(VR虚拟现实)GARCH模型与应用简介最全版

（VR虚拟现实）GARCH 模型与应用简介

GARCH模型与应用简介

(2006,5)

0.前言 (2)

1.GARCH模型 (7)

2.模型的参数估计 (16)

3.模型检验 (27)

4.模型的应用 (32)

5.实例 (42)

6.某些新进展 (46)

参考文献 (50)

0.前言(随机序列的条件均值与条件方差简介)

考察严平稳随机序列{y t},且E|y t|<∞.记其均值Ey t=μ, 协方差函数γk=E{(y t-μ)(y t+k-μ)}.其条件期望(或条件均值): E(y t∣y t-1,y t-2,…)≡ϕ(y t-1,y t-2,…),(0.1)

依条件期望的性质有

Eϕ(y t-1,y t-2,…)=E{E(y t∣y t-1,y t-2,…)}=Ey t=μ.(0.2)

记误差(或残差):

e t≡y t-ϕ(y t-1,y t-2,…).(0.3)

由(0.1)(0.2)式必有:

Ee t=Ey t-Eϕ(y t-1,y t-2,…)

=Ey t-Ey t=0,(0-均值性)(0.4)

及

Ee t2=E[y t-ϕ(y t-1,y t-2,…)]2

=E{(y t-μ)-[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ]}2(中心化)

=E(y t-μ)2+E[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ]2

-2E(y t-μ)[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ]

=γ0+Var{ϕ(y t-1,y t-2,…)}

-2EE{(y t-μ)[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ]∣y t-1,y t-2,…}

(根据Ex=E{E[x∣y t-1,y t-2,…]})

=γ0+Var{ϕ(y t-1,y t-2,…)}

-2E{[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ]E[(y t-μ)∣y t-1,y t-2,…]}

(再用E[x⨯ψ(y t-1,y t-2,…)∣y t-1,y t-2,…]

=ψ(y t-1,y t-2,…)E[x∣y t-1,y t-2,…];

并取x=(y t-μ),ψ(y t-1,y t-2,…)=[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ];

由(0.1)(0.2)可得)

=γ0+Var{ϕ(y t-1,y t-2,…)}-2E[ϕ(y t-1,y t-2,…)-μ]2

=γ0-Var{ϕ(y t-1,y t-2,…)}.(0.5)

即有:

γ0=Var(y t)=Var(ϕ(y t-1,y t-2,…))+Var(e t).(0.6)

此式表明,y t的方差(=γ0)可表示为:回归函数的方差(Var(ϕ(y t-1,y t-2,…)),与残差的方差(Var(e t))之和.

下边讨论e t的条件均值与条件方差.

为了符号简便,以下记F t-1={y t-1,y t-2,…}.

首先考虑e t的条件均值:

E(e t∣F t-1)=E{y t-ϕ(y t-1,y t-2,…)∣F t-1}

=E(y t∣F t-1)-E{ϕ(y t-1,y t-2,…)∣F t-1}

=ϕ(y t-1,y t-2,…)-ϕ(y t-1,y t-2,…)

=0.(0.7)

再看条件方差:

Var(e t∣F t-1)=E{[e t-E(e t∣F t-1)]2∣F t-1}

=E{e t2∣F t-1}(用(0.7)式)

≡S2(y t-1,y t-2,…).(0.8)

此处S2(y t-1,y t-2,…)为条件方差函数.注意,e t的条件均值是零,条件方差是非负的函数S2(y t-1,y t-2,…),它不一定是常数!

依(0.3)式,平稳随机序列{y t}总有如下表达式:

y t=ϕ(y t-1,y t-2,…)+e t,(0.9)

其中ϕ(y t-1,y t-2,…)被称为自回归函数,不一定是线性的.{e t}可称为新息序列,与线性模型的新息序列不同,除非{y t}是正态序列.顺便指出,满足(0.4)式的{e t}为鞅差序列,因为对它的求和是离散的鞅序列.由于{y t}是严平稳随机序列,且E|y t|<∞,上述推演是严格的,从而{e t}是严平稳的鞅差序列.当{y t}有遍历性时,它也是遍历的.此处所涉及的抽象概念可不必深究.

现在将e t标准化,即令

εt≡e t/S(y t-1,y t-2,…).

则有,

E(εt∣F t-1)=E[e t/S(y t-1,y t-2,…)∣F t-1]

={1/S(y t-1,y t-2,…)}E[e t∣F t-1]

=0.(依(0.7)式)(0.10)

以及

E(εt2∣F t-1)=E[e t2/S2(y t-1,y t-2,…)∣F t-1]

={1/S2(y t-1,y t-2,…)}E[e t2∣F t-1](用(0.8))

={S2(y t-1,y t-2,…)}/{S2(y t-1,y t-2,…)}

=1.(a.s.)(0.11)

由此可见,{εt}也是平稳鞅差序列,与{e t}相比,{εt}的条件方差为常数1.于是(0.9)式可写为:

y t=ϕ(y t-1,y t-2,…)+S(y t-1,y t-2,…)εt,(0.12)

此式可称为条件异方差自回归模型,所谓条件异方差就是指:条件方差S2(y t-1,y t-2,…)不为常数.请注意,条件异方差自回归模型与下文中的自回归条件异方差模型是不同的概念!

*还有一点很重要,如果(0.9)模型具有可逆性,那么,

Var(e t∣F t-1)=Var(e t∣y t-1,y t-2,…)

=Var(e t∣e t-1,e t-2,…)

≡h(e t-1,e t-2,…).(0.13)

因此,模型(0.12)式又可些成

y t=ϕ(y t-1,y t-2,…)+h1/2(e t-1,e t-2,…)εt.(0.14)

请注意,模型(0.12)(0.14)式是

普遍适用(或称万用)的模型!