现代设计方法(第二章 优化设计)

1.直接搜索法。它只利用目标函数值构成的搜索方法，如POWELL，单纯形法；

2.梯度法。它需要有目标函数及其导数的解析式。

对于非线性的显函数，且变量数较少或中等的问题，用复合形法或罚函数法（其中尤其是内点罚函数法）的求解效果一般都比较理想，前者求得全域最优解的可能性较大。建议当找不到一个可行的初始点时，才用外点罚函数法。在用罚函数法解优化问题时，必须选用一个合适的无约束优化方法。如果目标函数的一阶和二阶偏导数易于计算（用解析法），且设计变量不是很多（如n ≤20）时，建议用拟牛顿法；若n>20，且每一步的Hessian 矩阵求解变得很费时时，则选用变尺度法较好。若目标函数的导数计算困难（用解析法）或者不存在连续的一阶偏导数，则用Powell共轭方向法效果是最好的。对于一般工程设计问题，由于维数都不很高（n<50），且函数的求导计算都存在不同程度的困难，因此用内点罚函数法调用Powell无约束优化方法求序列极小化。

优化设计：它是以数学规划理论为基础，以电子计算机为辅助工具的一种设计方法。它首先将设计问题按规定的格式建立数学模型，并选择合适的优化方法，选择或编制计算机程序，然后通过电子计算机自动获得最优设计方案。

两类优化方法：

1.直接法：直接计算目标函数值，比较目标函数值，并以之作为迭代、收敛根据的方法。

2.求导法：以多变量函数极值理论为基础，利用目标函数的性态，并以之作为寻优、迭代、收敛根据的方法。

综合设计法：

以程序设计、优化技术、仿真技术及自动绘图技术的综合为基础，以计算机工作站为工具，将工业设计方法提高到更新的阶段，使产品设计，换代、创新更趋于自动化，并展示了有可能向智能化发展的前景。

优化问题的分类：

按照目标函数的性质和约束条件可分为无约束问题和有约束问题。

无约束问题按照目标函数包含的单变量或多变量来分类。（直接搜索法：它只利用目标函数值构成的搜索方法，如POWELL法，单纯形法等。梯度法：它需要有目标函数及其导数的解析式。）

有约束问题有三类：

1.线性目标函数和线性约束（线性规划，整数规划）

2.非线性的目标函数和线性约束（二次规划，凸规划，线性分式规划）

3.非线性目标函数和非线性约束条件（变换法，线性逼近法，直接搜索法）

建立数学模型有哪三个基本步骤？

1）识别要确定的未知变量，并用代数符号表示它们。2）识别目标或判别标准，并将其表示为要最大化或最小化的函数。

3）识别问题的约束条件或限制，并将它们表示成未知变量的线性或非线性的等式或不等式组。

。优化设计的数学模型一般由设计变量、目标函数和约束条件三个基本要素组成。其含义为在一定的约束条件下，追求目标函数的极小值（或极大值）,而求得一组设计变量值。

。设计变量与设计空间：设计变量的个数决定了设计空间的维数，设计空间的维数又表征设计的自由度，设计变量越多，则设计的自由度越大，可供选择的方案越多，设计越灵活，但难度亦越大，求解越复杂。通常在保证必要的设计精度的前提下，设计变量应尽可能取少些。

。约束条件可分为边界约束和性能约束。在二维设计空间中，不等式约束条件的可行域，是各约束线所围的平面，比较直观。三维和三维以上的设计问题，约束条件是曲面或超曲面，约束曲面围成的可行域，是多曲面或超越曲面围成的空间。

。等值线有哪些特点：不同值的等值线不相交；除极

值点外，等值线在设计空间内不会中断；等值线反映

了目标函数的变化规律，愈内层的等值线，其函数值

愈小，其中心点为极值点；等值线间隔越密，表示该

处函数变化率越大；极值点附近的等值线近似椭圆

族，极值点为中心点。

。线性规划与非线性规划有何区别？

当目标函数F(x)和约束条件都是设计变量的线性函

数时，列出这种数学模型并求解的过程，称为线性规

划，只有一个公用算法，称为“单纯形法”。在所有

的优化模型中，线性规划应用的最广。如果目标函数

F(x)和约束条件中有一个或多个是设计变量的非线

性函数时，列出这种数学表达式并求解的过程，称为

非线性规划。解非线性规划问题有许多算法。

。什么是约束条件？约束条件和可行域有何关系？等

式约束和不等式约束有何区别与联系？

设计变量的取值范围有限制或必须满足一定的条件，

这种对设计变量取值的限制称为约束条件。

不等式约束条件将设计空间划分为可行域和非可行

域，设计方案只能在可行域内选取。

等式约束条件只允许设计方案在可行域的等式约束

线（或面）上选取。

不等式约束将设计变量限制在一个区间或区域，约束

不严格；而等式约束设计变量限制在一个点、线或面

上，约束严格。

等式约束起到降低自由度的作用，有一个等式约束可

以降低一个设计自由度，一个等式约束可以用两个不

等式约束表示。

。约束极值点存在的条件：库恩-塔克条件：一个约

束极值点存在的必要条件为目标函数的梯度可表示

成诸约束面梯度纯属组合的负值。其几何意义为：起

作用约束的梯度矢量，在设计空间构成一个锥体，目

标函数的负梯度应包含在此锥体内。这个条件是约束

优化问题极值的必要条件，而不是充分条件。只有当

目标函数为凸函数，约束函数也是凸函数时，即凸规

划问题时，其局部最优点就是全局最优点，刚库恩-

塔克条件是该极值的必要充分条件。

。数值方法：根据目标函数值的变化规律，以适当的

步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函

数值的最优点进行探索，逐步逼近目标函数的最优

点，直至达到最优点。

。常用迭代终止准则有哪三种？

1）点距准则：当设计变量在相邻两点之间的移动距

离以充分小时，可以相邻两点的矢量差的摸作为终止

迭代的判据。

2) 值差准则：当相邻两点目标函数之差已达到充分

小时，可用两次迭代的目标函数之差作为终止判据

3）梯度准则：当迭代点逼近极值点时，目标函数在

该点的梯度已达到充分小时，可用梯度的模作为终止

判据。

0.618法的基本思想：0.618法又称黄金分割法，要

求定义区间[a,b]上的函数为单峰值函数通过不断割

舍左端或右端的一部分，逐步把区间缩小之至极小点

所在区间到给定误差范围内，从而得到近似的最优

解，并且每次缩短的新区建长度与元区间长度的比值

始终是一个常数。

。二次插值法的基本思想是:在选定的单峰区间内选

一点，连同两端点，利用这三点的函数值构成一个二

次多项式，作为原函数的近似，求近似二次多项式的

极小点作为原函数的近似最优点。

。Powell法在每一轮形成新的搜索方向时会存在何

种问题导致不收敛？如何修正？

Powell法在每一轮形成新的搜索方向替换原来矢量

组中的第一个方向形成新的搜索方向组，可能存在新的方向

组线性相关的情况，从而导致算法不收敛的问题。修正

方法：选代过程中，形成一个新的方向后，先判别一下新方

向是否有效，如果有效则替换原来的搜索方向组中的第一个

搜索方向，否则，不替换，仍然按原来的方向组搜索。

。梯度法的基本原理和特点是什么

1）梯度法的基本原理：梯度法又称最速下降法，基本原理是

在迭代点附近采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为

搜索方向，求目标函数的极小值。

2）梯度法的特点：迭代计算简单，只需求一阶偏导数，所占

用存储单元少，对初始点要求不高，在接近极小点位置时收

敛速度很慢。

1.共轭梯度法的特点是什么？

在梯度法靠近极值点收敛速度减慢的情况下，共轭梯度法可

以通过构造共轭方向，使其收敛速度加快，具有一次收敛速

度，使得计算过程简便，效果又好：在每一步迭代过程中都

要构造共轭方向，比较繁琐。

2.为什么选项用共轭方向作为搜索方向可以取得良好的

效果？

选用共轭方向作为搜索方向可以取得良好的效果，主要是由

共轭方向的性质所决定。

共轭方向的性质为: 对于n维正定二次型函数，从任意初始

点出发，依次沿着与矩阵A为共轭的n个线性无关的方向进

行一维搜索，则能在第n或第n步以前达到极小点。

3.变尺度法：为了得到既快速收敛的性质，又能避免计

算二阶导数矩阵及其逆矩阵，减少计算工作量。

变尺度矩阵必须是对称正定矩阵，才能保证变尺度算法的搜

索方向是函数值下降的方向，而且从一次迭代到另一次迭代

是变化的，故称变尺度矩阵。

4.有约束优化方法根据对约束条件的处理方法不同，可

分为直接法和间接法两大类。

直接法的基本思想是设法使每一次的迭代点都能在可行域

内，并逐步降低目标函数值，直至最后得到一个在可靠域内

的约束最优解。即在迭代过程中，搜索方向和迭代步长都要

经过可靠性和适用性条件的检查。属于直接法的有：复合形

法、简约梯度法等。间接法的基本思想是把有约束问题通过

一定形式的变换，转化成无约束优化问题，然后用无约束方

法求解，属于此类常见的有罚函数法等。

5.简述复合形法的优化过程的基本原理。

复合形法的优化过程为：在可行域内选择是个设计点，作为

初始复合形的顶点，构造一个多面体；然后对多面体各顶点

的函数值逐个进行比较，目标函数最大的为坏点，按照一定

规则去掉坏点而代以新点，构成一个新的多面体；依次步骤

进行多次，使复合形的位置逐步调向邻近最优点，最后以顶

点中目标函数值最小的点，作为近似最优点而得到解。

特点：由于在迭代计算中不必计算目标函数的导数，也不用

一维搜索，所以程序结构比较简单，适用性较广。对设计变

量增加，维数高或约束条件多的优化问题，为了得到较好的

新顶点，往往要向中心点多次收缩，因而计算效率显著降低。

6.简约梯度法：解决线性约束非线性规划问题。

7.简述罚函数法的基本原理，罚函数法分为哪几种？

基本思想是把一个有约束的问题转化为一系列无约束问

题求解，逐渐逼近于目标函数的最优值。

在原目标函数中添加一些与约束函数有关的项，形成一个

新的目标函数以取代原目标函数，然后用无约束融洽优化

方法求新目标函数的最优解。

有内点法、外点法、混合法。

内点罚函数法、外点罚函数法及混合罚函数法的基本思想：

内点罚函数法：是把新目标函数定义于可行域内，因此其初

始点和后面产生的迭代点序列也必然在可行域内，这种方法

是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效的方法，但不

能处理等式约束。

缺陷：一是不能处理等式约束问题，因为在边界上新目标函

数的函数值无穷大，迭代点无法达到；二是初始点必须在可