概率论课件-第三章 随机向量及其分布

由于随机变量的具体取值是有限的，可由随机向量
(n 维随机变 量 ) 的 联合分布函数唯一确定 k维随 机 变 量 (1≤k<n)的分布函数，称其为联合分布的(k维)边缘分布。
例 如 ， 若 已 知 二 维 随 机 向 量 (X,Y) 的 联 合 分 布 函 数 F(x,y)，则称随机变量X、Y各自的概率分布函数FX(x)、FY(y) 为F(x,y)的(一维)边缘分布函数，且 FX(x)=F(x,+)， FY(y) =F(+,y)
x j jI / A
(上述性质是一维和二维边缘分布的推广——k维边缘分 布由n维联合分布唯一确定。 ) (6) 设(i1, i2 ,, in )为(1,2,, n)的任意置换(全排列)，则 FX i , X
x j j 2,3,,n
FX n ( xn ) = P( X n xn ) = P( X 1 +, X 2 < +, X n-1 < +, X n < xn ) = FX1 , X 2 ,, X n (+,+,,+, xn ) = lim FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn )
证 FX x PX x P{( X x) (Y )} P{ X x,Y } F x, FY y PY y P{( X ) (Y y )} P{ X ,Y y} F , y
需要讨论多维随机向量的各个随机变量分量，更需要 研究这些分量与多维随机变量整体性质的联系。 从几何角度看，一维Leabharlann Baidu机变量就是第2章讨论的随机 变量，它可看作是直线(一维空间)上的随机点；二维随机
变量可看作是平面(二维空间)上的随机点；三维随机变量
可看作三维空间中的随机点。 由一维到多维的讨论会增添许多新问题，但二维与n 维(n≥3)没有本质上的区别。 本章由随机向量的联合分布与边缘分布的一般概念 入手，然后重点讨论二维离散型和二维连续型随机向量 的联合分布与边缘分布，最后介绍二维随机向量函数的
第三章 随机向量及其分布
§3.1 随机向量的概念及其分布函数
§3.2 二维离散型随机向量
§3.3 二维连续型随机向量
§3.4 二维随机向量函数的分布
许多随机试验的结果ω ，需要用n(n≥2)个的随机变量 X1,X2,…,Xn 同时来描述，这n个的随机变量一起构成随
机向量(二维或多维随机向量)。例如，一次射击的弹着
机向量的统计特性。
定理3.1.1 设(Ω,F,P) 为概率空间，随机向量(X1,X2,…,Xn)的
联合分布函数为
FX1 , X 2 ,,，则 Xn
(1) 0 FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn ) 1，( x1, x2 ,, xn ) R n lim FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn ) = 0，i =1,2,n,
说明：分布函数在点(x1, x2,…, xn)处的值是一个事件的概率， 该 事 件 由 使 得 随 机 向 量 (X1(ω),X2(ω),…,Xn(ω)) 落 入 以 (x1, x2,…, xn)为顶点的半无限区域 (-∞,x1)×(-∞,x2)×…,×(∞,xn)的ω构成。以下定理说明了可用联合分布函数刻画随
定理3.1.1中的四条性质称为随机向量分布函数的特征 性质。 若有定义于Rn上的实函数满足上述四条性质，则能构 造一个概率空间(Ω,F,P)和其上的随机向量(X1,X2,…,Xn)，使
FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn ) = F ( x1, x2 ,, xn )，( x1, x2 ,, xn ) R
x j j 3,,n
，故可有一维，二维， ，n 1维边缘分布。
此外，由联合分布函数的定义可知，联合分布函数 具有对称性，即
FX n , X n-1 ,, X 2 , X1 ( xn , xn-1,, x2 , x1) = FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn )
机向量，它的联合分布函数定义为
FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn ) P(ωΩ : X1(ω) x1, X 2 (ω) x2 ,, X n (ω) xn ) n P ωΩ : {X i (ω) xi},( x1, x2 ,, xn ) R n ,或简记为 i1 n FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn ) P X1 x1， , X n xn P X i xi i1
n
,x + ( x1,+ h,12 x h2 ,, xn + hn ) FX1 , X 2 ,, X n (t1,t2 ,,tn ) 0 ( x1 x2 , n )
定理3.1.1的(1)~(3)易于理解，对于(4)以n=2为例证明。
0 P( x1 < X 1 x1 + h1, x2 < X 2 x2 + h2 ) P( X 1 x1 + h1, X 2 x2 + h2 )-P( X 1 x1, X 2 x2 + h2 ) -P( X 1 x1 + h1, X 2 x2 ) + P( X 1 x1, X 2 x2 ) FX1 , X 2 ( x1 + h1, x2 + h2 )-FX1 , X 2 ( x1, x2 + h2 ) -FX1 , X 2 ( x1 + h1, x2 ) + FX1 , X 2 ( x1, x2 ) x1 + h1 ( FX1 , X 2 (t1, x2 + h2 )-FX1 , X 2 (t1, x2 )) x
(3) FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn )关于每个变元 xi (i =1,2,, n) 右连续，即 FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn ) = FX1 , X 2 ,, X n ( x1 +0, x2 ,, xn ), FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn ) = FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 +0,, xn ), , FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn ) = FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn +0) (4) ( x1, x2 ,, xn ) R 和hi 0，i =1,2,n有
由上述定义可知，FX(x)由F(x,y)中y→+∞唯一确定， 同 样FY(y)由F(x,y)中x→+∞唯一确定。但其逆不一定成立。
一般地，一维边缘分布可由n维联合分布唯一确定： FX1 ( x1) = P( X1 x1) = P( X 1 x1, X 2 < +, X 3 < +,, X n < +) = FX1 , X 2 ,, X n ( x1,+,+,,+) = lim FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn )
点的平面坐标可看作是二维随机向量(X,Y)；气象观测站 观测每天某整点的天气状况，可将温度、湿度、风力和 风向等观测值可看作多维随机向量(X1,X2,…,Xn)；又如 学生体检时的各项检查指标值可看作多维随机向量。
由于同一个随机试验结果的各个随机变量之间一般有
某种联系，因而需要把这些随机变量作为一个整体(即 多维随机向量)来研究。
ω ( X1 (ω), X 2 (ω),, X n (ω))R n 即随机向量是一个取向量值的随机变量的有序集合。
也称随机向量为多维随机变量。 随机向量的统计特性(分布规律)由随机向量的联合 分布函数来刻画。
定义3.1.2 设(Ω,F,P) 为概率空间，(X1,X2,…,Xn)为其上的随
分布。n(n≥3)维的情况可以类推。
§3.1 随机向量的概念及其分布函数
3.1.1 随机向量的定义和联合分布
定义 3.1.1 设(Ω,F,P) 为概率空间，如果Xi为随机变量
(i=1,2,…,n)，则称向量(X1,X2,…,Xn)为随机向量。 说明 随机向量(X1,X2,…,Xn)是基本事件空间Ω到n维实数 空间Rn的一个映射：
x j j 1,2,3,,n-1
即由联合分布可以得到各一维变量(向量的各一维分量) 的边缘分布。
同样，可由随机向量的联合分布得到各二维随机变
量的边缘分布，如
FX1 , X 2 ( x1, x2 ) = P( X1 x1, X 2 x2 ) = P( X1 x1, X 2 x2 , X 3 < +,, X n < +) = FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,+,,+) = lim FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn )
x1 x2 xn
= FX1 , X 2 ,, X n (, ,, ) =1， (2) FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn )关于每个变元 xi (i =1,2,, n) 单增(不减)，即固定x j ( j =1,2,n, j i), 且xi1 xi2时, FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xi1 ,, xn ) FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xi2 ,, xn )
xi
xi i=1,2,n
(可以是x1 ；或x1 ，x2 ； ； 或x1 ,x2 ， ,xn ) lim FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn ) = lim FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn )
定理3.1.1称为柯尔莫哥洛夫存在定理。
n
联合分布与边缘分布关系的讨论：
柯尔莫哥洛夫存在定理告诉我们，随机向量
(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数 FX , X
1 2 ,, X n
( x1, x2 ,, xn )刻画了
随机向量的整体统计特性。 根据整体与各个分量的关系，随机向量每个分量的 统计特性也应当由其联合分布函数完全刻画。
1 1 ( x1,+ h), x2 + h2 ) FX1 , X 2 (t1, t2 ) (x x 1 2
对任意两点(x1, x2), (x1+h1, x2+h2), x1≤x2, h1≥0, h2≥ 0，则
F(x1+h1, x2+h2)-F(x1+h1, x2)-F(x1, x2+h2)+F(x1, x2)≥0
联合分布函数性质的推广：
(5) 对任意1 k n，设A ={i1,i2 ,,ik } I ={1,2,, n}，则 FX i , X
1 i2
,, X i k
( xi1 , xi2 ,, xik ) = lim FX1 , X 2 ,, X n ( x1, x2 ,, xn )
说明随机点落在(阴影)矩形区域里的概率非负。
关于二维随机变(X,Y)的联合
分布函数F(x,y)的说明：
如果将二维随机变量 (X,Y)看成是平面上随机点的 坐 标，则分 布函数 F(x,y) 在 (x,y)处的函数值，就是随机
点 (X,Y) 落 在 右 图 所 示 的 以
(x,y)为顶点而位于该点左下 方的无穷矩形区域内的概率。
由此，可证明n阶差分
,x + ( x1,+ h,12 x h2 ,, xn + hn ) FX1 , X 2 ,, X n (t1,t2 ,,tn ) ( x1 x2 , n )
n P ω Ω : {xi < X i (ω) xi + hi} 0 i1