一种求解 RLW 方程的紧致差分格式

一种求解 RLW 方程的紧致差分格式
孙建安;吴广智;贾伟
【摘要】利用紧致有限差分方法进行空间离散，龙格库塔方法进行时间离散，建立了一种求解RLW方程的数值格式，较好地解决了对空间与时间混合导数项的离散问题，并在空间和时间上都保持了高阶精度。

所得数值结果证实了该数值格式具有较高的精度。

%A compact difference scheme is established for solving the regularized long wave equation by using the compact difference method in space discretion and the Runge‐Kutta method in time discretion , the mixed derivative is skillfully treated and the higher order accuracy is maintained both in space and time . It is confirmed that the numerical solutions obtained from the scheme are with extremely high accurate .
【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(000)004
【总页数】4页(P38-41)
【关键词】紧致有限差分方法;龙格库塔方法;RLW方程;数值解
【作者】孙建安;吴广智;贾伟
【作者单位】西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070
【正文语种】中文
【中图分类】O411.1
1992年,Lele[1]总结格式,得到了任意高阶精度对称紧致有限差分格式的推导方法,与普通差分方法相比,紧致差分方法可以在相同数量的节点上获得更高的精度,例如使用五节点即可达到六阶精度.该方法的应用十分广泛,曾经被用来研究弹性波方程[2]、泊松方程[3]、N-S方程[4]等.
RLW方程是由Peregrine[5]提出的一类非线性演化方程,是描述许多物理现象(如浅水波、等离子体声波等)的一种非常好的模型,尤其是在研究非线性色散波方面起了非常重要的作用[5,6],尽管该方程某些形式的解析解可以得到(如孤波解)，但很多形式的解析解目前无法获得，因此对其数值解法的研究十分重要，提高其数值求解的精度也很有意义.众多数值方法都曾经用于求解RLW方程,例如五次和二次B样条Petrov-Galerkin有限元法[7]、伽辽金线性有限元法[8]、二次B样条集中伽辽金有限元法[9]、三次B样条配置法[10]、微分求积方法[11]、J分裂法和三次样条函数相结合的方法[12,13]、有限差分法[14]等.
本文使用紧致差分方法进行空间离散,使用四阶龙格库塔方法[15]进行时间离散,提出了一种新的求解RLW方程的高精度数值格式,并通过数值计算，对新的数值格式的计算精度进行了研究.
紧致有限差分方法是使用函数值的某种线性组合来表示该函数导数值的线性组合的一类差分方法,该方法增加了差分格式的精度与稳定性.
对于函数u(x),x∈[a,b],将自变量区间n等分,插入n+1个节点
x1(a),x2,…x,xn+1(b),相邻节点间距为h,则在内节点处,五点六阶精度的对称紧致差分格式为[4]
其中，分别为节点xi处函数u以及u对x的一阶、二阶导数值.
边界点与近边界点处的差分格式可参考文献[4].若节点处函数值已知,求解由内点、近边界点及边界点处的差分格式构成的线性方程组,即可求得各节点处的一阶和二阶导数值.
RLW方程[5]的具体形式为
数值求解该方程的主要困难在于其含有时间与空间的混合导数项,为此,本文构造了一种使用紧致差分方法与龙格库塔方法求解该方程的新的数值算法.引入变量
将方程(3)改写为
对方程(5)使用四阶龙格库塔方法
其中,zn表示z在第n时间层的值;k1=g(tn,zn)=-(ux)n-ε(uux)n.由于un已知,由(1)式和(2)式可解得(ux)n,(uxx)n的值,进而可得到zn及k1的值.
接下来给出k2,k3,k4的计算方法.以k2为例,记,由z与u的关系(4)式可得,利用(2)式可得
由于已知,求解线性方程组(7)式即可得到,再利用(1)式求得ux,即可得到
采用类似的方式可求出k3和k4的值,进而可用(6)式计算出zn+1.然后利用关系(7)式将其中替换为替换为un+1,可得到
求解线性方程组(9),得到u在第n+1时间层的值un+1.
考虑如下初始条件的RLW方程
其对应的方程的精确解为
其中,v=1+εd；.计算时取ε=1,μ=1,xc=0.由于算例为孤波解,边界处满足
因此,为了简化边界点与近边界点的处理方式,计算时在求解区间左右端点的外侧分别外插了x-1=-80-2h,x0=-80-h,xn+2=120+h,xn+3=120+2h四个节点,并取
u(x-1,t)=u(x0,t)=u(xn+1,t)=u(xn+2,t)=0,则近边界点与边界点即可按照内点处理. 为方便对比数值结果的误差,引入误差范数L2与L∞及守恒量I,它们分别定义为[16] 表1给出了在d=0.1,h=0.25,τ=10-3,x∈[-80,120]时本文算法与几种其他算法求
解RLW方程孤波解所得到的数值结果在时间t=20时的误差范数与守恒量对比.表2给出了在与表1相同条件下本文算法所得的数值结果与文献[4,11,15]中的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比.表3给出了在d=0.03,h=0.25,τ=10-3,x∈[-80,120]时本文算法所得的数值结果与文献[13]中的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比.表4给出了在d=0.01,h=3/16,τ=10-3,x∈[-130,170]时本文算法所得的数值结果与文献[11]中的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比.可以看出，本文建立的数值格式在计算精度方面更高于其他数值方法；在长时间计算的过程中，本文格式一直保持了高计算精度，具有很好的稳定性；同时，通过表3和表4还可以看出，在方程参数变换过程中，本文格式同样保持了高计算精度.
用紧致差分格式与龙格库塔方法构造了一种新的求解RLW方程的数值格式,较好地解决了对空间与时间的混合导数项的离散问题,并在空间和时间上都保持了高阶精度.使用新数值格式计算得到的RLW方程的数值解与其他数值格式获得的数值解进行了比较,结果显示本文构造的新数值格式具有更高的数值计算精度，因此该数值格式在RLW方程数值解法的研究中很有实用价值与参考意义.
【相关文献】
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