解析几何中的数学思想

解析几何中的数学思想
数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为，如果在传授知识的同时引导学生利用数学思想方法去解决问题，必定会获得良好的教学效果。

一、函数思想
在函数思想中，对应是它的本质特征，自变量的变化处于主导地位，所以函数思想的实质是运用联系和变化的观点，提出数学对象之间的数量关系，并用映射给予严格的形式。

例1.在抛物线y=4x上求一点，使该点到直线y=4x-5的距离最短。

分析：用点到直线间的距离公式建立目标函数，再运用函数性质解答。

设A(x，4x2)为所求的点，再利用函数的有关性质(如求函数最值)确定其参数的取值范围。

二、数形结合思想
数形结合思想的实质是把属性结合起来考查，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题。

例2.若实数x、y满足方程x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最大值和最小值。

分析：令x-2y=b
由x2+y2-2x+4y=0可知(x-1)2+(y+2)2=5，可看成过圆上的点作
斜率为1/2的平行直线系，求纵截距的范围。

利用数形结合的思想让已知条件形象生动化，大大节省了解题时间。

三、化归思想
它是通过各种变换方法，如分析法、反证法、待定系数法、构造法等，换一个角度或一种观点来考虑原问题，使原问题更易于解决。

例3.抛物线y2=x与圆(x-a)2+
y2=1有四个交点，求实数a的取值范围。

分析：因为y2=x，则x≥0。

问题可转化为关于x的二次方程有2个正根的问题，并设为x1，x2，利用韦达定理和判别式得出a 的取值范围。

四、分类讨论思想
它是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类，分别研究每一类，得出每一类的结论。

例4.在xoy平面上给定曲线y2=x，设点A(a，0)a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。

分析：这是求两点间距离的最小值问题。

先用公式建立目标函数，把它转化为二次函数在x≥0条件下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。

五、方程思想
运用数学的符号化语言，能将问题中已知量和未知量(或参变量)之间的数量关系抽象为方程(组)、不等式等数学模型，然后通过对
方程(组)、不等式的变换求出未知量的值。

例5.如图1所示，自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程。

分析：设L和x轴的交点为B(b，0)，则。

根据光学反射定律可知，反射光线的斜率为，所以可求反射光线所在直线，又由相切得圆心到直线距离等于半径，构造方程算出b。

六、参数思想
通过必要的运算和推理，建立目标变量与参数的某种联系，最后再消去参数，只保留目标变量而获解。

例6.一条直线被两直线L1：4X+Y+6=0，L2：3X-5Y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线的方程。

分析：设所求直线与L1，L2的交点分别是A、B，设A(x0，y0)，利用中点是原点算出点B的坐标，再分别将A、B的坐标分别代入两直线方程中。

除了上述几种数学思想方法之外，解析几何中数学思想方法还有不等式、整体化、类比推理、射影、对称、一般化与特殊化、类与不变量思想等。

教师在教学中应注重揭示各章节的思想方法，正所谓“授人以鱼，不如授人以渔”。