶格（face-centered cubic, fcc） 原子球排列为：ABC ABC ABC ……
面心立方晶格的典型单元
ABC面垂直于立方体的空间对角线。
配位数：12
典型晶体： Cu、Ag 、Au、Ca、Sr、Al、
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固体物理学
1.晶格的原胞： 晶格中最小的 周期性单元。 原胞的选取 不唯一，但 体积相等。 2. 基 矢 ： 原 胞的边矢量， a a2、 一般用 1、 a3 表示。
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a2 a1
每个原胞中只包含一个格点。
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三维晶格的原胞通常 为一个平行六面体
原胞体积： V a1 (a2 a3 )
a2 ， 3.格矢:定义了基矢 a1， a3之后，布拉伐格子中
任意一个格点均可用一个矢量 Rl l1a1 l2a2 l3a3 （l1、l2和l3均为整数），称为格矢。 可用 {l1a1 l2a2 l3a3}表示一个布拉伐格子（ 空间点阵）
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