有限元作业9__用不同的加权残值法取一阶近似求解弹性地基梁的挠度

利用变分法推导图示弹性地基梁的 微分方程及边界条件。并利用不同 的加权残值法取一阶近似进行求解。

解： 一、 推导：

设梁的弯曲刚度为EI ，则梁的地弯曲应变能

b

∏为：2

220

12

l b d w EI dx dx ⎛⎫

∏=

⎪⎝⎭⎰

设地基的刚度系数为k ，于是地基中获得的能量f ∏是：2

12

l f

kw dx ∏=

⎰

由于梁的挠度，载荷的势能l ∏为0l

l pwdx ∏=-⎰

整个系统的总势能为b f

l ∏=∏+∏

+∏，即222

20122l

EI d w kw pw dx dx ⎡⎤

⎛⎫∏=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

⎰ 根据最小势能原理，梁的真实位移()w x 使上式积分取最小值，即问题转化为求含有自变量二阶导数的泛函极值问题，其中

2

222

221

12222d w EI k F EI kw pw w w pw dx ⎛⎫''=++=++ ⎪

⎝⎭

∴Euler 方程为2

20F

d F d F w dx w dx w ∂∂∂⎛⎫⎛⎫-+= ⎪

⎪'''∂∂∂⎝⎭⎝⎭

二、 求解：

作为一阶近似，把试探函数1φ取为0k α==时的精确解，即；

()()()2

2

1

5124

x x x φ=-

-- 近似解为()()()2

2

1

1115124

a w x a x x φ==-

--

将()1w x 代入无量纲形式的梁的基本微分方程，得微分方程的残差为

()()()2

2

1

111,51124

a R x a a x x α

=----+ ○1配点法，要求在x=0处余量为0即

()11111

10,510

24

5124a R a a a αα-=--+=⎛⎫

⇒=+ ⎪

⎝⎭

○

2子域法，要求与两载区域中的积分为零：

11111

1

1210

15

2115R dx a a a αα--=--

+=⎛

⎫⇒=+ ⎪

⎝

⎭⎰

○

3最小二乘法： ()()2

2

11

15124

r x x a α

∂=--

--∂ 由1

111i R R a -∂∂⎰1

2

124621115152835a ααα-⎛⎫⎛

⎫⇒=+++ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

○

4伽辽金法，权函数取为()()2

2

115124

x x φ=---由余量方程1111

R dx φ-=⎰

1

131

1189a α-⎛⎫

⇒=+ ⎪⎝

⎭

○5矩法权函数取值为1，由余量方程1

1

10R dx -⋅=⎰1

12115a α-⎛⎫

⇒=+ ⎪⎝

⎭

下表是α取不同值时用各种加权残值法求解的弹性基础梁的挠度对比，由表中可以看出，随着α的增大，一阶近似解的误差逐渐增大。