自动控制原理 第七章

复杂。
12
三.非线性系统Hale Waihona Puke Baidu分析方法
在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、脉 冲过渡函数等概念。 在工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统， 或者非线性不严重的准线性系统，常常采用线性化的方 法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。而对 于包括像继电特性那样根本不存在线性区的非线性特性， 工程上常用相平面方法和描述函数方法进行研究。
• 设系统的微分方程为
2 x 2 n x n x 0
（7-12）
式（7-12）的特征方程为
s 2 n 0
2 2 n
上述特征方程的根为
n n 1
2
式（7-12）所表示的自由运动，其性 质由特征方程根的分布特点所决定。
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取相坐标 x 、 ，式（7-12）可化为
第七章
非线性系统分析
1
主要内容
7-1 非线性问题概述 7-2 常见非线性因素对系统运动特性的影响 7-3 相平面法基础 7-4 非线性系统相轨迹分析 7-5 描述函数 7-6 用描述函数分析非线性系统
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2
基本要求
1.明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系统 中非线性部分、线性部分结构归化的方法。 2.熟练掌握二阶线性方程的相轨迹，正确理解焦点、 节点、中心、鞍点、极限环等概念。 3.熟练掌握由相轨迹计算时间的方法。已知相轨迹 大致画出时间响应曲线的图形。
可能发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，如图 7—5所示，这个周期运动在物理上是可以实现的，通 常把它称为自激振荡，简称自振。
图7-5 非线性系统 的自激振荡
11
④ 线性系统中，当输入量是正弦信号时，
输出稳态分量也是同频率的正弦函数， 可以引入频率特性的概念并用它来表示 系统固有的动态特性。
非线性系统在正弦作用下的输出比较
50
• 图7-36用小圆弧逼近相轨迹计算时间
51
例7-2
• 图示相平面上有 两条封闭的相轨 迹，已知 AB 和 A1 B1均是圆弧的 一部分，试计算 这两条封闭相轨 迹所对应的周期 运动的周期。
2 n
其中
A
x

2 0 2 n
相轨迹如图7－24所示，在相平面上是为一族同心 的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。
32
相轨迹的方向如 图7-24中箭头所示。 相轨迹垂直穿过 横轴。 坐标原点处相轨 迹的斜率不能由该 点的坐标唯一地确 定，这种点叫做奇 点。
图7-24 系统无阻尼运动时的相轨迹
9.熟练掌握运用描述函数法分析系统中是否有周期运动, 判断周期运动的稳定性。
4
简 介
• 非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的 系统。 • 线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系 统也可以理解为不满足叠加原理的系统。
本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函 数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的 一些区别于线性系统的现象。
f ( x, x ) x
（7-9）
（7-11）
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相平面:
（x,x) 的平面叫做相平面。 把具有直角坐标
相轨迹:
描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫 相轨迹。
通常把方程（7－9）称为相轨迹微分方程 式，简称 相轨迹方程。 将式（7－11）的 积分结果称为 相轨迹表达式。
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一、线性系统的相轨迹
43
取不同值时，可在 a 相平面上画出若干不
同的等倾线，在每条 等倾线上画出表示该 等倾线斜率值的小线 段，这些小线段表示 相轨迹通过等倾线时 的方向，从相轨迹的 起点按顺序将各小线 段连接起来，就得到 了所求的相轨迹 。
图7-32
44
极限环
x (1 x ) x x 0
2
1
x
dx 2 (2 x n n x) dt dx x dt
或
2n x n x dx dt x
2
（7-14）
31
（1）无阻尼运动
由方程（7-14），相轨迹方程为：
( 0)
A
x
2
（7-16）
x (t )
2
x (t )
2

2 0
q2t
x(t ) A1e
A1 x0 x0 2
q1t
A2e
A2
x0 x0 1
1 2
1 2
q2t
x(t ) A1q1e
q1t
A2q2e
相轨迹如图7－26所示 。
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图7-27 过阻尼运动的时间响应
坐标原点是一个奇点，
图7-26 过阻尼时的相轨迹
图7-13 图7-12系统的响应
20
根轨迹分析：
图7-14 根轨迹图
若随动系统的方块图如图7—15所示。
图7-15 非线性系统
21
当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散 的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发 散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图7-16中的 曲线2。
图7-16系统的时间响应
• 式中： • a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数 （对于放大元件，也称增益）。
18
粗略地看，饱和特性的存在相当于 大信号作用时，增益下降。
图7-10 饱和特性
图7-11 饱和特性的等效增益
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随动系统的方块图如图7—12所示。
图7-12 非线性系统
当系统输入端加上一个幅 值较大的阶跃信号时，若 放大器无饱和限制，系统 的时间响应曲线如图7-13 中的曲线1；放大器有饱 和限制时的时间响应曲线 如图7-13中的曲线2。
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7-2 常见非线性因素对系统 运动特性的影响
一、不灵敏区
不灵敏区又叫 死区，系统中
的死区是由测量元件的死区、 放大器的死区以及执行机构的 死区所造成的。
图7-6 死区特性
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死区非线性特性的数学表达式如下：
0 | x1 | x2 K x sign x | x | 1 1 1
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1.用 1/ x 曲线计算时间
利用式（7－37）计 算时间，在某些情 况下可直接进行积 分运算 。
图7-37
48
2.用小圆弧逼近相轨迹计算时间
• 在小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆 心位于实轴上的一系列圆弧来近似的。
如图7－36AD段，可用
x 轴上的P、Q、R点为圆心，以
PA
、
QB
、
RC 为半径的小圆弧来逼近，
在图7-33中，出现了 一种孤立的简单的封 闭相轨迹。这种相轨 迹称为稳定的极限环。
图7-33
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图7-34 各种类型的极限环
46
三、由相平面图求时间解
• 相轨迹上坐标 x1 点移动到 的时间，可按下式计算
x2
点所需
t2 t1
x2
x1
dx x
（7-32）
这个积分可用通常近似计算积分的方法求出， 因此求时间解的过程是近似计算的过程。
不稳定的节点。
图7-29
39
2 n x x 0 x
2 n
• 此时相轨迹如图 7-30所示。奇点称为
鞍点
该奇点是不稳定的 。
图7-30 斥力系统的相轨迹
40
图7-31 特征根和奇点的对应关系
41
二、相轨迹作图法 1.等倾线法
设系统微分方程为 化为 令
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线 上的点时所取的斜率都是 a 。
34
• 相轨迹如图7－25所示。 从图中可以看出，欠阻 尼系统不管初始状态如 何，它经过衰减振荡， 最后趋向于平衡状态。 坐标原点是一个奇点， 它附近的相轨迹是收敛 于它的对数螺旋线，这 种奇点称为
稳定的焦点。
图7-25 系统欠阻尼运动时的相轨迹
35
（3）过阻尼运动
这时方程（7－12）的解为
1
4.对简单的非线性系统能熟练写出相轨迹的解析表 达式。能通过等倾线方法作出相轨迹。
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3
5. 对分段线性的非线性系统，能决定开关线,写出分区 域相轨迹的方程式。
6.对具有外作用和或具有速度反馈的情况能合适地选取 相坐标作出相轨迹图。
7.正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概念。
8.了解描述函数建立的一般方法，明确几种典型非线性 特性负倒描述函数曲线的特点。
这样就有
t AD t AB tBC tCD t AB tBC tCD
49
•
PA sin 令 x
x OP PA cos
• 代入式（7-32）得
t AB
B
PA sin PA sin
A
d A B
（7-33）
AB
9
②线性系统自由运动的形式与系统的初
始偏移无关。
非线性系统则不一样，自由运动的时
间响应曲线可以随着初始偏移不同而有 多种不同的形式。
图7-4
非线性系统在不同初 始偏移下的自由运动
10
③ 线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在
临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有
这条曲线就称为
, x) f (x a x
f ( x, x ) x dx f ( x, x) dx x
其中
a 为某个常数
等倾线。
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例子
• 微分方程
或
x x0 x x x dx
dx x
等倾线是直线，它的方程为：
1 x x 1 a
这种奇点称为
稳定的节点。
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（4）负阻尼运动
1 0
• 相轨迹图如图7－28所示， 此时相轨迹仍是对数螺 旋线，但相轨迹的运动 方向与图7－25不同，随 着 t 的增长，运动过程 是振荡发散的。这种奇 点称为
不稳定的焦点 。
图7-28
38
1
• 系统的相轨迹图 如图7-29所示， 奇点称为
式中
1 x1 0 signx1 1 x1 0
15
图7-8 斜坡输入时 的系统输出量
图7-7 包含死区的非线性系统
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二、饱和
•饱和特性也是系统中最常见的一种 非线性特性。
图7-9 部件的饱和现象
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理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
x1 a Ka x2 Kx1 | x1 | a Ka x a 1
图7-20 直流电动机的方框图
图7-21 摩擦力矩示意图
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图7-22
小功率随动系统方框图
图7-23 低速爬行现象
27
7-3 相平面法基础
• 相平面法
是一种求解二阶常微分方程的图解方法。
,
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
令
则
x1 x x 2 x dx2 f ( x1 , x2 ) dx1 x2
7
图7-2 电磁继电器的工作原理和输入-输出特性
8
二.非线性系统和线性系统有不同的 运动规律
① 在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的 结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统 特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没 有关系。 对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概 念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。 非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及 参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。
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三、间隙
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控 制系统中的一种常见的非线性因素。
图7—17 齿轮传动中的间隙
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间隙特性的典型 特性如图7-18所示。
•数学表达式为
图7—18 间隙非线性特性
x2 K x1 bsignx1 ， | x 0 ，| 2
图7-24的奇点(0,0) 通常称为 中心
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（2）欠阻尼运动
方程（7-12）的解为
0 1
sin(d t )
（7-17）
2
x(t ) Ae
其中
nt
A
x0
2
x0 x0n d
x0 x0n arctan x0d
5
7-1
非线性问题概述
一、实际系统中的非线性因素
图7-1 一些常见的非线性特性
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• 除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因 素外，有时为了改善系统的性能或者简化系统 的结构，人们还常常在系统中引入非线性部件 或者更复杂的非线性控制器。
• 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件， 最简单和最普遍的就是继电器。
x2 x1 | b K x2 x1 | b K
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图7-19 间隙特性的输入-输出波形
• 间隙对系统性能的影响也很复杂，一般 说来，它会增大系统的静差，使系统波 形失真，过渡过程的振荡加剧。
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四、摩擦
摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个 很重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看， 相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统 的静差，这一点和死区的影响相类似。