预测第六章-自适应过滤法

2）
ˆ et+1 = e5 = X5 − X5 =10 −5 = 5
3）根据 ωi′ = ωi + 2ket +1 X t −i +1调整系数：
ω1′ = 0.25 + 2 × 0.0008 × 5 × 8 = 0.314
′ ω2 = 0.25 + 2 × 0.0008 × 5 × 6 = 0.298
ω3′ = 0.25 + 2 × 0.0008 × 5 × 4 = 0.282
′ ω4 = 0.25 + 2 × 0.0008 × 5 × 2 = 0.266
这里，1）~3）即完成了一次迭代（调整）， 然后t+1再重复以前的步骤。 （4）因此，当t=5时：
ˆ 1） X
t +1
ˆ = X6 = ω X5 +ω2X4 +ω3X3 +ω4X2 1 = 0.314×10 + 0.298×8 + 0.282× 6 + 0.266× 4 = 8.28
∗ ∗ 3 2
′ 2 ω =ω +2ke x =0.55+2×0.5×0.32×0.5865=−0.27 2
∗ ∗ 3 1
4、再次进行标准化代换得到新的
x
∗ 2
x
∗ 3
x
∗ 4
′ ˆ x4∗ =ω1x3∗ +ω′ x2∗ =1.58×0.7658 − 0.27×0.6427 =1.04 2
e 4 ∗ = 0.8457 − 1.04 = −0.19
二、基本步骤 设给定一组时间序列的观测值 x1,x2 , x3,L, xn 1、确定权数的个数N。确定初始权数，一般取
1 ω = ω2 = ω3 =L= ωN = 1 N
2、按预测公式计算预测值
ˆ xt+1 =ω1xt +ω2xt−1 +L+ωNxt−N+1
3、计算预测误差
ˆ et+1 = xt+1 − xt+1
• 一直计算到
′ ˆ x10 =ω1x9 +ω′2x8 = 0.6108×0.9 + 0.5658×0.8 =1.0094
ˆ e10 = x10 − x10 =1−1.0094 = −0.0094
′ ω1 =ω1 + 2 k e10 x9 = 0.6108 + 2×0.8×(−0.0094)×0.9 = 0.6051
ω3′ = 0.282 + 2 × 0.0008 × 3.72 × 6 = 0.318
′ ω4 = 0.266 + 2 × 0.0008 × 3.72 × 4 = 0.290
（5）这样进行到t=10时，
ˆ ˆ Xt+1 = X11 = ω1 X10 +ω2 X9 +ω3 X8 +ω4 X7
但由于没有t=11的观察值X11，因此
′ ω1 =ω1 + 2ke3x2 = 0.5 + 2×0.8×0.15×0.2 = 0.548
ω′ =ω2 + 2ke3x1 = 0.5 + 2×0.8×0.15×0.1 = 0.524 2
5、利用 ω′ ω′ ，计算下一期的预测值 2 1
′ ˆ ˆ xt+2 = x4 =ω1x3 +ω′ x2 = 0.548×0.3+ 0.524×0.2 = 0.2692 2
′ ω =2 1
′ ω2 = −1
′ ˆ x11 =ω1x10 +ω′ x9 = 2×1.0 + (−1) ×0.9 =1.1 2
• 当取k＝2时，计算164轮就可以得到最佳权数。
• 为了减少工作量和提高预测精度 1、预测模型的权数的个数尽量取得恰当 序列中不存在季节模型时，N＝2或3， 存在季节模型取N＝L L－季节因素的周期长度 2、选择适宜的调整常数k
1 k≤ 序列中最大的N个值的平方和的倒数 N 2 －序列中最大的 个值的平方和的倒数 mαx ∑ x i i =1
1 k= N 2 mα x ∑ x i i =1
一般取
• 当xi的波动性很大时，可能影响迭代的收敛速 度，这时可将原始序列进行标准代换：
• 步骤：
X t = ω1 X t −1 + ω2 X t − 2 + ω3 X t −3 + ω4 X t − 4 + et
t Xt 1 2 2 4 3 6 4 5 6 7 8 9 10 8 10 12 14 16 18 20
解答：
（1）由于权数N=4,首先确定调整常数k。
1 1 k≤ 4 = 2 = 0.00085 2 2 2 14 +16 +18 + 20 2 ∑Xi max i=1
ω′2 =ω2 + 2 k e10 x8 = 0.5658+ 2×0.8×(−0.0094)×0.8 = 0.5538
et = 0.4614 ＞ 10−5 ∑
′ • 把 ω1 = 0.6051 ω′ = 0.5538 作为初始权数，重新 2 从第二步开始计算，这样反复1384轮时，总误 差已经降到0，且权数达到稳定不变，得到最佳 权数
ˆ et +1 = e11 = X 11 − X 11 无从计算。第一轮的迭代就此
结束，转入把现有的一组作为初始系数，重 新开始t=4的迭代过程。这样反复进行，到预 测误差（指一轮预测的总误差）没多大改进 时，就认为获得了一组最佳系数，以此获得 的系数作为最优系数进行模型预测：
ˆ X 11 = ω1 X 10 + ω2 X 9 + ω3 X 8 + ω4 X 7
2）
ˆ et+1 = e6 = X6 − X6 = 12 − 8.28 = 3.72
3）根据 ωi′ = ωi + 2ket+1xt+1−i 调整系数：
ω1′ = 0.314 + 2 × 0.0008 × 3.72 × 10 = 0.374
′ ω 2 = 0.298 + 2 × 0.0008 × 3.72 × 8 = 0.346
因此，取k=0.0008 （2）初始系数：
1 1 ωi = = = 0.25 N 4
（3）t的取值从N=4开始。t=4时：
1）
ˆ ˆ X t +1 = X 5 = ω 1 X 4 + ω 2 X 3 + ω 3 X 2 + ω 4 X 1 = 0.25 × 8 + 0.25 × 6 + 0.25 × 4 + 0.25 × 2 =5
6.1 自适应过滤法的基本原理
一、自适应过滤法的基本原理 用移动平均法和指数平滑法进行预测，虽然简 单易行，但操作上存在一个难以处理的问题－ －权数不好确定，没有固定的规则可循，随意 性较大。 当数据的特征发生变化时，不能自动调整权数 以适应新数据的要求，权数始终不变。
自适应过滤法是对时间序列观测值进行某种加 权平均来预测未来值，基本预测公式：
x3 =
∗
x3 x 12 + x 2 2
6.9 = = 0.9637 7.来自百度文库6
ˆ x3∗ =ω x2∗ +ω2x1∗ =1.20×0.8099+(−0.55)×0.5865 = 0.649 1
ˆ e 3 = x 3 − x 3 = 0.9637 − 0.649 = 0.32
∗
∗
∗
′ 1 ω =ω +2ke x =1.2+2×0.5×0.32×0.8099=1.58 1
6、重复3，4，5步
ˆ et+2 = e4 = x4 − x4 = 0.4 − 0.2692 = 0.1308
′ ω1 =ω1 + 2 k e4 x3 = 0.548 + 2×0.8×0.1308×0.3 = 0.6108
ω′2 =ω2 + 2 k e4 x2 = 0.524 + 2×0.8×0.1308×0.2 = 0.5659 ′ ˆ ˆ xt+3 = x5 =ω1x4 +ω′2x3 = 0.6108×0.4 + 0.5659×0.3 = 0.4141
1 一般取 k = ,可取不同的k值进行试算, 选择使MSE N
最小的k值。
3、初始权数
1 ω = ω2 = ω3 =L= ωN = 1 N
ω可以为负，且
∑ω ≠1
i
四、自适应过滤法的优点 （1）简单易行，可用标准程序上机运算。 （2）适用于数据点较少的情况。 （3）约束条件较少。 （4）具有自适应性，它能自动调整回归系数， 是一个可变系数的数据模型。
4、根据预测误差调整权数
ω′ =ωi + 2k ×et+1 × xt+1−i i
调整后的第i个权数 ω′ －调整后的第 个权数 i
ωi
－调整前的第i个权数 调整前的第 个权数
k －调整常数
5、利用调整后的权数计算下一期的预测值。
′ ˆ xt+2 =ω1xt+1 +ω′ xt +L+ω′ xt−N+2 2 N
1、求 xi2 ，i=1,2,…N 2、求标准化常数 个数与权数的个数相同
∑
∗ t
N
x
2 i
i=1
3、进行标准化代换 x
=
xt
∑
N
i =1
xi
2
x =
∗ 1
x1 x12 + x 2 2
4.2 = = 0.5865 7.16
5.8 x = = = 0.8099 x12 + x22 7.16
∗ 2
x2
ˆ 6、重复3、4、5，一直计算到 xn ,en 和相应的 权数。 7、如果预测误差（指一轮预测的总误差）已 达到预测要求精度，且权数已无明显变化， 则可用这组权数预测第n+1期的值。 8、否则，用所得的权数做为初始权数，重新 从头开始调整。
三、N，k和初始权数的确定
1、N 时间序列{xn} 呈现季节变动时，N取季节长度值 例：以一年为周期进行季节变动时， 若序列{xn} 的观测值是月度数据，则取N＝12 若是季度数据，则取N＝4 2、k 调整常数k越大，权数调整的速度越快；k越小，权数 调整的速度越慢；但如果k值过大，会使权数不收敛， 达不到预测精度要求。所以K≤1/N
6自适应过滤法
6.1 自适应过滤法的基本原理 6.2 自适应过滤法的运用过程
自适应过滤法
• 当要预测的时间序列的结构发生变化时，我们 希望预测的方法本身也能自动地有所调整，以 适应新的情况。 • 例如： 当数据的波动变得相当剧烈时，我们希望方法 变得灵敏，以使预测结果能跟上数据的变化； 当数据的波动不大，即相对稳定时，我们希望 方法本身也变得迟钝，以避免当数据受到某种 脉冲冲击时预测值受到过大的影响。 • 这样的方法叫自适应过滤法。
6.2 自适应过滤法的运用过程
例1:
假定有一时间序列如下表所示， 假定有一时间序列如下表所示，已知时间序列 期观测值， 前10期观测值，试用自适应过滤法预测第 期 期观测值 试用自适应过滤法预测第11期 的值。精度要求 ∑ et 〈10−5
t xt
1 0.1 2 0.2 3 0.3 4 0.4 5 0.5 6 0.6 7 0.7 8 0.8 9 0.9 10 1
ˆ xt +1 = ω1xt +ω2xt −1 +L+ωNxt−N+1
＝
∑ωx
i =1 i
N
t − i +1
ˆ x t +1 －第t+1期预测值 xt−i+1 －第t-i+1期的观测值 期预测值 期的观测值
ω i －第t-i+1期观测值的权数 期观测值的权数
N－权数的个数 －
基本思想： 预测值与实际值误差的大小，取决于权 数的选择； 因而减小误差的办法就是调整权数，把 调整后的权数重新输入进行预测，再计 算预测值； 如果误差大，再调整权数，这样反复， 找到一组“最优”权数，使得预测误差 减小到最低限度。
1 1、N＝2 ω = ω2 = = 0.5 1 N
2、计算预测值
• 步骤：
ˆ ˆ xt+1 = x3 =ω1x2 +ω2x1 = 0.5×0.2 + 0.5×0.1 = 0.15
3、计算预测误差
ˆ et+1 = e3 = x3 − x3 = 0.3− 0.15 = 0.15
4、调整权数 取k＝0.8
5、继续调整权数，进行迭代，直到得到满意 的结果。 xt∗所取得的误差，从平均意义上讲逐渐减 通过 小，且小于未经标准变换的误差。 对全部数据进行一次迭代就是一个循环。 对全部数据进行一次迭代就是一个循环。
例 题
• 例2 假定有一时间序列如下表所示， 假定有一时间序列如下表所示，用权数个数 N=4的自适应过滤法求进行预测，模型为： 的自适应过滤法求进行预测， 的自适应过滤法求进行预测 模型为：