渐变折射率光纤

c.本地数值孔径
为反映光纤捕获光线的能力，梯度光纤也可以以子午光线来定义数 值孔径。仍以从端面入射进入纤芯并成为束缚光线的最大入射角的 正弦定义为数值孔径NA，即
NA = sin θ max
与阶跃光纤不同的是，梯度光纤纤芯折射率是渐变的，因而从端面 不同位置入射的光线，其成为束缚光线的最大入射角是不一样的， 因而有必要定义本地数值孔径。
利用β = n(r ) 为
dz
r
LO = 2∫
2 2
rtp
n2 ( r )
ric
g ( r )
1 2
ds
( 4 13)
l 2a2 dr 2 2 另一方面，对 β dz = n (r ) β r 2 = g (r ) 积分，可以得到
Z = Z0 + β ∫
r
dr
r0
若将上式的积分起始点和终点分别取在P、Q两点，得到沿Z轴方向 光线路径的半周期长度为
大部分实际情况中，光纤端面外的介质是空气，即 n0 = 1，则由上 式可以得到 r = r0 处的数值孔径，或者本地数值孔径为
2 NA ( r0 ) = sin θ max ( r0 ) n12 ( r0 ) n2
( 4 11)
可以看到，光纤本地数值孔径随r0 的位置变化，从光源入射来的光 线在端面上不同入射点上纤芯的捕捉能力不同，因而光纤横截面内 功率分布也是不均匀的。 若光源是点光源，则其发出的光线在不同方向上的携带相同的光功 率，这种情形下，光纤端面所能收集到的光功率与它的数值孔径的 平方成正比。设纤芯与距轴线r处位置单位面积上通过的光功率分 别为P(0)和P(r) ,则必有
NA ( r0 ) = sin θ max ( r0 )
( 4 10 )
显然，使纤芯中光线成为束缚光线的临界情况是光线的折返点焦散 面为纤芯与包层的分界面，即 rtp = a ，此时的入射角就是最大入射 角 θ max 。如果入射角θ θ max ，则光线必然进入包层成为折射光线。 在传播过程中 β = n(r ) cos θ z (r ) 是个常数，而在折返点 θ z (r = rtp ) = 0 ，以 位 θ max 角入射的光线，在折返点上必有β = n2 = n1 (r = a )。而从 r = r0 置入射的光线成为束缚光线的最大入射角满足
b.光线分类及光线路径
梯度光纤中光线在传播过程中仍然可以分为子午光线和偏斜 光线。由于梯度光纤的几何结构和折射率分布一般都是轴对称分 布的，沿z轴方向具有不变性，两类光线的路径都是周期性曲线。 子午光线仍然定义为传播过程中过光纤纤芯的光线。从下图 可以看到，在梯度光纤中，此类光线是光纤纤芯纵剖面内的平面 曲线，这在横截面内的投影是长度 2rtp 的线段，rtp 是光线外焦散面 的半径。
( 4 8)
从上式可以看到，有两种情况： l=0,则上式只有一个有意义的解 n(r ) = β ，而 ric = 0 ，这就是子 午光线的情况；
l ≠ 0 , 则上式有两个正实数的解,大的一个是 rtp ,小的一个是 ric ， 这就是偏斜光线的情况；
将(4-3)中关于dz和ds几何关系的二式,即ds = dz cos θ z (r )，和 (4-3) 中的 dφ ds 关系，一起代入路径方程(4-2)的一式中，可以得到
a2 2 n (r ) β 2 l = 0 r
2 2
(4 7)
ric
偏斜光线的传播路径及在横截面上的投影
分析上式，可以看到，只要光纤折射率分布n 2 (r ) 确定以后，光线 的初始条件β 2 和 l 2 可以确定 rtp、ric。 可以将上式转化为关于r的二次方程，为
r2 1 = 2 a 2l 2 n ( r ) β 2
2 2 NA ( r ) = n1 ( r ) n2 = 2 P ( 0 ) NA ( 0 ) 2 n12 n2
P (r )
2
( 4 12 )
若忽略光纤损耗，在一段不长的光纤中传播后其输出功率仍然满足 上式。则能通过测试输出端的功率，再通过上式反过来推得光纤的 折射率分布。
c.传播时延
n2 β n1
2. 如果在r ≥ a 范围内总有g (r ) 0 ，这说明包层中存在光线路径，即 光线可以从纤芯折射入包层，这就是折射光线，图c的情形。 由g(r) 的定义式可以看到，对于 l ≠ 0 的偏斜光线，这种情形的条 件是0 ≤ β 2 + l 2 ≤ n22 ，对于l=0的子午光线，条件则变为 0 ≤ β 2 ≤ n22 。
( 4 3)
由于梯度光纤的几何结构和折射率分布一般都是轴对称分布的， 沿z轴方向具有不变性。我们可以定义光线传播过程中的不变量
β = n(r )
dz = n ( r ) cos θ z ( r ) ds
( 4 4)
上式其实也可以从光线路径方程(4-2)的第3式积分得到，我们来 得到不变量，将(4-2)的第2式两边同乘以 r 2 ，可以得到
β = n1 (r ) cos θ z max (r0 ) = n2
数值孔径中的最大入射角是光纤端面外介质中的角度，而上式最大 入射角是端面上的折射角，由菲涅耳定律可以得到
2 n0 sin θ max (r0 ) = n1 (r0 )sin θ z max (r0 ) = n12 (r0 ) n2
2 2 2 3. 如果上述条件都不满足，即β ≤ n2 和 n2 β + l ，这时我们可以发
现g(r) =0在 r a范围内有两个根 ric 和 rtp，同时在r a 区域，也就是 有光线路径存在，称为漏泄光线。 r = rrad 的面称为辐射焦散面，从 g(r)=0可以求得其值为
rrad = la n β
对于偏斜光线，在空间的路径是螺旋状的曲线，它交替的与 r = rtp和 r = ric 的圆柱面相切。 rtp 为折返点(或外散焦散面)半径，
ric为内焦散面半径。
偏斜光线传播中的空间曲线在横截面内的投影类似于一个椭 圆(一般不封闭)。由于光线路径始终与内、外焦散面相切，而在切 点上必有偏斜角 θφ (r ) = 0 ，由此可从(4-6)得到内、外焦散面的半 径 rtp、ric 满足下列关系
Z p = ∫ dz = 2β ∫
P Q rtp
[g (r )]
1 2
dr g ( r )
1 2
ric
( 4 14 )
则由(4-13)(4-14)两式可以得到光线沿Z轴方向传播单位距离的时延, 即传播时延为
g ( r ) L0 τ= = dr cZ p cβ rtp 1 ∫ric g ( r ) 2
( 4 2)
梯度光纤中，因为折射率分布不均匀， 一般呈轴对称分布，所以光线在纤芯中传播 路径一般为曲线。各角度间有如下关系
dr ds = cos α ( r ) dz = cos θ z ( r ) ds dφ 1 ds = r sin θ z ( r ) cos θφ ( r )
r2 d dφ dφ dr d 2 dφ = r n(r ) = 0 n(r ) + r 2n(r ) ds ds ds ds ds ds
将上式积分，可以定义光线在传播过程中的第二个不变量l, 即
r2 dφ r l = n(r ) = n ( r ) sin θ z ( r ) cos θφ ( r ) a ds a
ric
∫
rtp
n2 ( r )
1 2
dr
( 4 15)
l 2a 2 由于g (r ) = n (r ) β 2 ,所以一般来说，传播时延不仅与 β 相关， r 而且与l相关。即传播时延不仅与入射倾斜角θ Z (r0 )有关，而且还和偏
2 2
斜角 θφ (r0 ) 有关。
g(r)在光纤轴上取最大值，路径总与光纤轴相交。
具体来看，有 1.如果r ≥ a 时总有 g (r ) 0 ，这说明在包层中不存在光线的路径，这 就是束缚光线的情况。其中又包含两种情形。 a. 图a所示的情形，仅在 0 ric r rtp a 范围内g(r) 的值为正，其 余范围都有 g (r ) 0 ，这就是偏斜束缚光线； b. 图b所示的情形，g (r ) = 0 时取最大值，r 0 时g(r) 单调下降，当 r 时 r = rtp ，g (r ) = 0 时 rtp g (r ) 0 ，这就是子午束缚光线。 两种情形下，包层中没有光线，即光线是束缚光线，等价条件为
根据l的不同取值，可以画出函数g(r)的曲线，有四种情况。
首先可以看到的是，除了l=0，即子午光线以外，在 r → 0时，总有
g (r ) 0；因而对 l ≠ 0，即偏斜光线，在 r → 0 时，光线路径不能存在， 即它不能与光纤轴相交；对l=0的情形，在r=0时 g (r ) = n12 β 2 0 ，而且
五、梯度光纤
1. 几何光学方法 2. 标量近似解析方法
1. 几何光学方法
阶跃光纤，结构简单，容易分析，缺点是存在严重的多径色散；改 进的方法是可以将光纤纤芯折射率做成渐变的，一般让纤芯折射率 从中心轴到包层的分界面单调下降，而且折射率呈轴对称分布。这 样的光纤称为梯度光纤(GI)。 折射率分布
n1 ( r ) n(r) = n2 = n1 ( r = a ) r≤a ra
dr
'
[
]
化解成一阶微分方程后，积分上式，并注意 r = rtp 时 dz = r 于是得到
l 2a2 dr 2 2 β r = β = n (r ) β 2 = g (r ) r dz
2 '2 2 2
=0，
( 4 9)
上式引进了一个新函数g(r)，只有其为非负值时，方程在实数范 围内才可能有解，光线的路径方程才能存在，这是一个判定光线类 型的判据。
d 2 r 2 a 2 1 dn 2 (r ) β l 3 = dz 2 r 2 dr
2
入上式，得到
' dr d 2r 1 dr 2 ' ' dr = 求解上式，首先做变量代换，令 = r ，则 2 = r ，代 dz dz dr 2 dr
d l 2a 2 2 '2 2 β r n (r ) = 2 3 dr r
( 4 5)
将(4-4)(4-5)和阶跃光纤中的情况做比较，可以发现后者只是前者在 n(r)=n1, r=a的特例。利用这两个定义式，消去光线与z轴夹角的因子， 可以得到偏斜角与折射率分布的关系
cos θφ ( r ) = a r 1 n2 ( r ) β
1 2
( 4 6)
这个关系其实可以用来区分光线分类。
梯度光纤中，无论是子午光线还是 偏斜光线，其传播路径都是周期性 的曲线。 从右图可以看到，光线传播路径上 P、Q两点间的路径长度为
L p = ∫ ds
P Q
子午光线的传播路径及在横截面上的投影
则两点间的光程为
ric
LO = ∫ n(r )ds
Q P
偏斜光线的传播路径及在横截面上的投影
百度文库z = n(r ) cos θ z (r ) ，将上式积分中的ds用dz代替，再利用 ds 2 l 2a2 2 dr 2 2 β = n (r ) β 2 = g (r ) 将dz用dr代替，可得到P、Q间的光程写
( 4 1)
梯度折射率光纤折射率分布
a.路径方程和光线不变量
以光纤轴为z轴构建圆柱坐标系(r,φ,z),此时可以将光线的路径方 程分离成三个变量的独立方程，为
2 d dn ( r ) dr dφ n ( r ) rn ( r ) = ds dr ds ds d d dr dφ 2n ( r ) dφ dr n = n n ( r ) =0 + ds ds ds ds r ds ds d dz n(r) = 0 ds ds
2 2
包层内还有一个根，记 r = rrad ，当 r rrad 时也有g (r ) 0 ，即此时也
[
1 2 2
]
从右图可以看到，在 rrad a，tp r rrad r 范围内 g (r ) 0 ，不存在光线。 这个现象可以解释为纤芯中传播的 光线有少量能量通过所谓“隧道” 机理漏泄到包层中，在 rrad 区域 r 形成辐射。这种现象和量子力学中 的隧道效应类似，又称这种光线为 隧道光线。