5.2定积分的性质

成都工贸职业技术学院教案

两部分区间上定积分之和 即

⎰⎰⎰+=b

c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.

这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式

⎰⎰⎰+=b

c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 成立. 例如, 当a

b b

a c

a dx x f dx x f dx x f )()()(,

于是有

⎰⎰⎰-=c

b c

a b

a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=b

c c

a dx x f dx x f )()(.

性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则

a b dx dx b

a b

a -==⎰⎰1.

例1：求 解：由图形可知：

教师

推导

演示

师生研讨

10

分钟

性质5 如果在区间[a , b ]上 f (x )≥0, 则

⎰≥b

a dx x f 0)((a <

b ).

推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则

⎰⎰≤b

a b

a dx x g dx x f )()((a <

b ).

这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而

教师结合教材讲授

学生

认真

听讲

20

分钟

.},max{2

22

⎰

-dx x x },max{)(2x x x f =,21100222

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤-=x x

x x

x x x

y

o

2x

y =x

y =12

2

-01222201

112x dx xdx x dx -∴=++=⎰⎰⎰原式例3 比较积分值dx e x ⎰-20和dx x ⎰-2

0的大小.