8-1-2 交通流参数的负二项分布

k r 1 r 1 k P( x k ) f (k ; r, p ) p * r 1 * p * (1 p ) k r 1 r k r 1 r k r 1 * p * (1 p ) C k r 1 * p * (1 p )
P( X k ) p * C
k 1 r k 1
p
k 1
(1 p)
k 11
r
P( X k 1) p * C
两式相除，得
k 11 k 11r
p
(1 p)
r
2 k 2 r p * Ckk p ( 1 p ) r 2
1 Ckk P( X k ) k r 1 r 1 k 2 * p *p P( X k 1) Ck r 2 ( r 1) * (k 1)
• 解：根据表中数据，可作出虚线散点图:
70 60 50 40 30 20 10 0
辆
到达车辆数-到达频次
次
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
• 解：根据表中数据，可知： 观测频数：N f i 489
i 0
12
样本均值： x
___
x
i 0 12 i 0
12
k r 1 r 1 k Nb( r, p ) f ( k ; r, p ) p * r 1 * p * (1 p )
3、交通参数的负二项分布：
在固定观测间隔内，到第r次观测到车辆到达时，车辆到达 的次数r-1(车辆没到达的次数k)的概率。
P( X k ) p * C
1 49 k 48 Ck49 * 0 . 843 * ( 1 0 . 843 ) C448 * 0.84349 * (1 0.843 )440 491
k n r f i r 489 49 440
i 1
n
负二项分布 negative binomial distribution
对于任意的实数r>0, 称
r r l Nb(l; r , b) p ( q) , l 0,1, 2, l
为负二项分布
,
2、负二项分布的公式
对于任意正整数r=1,2……，非负整数k=0,1,2……，0<p<1，称
k r 1 r 1 k P( x k ) f (k ; r, p ) p * r 1 * p * (1 p ) 服从负二项分布。
式中：k——终止试验时的失败次数；r-1 ——终止试验前成功的次 数；k+r-1 ——终止试验前试验的总次数；k+r——实验的总次数； p——每次实验时成功的概率。
i
fi
i
f
3188 6.519 489
样本方差： S
2
2 ( x x ) * fi i i 0
12
___
N 1
S2
3774 .065 7.734 489
6.519 样本期望与方差比值 ： ___ 1.187 7.734 x
大于1
∴认为可以用负二项分布拟合此车流的到达流量分布。
第八章 交通流理论
第一节 交通流参数的统计分布 一、分析交通流参数分布的作用 二、交通参数及其分布
三、离散型分布的基础
四、交通参数的二项分布
五、交通参数的负二项分布
本节需要掌握：
一、概念： 1_负二项分布 2_ 3_ 4_
二、规律：
负二项分布的应用
五、交通参数的负二项分布
1、负二项分布的来源：统计学上的一种离散型概 率分布，是二项分布在特定条件下的表现形式。 “负二项分布”与“二项分布”：
记为： x ~ Nb(r, p)
，其概率密度函数为f(k;r,p)。
k r 1 P k r 1 r 1 k C k r 1 k r 1 C r 1 k k r 1 k r 1 k r 1 Pk * Pr 1
P( X k ) p * Cii r p i (1 p) r
i 1 k 2
（2）若不需要指明第k-1辆刚好是第r+k-1次观测时到 达，而是在观测中随机到达，则计算公式同二项分布：
P( X k ) Ciir p i (1 p) r
i 1 k 1
当处于情况（1）时，到பைடு நூலகம்车辆数大于k的概率：
P( X k ) 1 p * C p (1 p)
当k=0时， P( X 0) (1 p)
i 1 i i r i
k 2
r
r
（3）递推公式，在情况（1）中， k表示给定时间内到 达的车辆数，当k≥1时， r=1,2……，非负整数 k=0,1,2……，0<p<1
r 1 k r 1
p (1 p) , k 0,1,2......
k
r 1
式中：p—单位时间内车辆的到达概率， 0<p<1 ；r—观测间隔内车 辆的到达次数，r为正整数；k—观测间隔内车辆没到达的次数。
（1）参数也可以反过来，比如用k表示给定时间内到 达的车辆数，r表示没到达的次数，且第k-1辆刚好是第 k-1+r次观测时到达，则到达车辆数小于k的概率：
k r 1 P( X k ) * p * P( X k 1) ( r 1) * (k 1)
（4）负二项分布拟合数据的条件 当出现以下情况时，观测到达车辆数据的方差较大，样 本方差与平均值的比值明显大于1，此时，可用负二项分 布来描述车辆的到达情况。 1)观测时间包括高峰和低峰时间，交通量变化大； 2)计数间隔小，交通量的变化较大。 2 s D( X ) r (1 p ) r (1 p ) 1 ( ) /( ) 1 __ 1 2 E( X ) p p p x
P (1 / 6) 3
若要在第四次掷骰时，掷到第三次一，则之前三次之中要有刚好 两次掷到一，在三次掷骰中掷到2次1的概率为：
3 * (5 / 6) * (1 / 6) 2 P 3 1
第四次掷骰要掷到一，要将前面的概率再乘（1/6）：
3 1 1 * (5 / 6) * (1 / 6) 2 P (1 / 6) * 3 1
“二项分布”：在n次独立试验中，成功次数k(或者 说失败次数n-k)的分布概率，k的分布是任意的； “负二项分布”：在n次独立实验中，第n次实验刚 好是第r次成功时，成功次数r-1(或者说失败次数k)的 分布概率。 一般的负二项分布公式中，n=k+r，k是失败次数， r是成功次数，p是每次实验时的成功概率。
• [例]在某段公路上，观测到达车辆数，以5min为计数间 隔，结果如下表，试求5min内到达车辆数的分布并检验 。
序号 到达车数 观测频数 1 0 3 2 1 3 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 30 41 61 69 46
序号 8 9 10 11 12
到达车数 7 8 9 10 11
观测频数 31 50 60 65 30
__ 2
式中， x , s 分别为样本的数学期望和方差；p—每次试验时 事件成功的概率；r—最大的成功次数。
__
2
D( X ) r (1 p ) r (1 p ) 1 ( ) /( ) 1 2 E( X ) p p p
[例]若我们掷骰子，掷骰是独立试验，之前的结果不影响随后的结 果。掷到一即视为成功，则每次掷骰掷到一的成功率p=1/6。 例如要掷出三次一，所需的掷骰次数属于集合{ 3, 4, 5, 6, ... }。掷 到三次一的掷骰次数是负二项分布的随机变量。要在第三次掷骰时， 掷到第三次一，则之前两次都要掷到一，其概率为：
__ __ x 2 由p 2 , r x /( s x )， 计算得 ： s
__
2
x 6.519 x 6.519 2 p 2 0.843, r 49 .25 49 __ s 7.734 s 2 x 7.734 6.519
__
__ 2
• p：事件成功的概率；r：事件成功的最大次数。
∴在k+r-1次独立实验中，成功了r-1次的概率=失败了k 次的概率。
3、负二项分布的期望和方差：
r (1 p ) r (1 p ) E( X ) ,Var( X ) D( X ) p p2
__
x x 若已知期望与方差，则参数的估计值为： p s 2 , r __ 2 s x