离散数学第五章 递归函数论-数论函数和数论谓词

例1 (p56) x异于0且x为平方数
解：记A: x异于0. A的特征函数为 Nx. 记B: x为平方数, 并记
y=x
.
[√x ]2
B为真时, y=0, B的特征函数为 N2y.
由定理1知, A B 的特征函数为： max(Nx, N2y)=N2(Nx+N2y)
例2 (p56) x2且由a除尽x可推出a=1或a=x

可计算性理论的计算模型
1) 2) 3) 4) 5) Turing机 递归函数 λ演算 POST系统 正则算法
可计算函数、不可计算函数
例1
g (n)
n
表示取自然数n的平方根的整数部分。 将n依次与12，22，…作比较总可求得g(n)的值，所 以g(n)是可计算的。
例2
0 g ( n) 1
常用的数论函数
• I(x)函数值与自变量的值相同，称为幺函数。
• Imn(x1，…,xn，…，xm)= xn,即函数值与第n个自变元
的值相同，此函数称为广义幺函数。
• O(x)=0即函数值永为0，称为零函数。
• S(x)=x+1，此函数为后继函数。
特别地，把广义幺函数、零函数和后继函数称 为本原函数，它们是构造函数的最基本单位。


x为质数
x>7且y为平方数
特征函数
定义：设A(x1，x2，…，xn)是一个含有n个变量的语 句，f(x1，x2，…，xn)是一个数论函数，若对 于任何变元组均有：
• A(x1，…，xn)为 真时，f(x1，…，xn)=0； • A(x1，…，xn)为 假时，f(x1，…，xn)=1。
则 f(x1，…，xn)是语句A(x1，…，xn)的特征 函数， 记为 ct A(x1，x2，…，xn)。
目录（数理逻辑）
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 命题演算基础 （6学时） 命题演算的推理理论（4学时） 谓词演算基础（5学时） 谓词演算的推理理论（5学时） 递归函数论（4学时）
递归函数——可计算性理论
递归函数——数论函数，是以自然数为研究对 象，定义域和值域均为自然数。
它为可计算函数找出各种理论上的、严密的类 比物，因此，递归函数又称为可计算性理论。
定理2 (p55)
如果有一函数f(x1，…，xn)满足下列条件： A(x1，…，xn)为真当且仅当f(x1，…，xn)=0 则N2 f(x1，…，xn)为语句A 的特征函数。
此时, 把函数f(x1，…，xn)称为准特征函数。
定理2 (p55) 如果有一函数f(x1，…，xn)满足下列条件：
A(x1，…，xn)为真当且仅当f(x1，…，xn)=0
可计算性理论的研究对象
判定问题 ——判定方程是否有解

可计算函数——讨论一个函数是否可计算，建 立了原始递归函数、图灵机等许多数学模型判 定一个函数是否属于可计算函数
计算复杂性——讨论NP=P?问题，即非确定型 多项式（Nondeterministic Polynomial）可解问 题是否存在时间和空间复杂度是多项式的有效 算法
受限全称量词、受限存在量词
x n
A( x)
表示对于任何0到n之间的一切x均使得A(x)成立。 此量词称为受限全称量词。
表示对于任何0到n之间至少有一个x使得A(x)成 立。此量词称为受限存在量词。
x n
A( x)
定理：设A(x)为任意一个含有x的语句，则有
ct A( x) maxctA(0), ctA(1),, ctA(n) x n N 2 ctA(0) ctA(1) ctA(n)
ct A( x) minctA(0), ctA(1),, ctA(n) x n ctA(0)ctA(1) ctA(n)
第五章 递归函数论
5.1 数论函数和数论谓词 5.1.1 数论函数 5.1.2 数论谓词和特征函数 5.2 函数的构造
二、简单语句的特征函数
语句 特征函数
x≠0
x=0 x为y的倍数 x≤y x＜y
Nx
N2 x N2 rs(x，y) N2(x
.
y)
.
N2((x+1)
y)Baidu Nhomakorabea
二、简单语句的特征函数
语句 特征函数
x=0
x≠0 x=a Nx
N2 x
N2(x .. a) N(x .. a)
N2(dv(x,y)
..
x≠a
x与y互质
定理1 (p55) 任何一个语句A 均有唯一的特征函数
证明：
(1) 存在性：对于任何一个语句A，恒可以如上定义一个函数
f(x1，…，xn)，此函数必为语句A的特征函数，故 存在性得证。
(2) 唯一性：设f 和g为语句A的两个特征函数，由上定义知：
当A(x1，…，xn)为真时, f(x1，…，xn)= g(x1，…，xn)=0 当A(x1，…，xn)为假时, f(x1，…，xn)= g(x1，…，xn)=1 再由函数的相等性知， f(x1,…,xn)= g(x1,…,xn)， 即语句A特征函数是唯一的。
x x
.
..
指x与y的和. 指x与y的积. y 指x与y的算术差, 即xy时,其值为x减y,否则为0. y 指x与y的绝对差,即大数减小数.
常用的数论函数
[
x
]
指x的平方根的整数部分。
[x/y]
rs(x,y) dv(x,y) lm(x,y)
指x与y的算术商。
指y 除x的余数，约定y=0时， rs(x,0)=x。 指x与y的最大公约数,约定xy=0 时,其值为x+y。 指x与y的最小公倍数,约定xy=0 时,其值为0。
1)
三、复合语句的特征函数
定理1：设A，B为任意两个语句，则有 ctA=1 ctA=NctA
ct(AB)=ctA ctB=min(ctA，ctB)
ct(AB)= N2(ctA+ctB)=max(ctA，ctB)
ct(AB)= ctB NctA
ct(AB)= ctActB
Ny+N2y=1
第五章 递归函数论
5.1 数论函数和数论谓词 5.1.1 数论函数 5.1.2 数论谓词和特征函数 5.2 函数的构造
一、数论谓词和特征函数
定义：数论谓词是指以自然数集为定义域以真假为 值域的谓词。 定义：由数论谓词利用联结词和量词构成的式子称 为数论语句。
数论语句例子
2为质数 8>7且9为平方数
常用的数论函数
• D(x)指x的前驱，称为前驱函数。
当x=0时，其值为0，x>0 时，其值为 x-1。
• Ca(x)=a，即函数值永为a，这个函数称为常值 函数。
常用的数论函数
1 Ny 0
0 N y 1
2
当y 0 当y 0
当y 0 当y 0
N(Ny)=N2y N3y=Ny
则, N2 f(x1，…，xn)为语句A 的特征函数。 证明： 当A(x1，…，xn)真时，由于f(x1，…，xn)=0，
所以
N2 f(x1，…，xn)=0；
当A(x1，…，xn)假时，由已知条件知：
f(x1，…，xn)0，所以 N2 f(x1，…，xn)=1 由特征函数的定义知：N2 f(x1，…，xn)为语句 A(x1，…，xn)的特征函数。
的展式中有n个连续的8
否则
因为π的展式是一个无穷序列，要计算上述函数可 能是一个无限过程。故函数为不可计算函数。
第五章 递归函数论
5.1 数论函数和数论谓词 5.1.1 数论函数 5.1.2 数论谓词和特征函数 5.2 函数的构造
数论函数
定义：数论函数是指以自然数集为定义域及值域的 函数。 常用的数论函数（其中x，y均为自然数域中的变元）： x+y xy
解：令A表示“x2”，其特征函数为N2(2 x) B表示“a除尽x”，其特征函数为N2rs(x，a) C表示“a=1”，其特征函数为N2(a 1) D表示“a=x”，其特征函数为N2(a x) 原句翻译为公式： A(B(CD)) 其特征函数为： ct(A(B(CD)))= N2(ctA+ctCctDNctB) 于是原句的特征函数为： N2(N2(2 x)+ N2(a 1)N2(a x)Nrs(x，a)) 即 max(N2(2 x), N2(a 1)N2(a x)Nrs(x，a))