062-定积分的性质

使 f()b 1aabf(x)d,x
即 a b f ( x ) d f ( x ) b ( a ) .(ab)
积分中值公式的几何解释：
y
在 区 间 [a,b]上 至 少 存 在 一
个 点 ， 使 得 以 区 间 [ a ,b ] 为
f ()
底 边 ， 以 曲 线 yf(x )
o a
为 曲 边 的 曲 边 梯 形 的 面 积
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 abc,
c
aHale Waihona Puke f(x)dxa bf(x)d xb cf(x)dx
则
b
a
f
c
c
(x)dxaf(x)d xbf(x)dx
c
b
af(x)d xc f(x)d.x
（定积分对于积分区间具有可加性）
第6页
性质4 a b1d x a bd x ba.
性质5 如 果 在 区 间 [ a ,b ] 上 f(x ) 0 ，
第3页
性质1
b
b
b
a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) d.x
证
b
a[f(x)g(x)d] x
n
l i0m i1[f(i)g(i) ]xi
n
n
lim 0 i1
f(i)xi
lim 0 i1
g(i
)xi
b
a
b
f (x)dxa g(x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
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例 2 估 计 积 分 0 3 s 1 3 i x d n 的 值 x .
解 f(x)3s1in3x, x [0,],
0si3n x1,
111 43sin3x3,
0 4 1d x0 3s1i3x n d x0 1 3d,x
40 3s1i3n xd x 3.
使 a b f(x ) d x f()b ( a ).(a b )
积分中值公式
证 m ( b a ) a b f(x ) d M x ( b a ) mb 1aa bf(x)d xM
由闭区间上连续函数的介值定理知
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在 区 间 [ a , b ] 上 至 少 存 在 一 个 点 ，
Mf()2 2, m f()2,
4
2
ba, 24 4
2 4 4 2sx ixn d x22 4,
1
2
4 2sxin xdx
2. 2
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性质7（定积分中值定理）
如 果 函 数 f( x ) 在 闭 区 间 [ a ,b ] 上 连 续 ，
则 在 积 分 区 间 [a ,b ]上 至 少 存 在 一 个 点 ，
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例3 估 计 积 分 4 2sxin xdx的 值 .
解 f(x)sinx, x [, ]
x
42
f(x)xcoxxs 2six ncoxs(xx2taxn) 0, f ( x ) 在 [ , ] 上 单 调 下 降 ,
4 2
故 x 为 极 大 点 ， x 为 极 小 点 ,
4
2
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则 a bf(x )d x 0 . (a b )
证 f(x ) 0 ,f(i)0, ( i 1 ,2 , ,n )
n
xi0, f(i)xi 0,
i1 m x 1 , x a 2 , , x x n }{
n
lim
0 i1
f(i
)xi
b
f(x)dx0. a
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例 1比 较 积 分 值 2 e x d 和 x 2 x d的 x 大 小 .
2lim 3f()6.
证 f( x ) g ( x ), g (x ) f(x ) 0 ,
b
a[g(x)f(x)d ] x0,
b
b
ag (x)d x af(x)d x 0 ,
于 是 a b f ( x ) d x a b g ( x ) d . x
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性质5的推论：
（2）
b
b
af(x)d xaf(x)d.x(ab)
0
0
解 令 f(x)exx, x[2,0]
f(x ) 0 , 02(exx)dx 0,
0 exdx
0
xdx,
2
2
于是
2exdx
2
xdx.
0
0
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性质5的推论：
（1）如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 f ( x ) g ( x ) ，
则 a b f( x ) d x a b g ( x ) d .x ( a b )
等 于 同 一 底 边 而 高 为 f()
b x 的 一 个 矩 形 的 面 积 。
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例4设f(x)可 导 ， 且limf(x)1， x
求limx2tsin 3f(t)d.t
x x
t
解 由积分中值定理知有 [x,x2],
使 xx2tsin3t f(t)dtsi 3 nf()(x2x), xl im xx2tsin 3t f(t)dt 2l imsin3f()
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性质2 a b k (x ) f d k x a b f(x ) dx k (为 常 数 ) .
证
abkf(x)dxlim 0in1kf(i)xi
n
n
limk 0 i1
f(i)xi
klim
0i1
f(i)xi
b
ka f(x)dx.
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性质3 假 设 acb
b
c
b
af(x )d x af(x )d x cf(x )d.x
f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 的 最 大 值 及 最 小 值 ，
则 m ( b a ) a b f(x ) d M x ( b a ) .
证 m f ( x ) M ,
b
b
b
am d xaf(x)d xaM,dx
b
m (b a ) af(x ) d x M (b a ).
证 f ( x ) f ( x ) f ( x ) ,
b
b
b
af(x ) d x af(x ) d x af(x ) d ,x
即 a bf(x)d xa bf(x)d.x
说明： |f ( x ) | 在 区 间 [ a , b ] 上 的 可积性是显然的.
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性质6 设 M 及 m 分 别 是 函 数
062-定积分的性质
此处添加副标题内容
6-2 定积分的性质 中值定理
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一、基本内容
对定积分的补充规定:
（ 1 ） 当 a b 时 ， a bf(x )d x 0 ；
（ 2 ） 当 a b 时 ， a b f(x ) d x b af(x ) d.x
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．