摄影测量平差基础
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~ L L
L1 L1 ~ L L2 2 n ,1 ~ L n Ln
~
2、偶然误差的特性
• 例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每 个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于 180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进 行统计。
第一节 概述 第二节 偶然误差的规律性 第三节 衡量精度的指标
第一节 概述
一、专业符号介绍 观测真值向量 观测向量 误差向量
n1
~ L
n1
n 1
L
L1 L 2 L3 L 61 S1 S2 S3
L1
s3
s2
L2
s1
x ~1 ~ ~ y1 x 41 ~2 x ~ y2
二、观测误差
1、测量平差的研究对象——观测误差 观测数据：用测绘仪器工具或其他手段获取 的反映地球及其它实体的空间分布 有关信息的数据。 任何量测数据不可避免地含有误差，如何处理含有误差 的测量数据便成了一门研究课题。 闭合、附合水准路线 闭合、附合导线
第三节、测量平差的基本原理
从前面我们知道，由于观测值之间存在矛盾要进行平差， 那么怎样进行平差呢？什么样的平差结果才是最佳估值？怎 样评定平差结果的精度呢？这就是测量平差要解决的问题。
1、示例 设对某三角形三内角进行观测，得观测值： L1=58°30′40″， L2=61°20′10″， L3=60°08′58″ ω=（L1+L2+L3）-1800=-12″ 若将L1，L2，L3分别加上一个改正数v1,v2,v3，使得： (L1+v1)+(L2 +v2)+(L3+v3）=1800 即：(v1 +v2+v3)+(L1+L2+L3-1800)=0 亦即： v1 +v2+v3- 12″=0
• 是怎么求出来的。为什么从观测值方差阵中任意取出一个公因子都是单位 权方差。
第五节 测量平差产生的历史
最小二乘法产生的背景
18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集 合求出未知数的最佳估值？ 最小二乘的产生
1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小 二乘，并利用其解决了上述问题。 1806年，A.M. Legendre，从代数角度，提出了最小 二乘。《决定彗星轨道的新方法》 1809年， C.F.GUASS，《天体运动的理论》
摄影测量平差基础
第一部分 绪论
第一节 测量平差的重要性 第二节 平差问题产生的原因 第三节平差的基本原理
第四节 测量平差的基本任务
第五节 测量平差的历史
第一节 测量平差的重要性
一、测量平差的定义与任务 定义1、测量数据的处理的理论与方法。 定义2、按数理统计的理论与方法处理测量数据。 理论基础：数理统计 线性代数 高等数学 微分 泰勒级数 专业基础：摄影测量学 处理工具：计算机编程 二、测量平差的任务：确定未知量的估值并评定其精度。
第二节 平差问题产生的原因
一、实例说明 1、边长（距离）测量 第一种情况：欲知直线度L （1）进行一次观测便可知 （2）进行n次观测，得 L1、L2、·· ·、Ln 理论上应： L1=L2=·· ·=Ln 但由于有误差，实际上各自并不一定 相等，出现了同一量的不同观测值不相 等的矛盾。
L1 L2 … Ln
2、平差原则—最小二乘原理
Pv 2 min
n 1 n
或V T PV min
（1）、同精度独立观测，改正数v应满足：
2 2 vi2 v12 v2 vn min i 1 n
（2）、不同精度独立观测，改正数v应满足：
2 2 Pi vi2 P v12 P2v2 Pn vn min 1 i 1 n
真误差：观测值与真值之差， 一般用i= L-Li 表 示。
~
观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2……Ln可表 示为：
L1 L 2 L n ,1 Ln
~ L1 ~ ~ L2 L n ,1 ~ Ln
L1
u1
s2
未知参数改正数真值向量 未知参数平差值向量
u 1
u 1
~ x
L2
ˆ X
s1
L3
B(x2,y2)
未知参数改正数平差值向量
u 1
ˆ x
~ X1 ~ ~ Y1 X ~ 41 X2 ~ Y2
X 10 0 0 Y1 X 0 41 X2 0 Y2
二）、n维正态分布 设n维随机向量X= （x1，x2，·，xn）T 服从正态分布，其 · · 联合分布密度函数为：
f x1 , x2 , , xn 1 1 T -1 exp x DXX x 2
2
n 2
DXX
1 2
其中
1 E X 1 E X 2 X 2 n ,1 N E X n
• 1）、在一个测量平差问题中，怎样计算观测值个数n, 必要观
测数t , 多余观测数r，这是进行测量平差首先要解决的问题。
• 2）、各种函数模型的非线性形式及其线性形式怎样表示，怎样
建立各种线性函数模型。特别是对于条件平差模型,怎样列出各
种条件方程，对于间接平差模型，怎样列出误差方程。 • 3）、观测值的权阵怎么确定，权阵与协因数阵有什么关系， 权与协因数有什么关系。
k
x 2
2 2
e
k
dx
t2 2
P k X k
k
k
e dt 2
t2 2
0
由此可得
1 e dt 2
P X 68.3%
P 2 X 2 95.5% P 3 X 3 99.7%
第四节 测量平差的任务：
对一系列带有观测误差的观测值，运用
概率统计的方法来消除它们之间的不符 值，求未知量的最可靠值。
评定测量成果的质量
由此可见，测量平差即数据调整，也 就是依据某种最优准则，由一系列带有观 测误差的测量数据，求定未知量的最佳估 值及精度的理论和方法。
停止
返回
测量平差中要弄清的几个重要问题
L3
观测值平差值向量 观测值改正数向量
n1
ˆ L
V
n1
h1 h 2 h3 L 61 h4 h5 h6
h1 A h6 h5 h2 D h4 C
B
h3
未知参数真值向量 未知参数近似值向量
u 1
~ X
A(x1,y1)
X
0
s3
2 X1 X 2 X 1 X n X 1
DXX
X X 2 X
1 2
2
X
nX2
X1X n X2Xn 2 Xn
二、偶然误差的规律性
1、几个概念 真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大 ~ L 表示。 小的数值，一般用 n1 观测值：对某量观测所得的值，一般用Li表示 。
L3
• 出现了三角形三内角观测值之和不等于 • 180°的矛盾。
那么，这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢？我们又如何 来解决这些矛盾呢？
二、测量平差产生的原因
1、观测值之间的矛盾产生原因 （1）、观测值存在误差 （2）、有多余观测 由于观测值之间存在矛盾，故必须进行数据处理—测量平差。 注： 总观测元素：对某个几何模型进行的所有观测，其个数用n表示。 必要元素：确定一个几何模型所必要的元素，其个数用t表示。 多余观测：在一个几何模型中，除必要元素之外的观测元素，其 个数用r表示，r=n-t。 几何模型：各种控制网的统称。
• 4）、协方差传播律和协因数传播律是指什么？设向量F，W分别是随机向 量X，Y的以下线性函数: • F＝AX+BY • W＝CX+DY • 试求F和W 的协方差阵D(XY)，并由此导出各种特殊情况下求方差和协方 差的公式。 • 5）、VTPV=min 平差原则是怎样导出来的？按此原则求出的估值L，X有 什么优越性？或为什么称 L，X为最佳估计？什么是最佳估计？怎样证明 它们是最佳估计（建议对各种不同的平差模型进行证明）。 • 6）、以下单位权方差估值公式：
一、 正态分布
正态分布是一种最常见的分布形式，一般随机变量都遵循正 态分布，正态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为 测量误差服从正态分布。 一）、一维正态分布 1、设一维随机向量x服从正态分布，则其分布密度函数为：
f x 1 e 2
x u 2
2 2
wk.baidu.com
1 1 x u 2 exp 2 2 2
误差的分类
• 偶然误差/随机误差：在相同的观测条件下进行的 一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出 偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大 量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶 然误差。 • 如照准误差、读数误差、毫无规律的外界影响等。 • 不可避免，经典测量平差研究的内容 • 粗差：错误，大误差
三、误差构成的四种情况
1 、 2、 3、 4、 偶 0， 系 0， 粗 0， 本课程为这种情况， 经典平差。 偶 0， 系 0， 粗 0 偶 0， 系 0， 粗 0 偶 0， 系 0， 粗 0
第二节 偶然误差的规律性
1 1 exp x 2 2 2
x
3、正态随机变量X出现在区间（u-k σ ,u+k σ ）内的概率
P k X k
t x
k
k
f x dx 1 2
1 2
k
• • •
2、三角测量:欲知三角形三内角L1、 L2、L3的大小
L1
• （1）观测了三角形三内角L1、L2，则 L3=180°－L1－L2 误差，一般情况下： • • • L1+L2+L3≠180° 存在闭合差（观测值与理论值之差） w=L1+L2+L3－180°
L2
• （2）观测了三角形三内角L1、L2、L3，由于有
距离测量
角度测量………..
2、产生误差的原因 • 测量仪器：i角误差、2c误差 • 观测者：人的分辨力限制
• 外界条件：温度、气压、大气折光 等 观测条件：测量仪器、观测者、外
界条件三者综合起来为观测条件
3、误差的分类
系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如 果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规 律变化，这种误差称为系统误差。如大多数仪器误差， 有规律的外界影响等。 系统误差具有累积性，它的存在必然影响观测结果。 削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数
误差 区间
0.00~0.20
—△ 个数K 45 频率K/n 0.126 (K/n)/d△ 0.630 个数K 46
+△ 频率K/n 0.128 (K/n)/d△ 0.640
L1
L2
L3
• • • •
满足方程的v1,v2,v3有无限多组，那么，按什么准 则从无限多解当中选取合理的解呢？ 根据最优化数学方法，一般按如下准则，也就是最 小二乘准则来解决该问题。
2 2 vi v12 v2 v3 min i 1 n
由此可得唯一最优解：v1=v2=v3=4″
x
其中,u为随机变量x的数学期望，σ为其标准方差。称随机向 量x服从参数为u、 σ的正态分布，记为x～N（ u、 σ ）。
2、标准正态分布 若随机变量X的数学期望u=0，标准差σ=1，则称X服从标 准正态分布，记为X～N（0，1）。
f x 1 e 2
x2 2
L1 L1 ~ L L2 2 n ,1 ~ L n Ln
~
2、偶然误差的特性
• 例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每 个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于 180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进 行统计。
第一节 概述 第二节 偶然误差的规律性 第三节 衡量精度的指标
第一节 概述
一、专业符号介绍 观测真值向量 观测向量 误差向量
n1
~ L
n1
n 1
L
L1 L 2 L3 L 61 S1 S2 S3
L1
s3
s2
L2
s1
x ~1 ~ ~ y1 x 41 ~2 x ~ y2
二、观测误差
1、测量平差的研究对象——观测误差 观测数据：用测绘仪器工具或其他手段获取 的反映地球及其它实体的空间分布 有关信息的数据。 任何量测数据不可避免地含有误差，如何处理含有误差 的测量数据便成了一门研究课题。 闭合、附合水准路线 闭合、附合导线
第三节、测量平差的基本原理
从前面我们知道，由于观测值之间存在矛盾要进行平差， 那么怎样进行平差呢？什么样的平差结果才是最佳估值？怎 样评定平差结果的精度呢？这就是测量平差要解决的问题。
1、示例 设对某三角形三内角进行观测，得观测值： L1=58°30′40″， L2=61°20′10″， L3=60°08′58″ ω=（L1+L2+L3）-1800=-12″ 若将L1，L2，L3分别加上一个改正数v1,v2,v3，使得： (L1+v1)+(L2 +v2)+(L3+v3）=1800 即：(v1 +v2+v3)+(L1+L2+L3-1800)=0 亦即： v1 +v2+v3- 12″=0
• 是怎么求出来的。为什么从观测值方差阵中任意取出一个公因子都是单位 权方差。
第五节 测量平差产生的历史
最小二乘法产生的背景
18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集 合求出未知数的最佳估值？ 最小二乘的产生
1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小 二乘，并利用其解决了上述问题。 1806年，A.M. Legendre，从代数角度，提出了最小 二乘。《决定彗星轨道的新方法》 1809年， C.F.GUASS，《天体运动的理论》
摄影测量平差基础
第一部分 绪论
第一节 测量平差的重要性 第二节 平差问题产生的原因 第三节平差的基本原理
第四节 测量平差的基本任务
第五节 测量平差的历史
第一节 测量平差的重要性
一、测量平差的定义与任务 定义1、测量数据的处理的理论与方法。 定义2、按数理统计的理论与方法处理测量数据。 理论基础：数理统计 线性代数 高等数学 微分 泰勒级数 专业基础：摄影测量学 处理工具：计算机编程 二、测量平差的任务：确定未知量的估值并评定其精度。
第二节 平差问题产生的原因
一、实例说明 1、边长（距离）测量 第一种情况：欲知直线度L （1）进行一次观测便可知 （2）进行n次观测，得 L1、L2、·· ·、Ln 理论上应： L1=L2=·· ·=Ln 但由于有误差，实际上各自并不一定 相等，出现了同一量的不同观测值不相 等的矛盾。
L1 L2 … Ln
2、平差原则—最小二乘原理
Pv 2 min
n 1 n
或V T PV min
（1）、同精度独立观测，改正数v应满足：
2 2 vi2 v12 v2 vn min i 1 n
（2）、不同精度独立观测，改正数v应满足：
2 2 Pi vi2 P v12 P2v2 Pn vn min 1 i 1 n
真误差：观测值与真值之差， 一般用i= L-Li 表 示。
~
观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2……Ln可表 示为：
L1 L 2 L n ,1 Ln
~ L1 ~ ~ L2 L n ,1 ~ Ln
L1
u1
s2
未知参数改正数真值向量 未知参数平差值向量
u 1
u 1
~ x
L2
ˆ X
s1
L3
B(x2,y2)
未知参数改正数平差值向量
u 1
ˆ x
~ X1 ~ ~ Y1 X ~ 41 X2 ~ Y2
X 10 0 0 Y1 X 0 41 X2 0 Y2
二）、n维正态分布 设n维随机向量X= （x1，x2，·，xn）T 服从正态分布，其 · · 联合分布密度函数为：
f x1 , x2 , , xn 1 1 T -1 exp x DXX x 2
2
n 2
DXX
1 2
其中
1 E X 1 E X 2 X 2 n ,1 N E X n
• 1）、在一个测量平差问题中，怎样计算观测值个数n, 必要观
测数t , 多余观测数r，这是进行测量平差首先要解决的问题。
• 2）、各种函数模型的非线性形式及其线性形式怎样表示，怎样
建立各种线性函数模型。特别是对于条件平差模型,怎样列出各
种条件方程，对于间接平差模型，怎样列出误差方程。 • 3）、观测值的权阵怎么确定，权阵与协因数阵有什么关系， 权与协因数有什么关系。
k
x 2
2 2
e
k
dx
t2 2
P k X k
k
k
e dt 2
t2 2
0
由此可得
1 e dt 2
P X 68.3%
P 2 X 2 95.5% P 3 X 3 99.7%
第四节 测量平差的任务：
对一系列带有观测误差的观测值，运用
概率统计的方法来消除它们之间的不符 值，求未知量的最可靠值。
评定测量成果的质量
由此可见，测量平差即数据调整，也 就是依据某种最优准则，由一系列带有观 测误差的测量数据，求定未知量的最佳估 值及精度的理论和方法。
停止
返回
测量平差中要弄清的几个重要问题
L3
观测值平差值向量 观测值改正数向量
n1
ˆ L
V
n1
h1 h 2 h3 L 61 h4 h5 h6
h1 A h6 h5 h2 D h4 C
B
h3
未知参数真值向量 未知参数近似值向量
u 1
~ X
A(x1,y1)
X
0
s3
2 X1 X 2 X 1 X n X 1
DXX
X X 2 X
1 2
2
X
nX2
X1X n X2Xn 2 Xn
二、偶然误差的规律性
1、几个概念 真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大 ~ L 表示。 小的数值，一般用 n1 观测值：对某量观测所得的值，一般用Li表示 。
L3
• 出现了三角形三内角观测值之和不等于 • 180°的矛盾。
那么，这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢？我们又如何 来解决这些矛盾呢？
二、测量平差产生的原因
1、观测值之间的矛盾产生原因 （1）、观测值存在误差 （2）、有多余观测 由于观测值之间存在矛盾，故必须进行数据处理—测量平差。 注： 总观测元素：对某个几何模型进行的所有观测，其个数用n表示。 必要元素：确定一个几何模型所必要的元素，其个数用t表示。 多余观测：在一个几何模型中，除必要元素之外的观测元素，其 个数用r表示，r=n-t。 几何模型：各种控制网的统称。
• 4）、协方差传播律和协因数传播律是指什么？设向量F，W分别是随机向 量X，Y的以下线性函数: • F＝AX+BY • W＝CX+DY • 试求F和W 的协方差阵D(XY)，并由此导出各种特殊情况下求方差和协方 差的公式。 • 5）、VTPV=min 平差原则是怎样导出来的？按此原则求出的估值L，X有 什么优越性？或为什么称 L，X为最佳估计？什么是最佳估计？怎样证明 它们是最佳估计（建议对各种不同的平差模型进行证明）。 • 6）、以下单位权方差估值公式：
一、 正态分布
正态分布是一种最常见的分布形式，一般随机变量都遵循正 态分布，正态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为 测量误差服从正态分布。 一）、一维正态分布 1、设一维随机向量x服从正态分布，则其分布密度函数为：
f x 1 e 2
x u 2
2 2
wk.baidu.com
1 1 x u 2 exp 2 2 2
误差的分类
• 偶然误差/随机误差：在相同的观测条件下进行的 一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出 偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大 量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶 然误差。 • 如照准误差、读数误差、毫无规律的外界影响等。 • 不可避免，经典测量平差研究的内容 • 粗差：错误，大误差
三、误差构成的四种情况
1 、 2、 3、 4、 偶 0， 系 0， 粗 0， 本课程为这种情况， 经典平差。 偶 0， 系 0， 粗 0 偶 0， 系 0， 粗 0 偶 0， 系 0， 粗 0
第二节 偶然误差的规律性
1 1 exp x 2 2 2
x
3、正态随机变量X出现在区间（u-k σ ,u+k σ ）内的概率
P k X k
t x
k
k
f x dx 1 2
1 2
k
• • •
2、三角测量:欲知三角形三内角L1、 L2、L3的大小
L1
• （1）观测了三角形三内角L1、L2，则 L3=180°－L1－L2 误差，一般情况下： • • • L1+L2+L3≠180° 存在闭合差（观测值与理论值之差） w=L1+L2+L3－180°
L2
• （2）观测了三角形三内角L1、L2、L3，由于有
距离测量
角度测量………..
2、产生误差的原因 • 测量仪器：i角误差、2c误差 • 观测者：人的分辨力限制
• 外界条件：温度、气压、大气折光 等 观测条件：测量仪器、观测者、外
界条件三者综合起来为观测条件
3、误差的分类
系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如 果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规 律变化，这种误差称为系统误差。如大多数仪器误差， 有规律的外界影响等。 系统误差具有累积性，它的存在必然影响观测结果。 削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数
误差 区间
0.00~0.20
—△ 个数K 45 频率K/n 0.126 (K/n)/d△ 0.630 个数K 46
+△ 频率K/n 0.128 (K/n)/d△ 0.640
L1
L2
L3
• • • •
满足方程的v1,v2,v3有无限多组，那么，按什么准 则从无限多解当中选取合理的解呢？ 根据最优化数学方法，一般按如下准则，也就是最 小二乘准则来解决该问题。
2 2 vi v12 v2 v3 min i 1 n
由此可得唯一最优解：v1=v2=v3=4″
x
其中,u为随机变量x的数学期望，σ为其标准方差。称随机向 量x服从参数为u、 σ的正态分布，记为x～N（ u、 σ ）。
2、标准正态分布 若随机变量X的数学期望u=0，标准差σ=1，则称X服从标 准正态分布，记为X～N（0，1）。
f x 1 e 2
x2 2