塑性成形的刚塑性有限元方法概述

塑性成形的刚塑性有限元方法概述

徐小波

摘要：总结了国外有关塑性成形的刚塑性有限元方法的研究现状以及刚塑性有限元法的概述和基本理论。指出三维成形有限元模拟在工业设计生产中具有广泛的应用前景。

关键词：有限元法塑性成形数值模拟

一、引言

21世纪的塑性加工产品向着轻量化、高强度、高精度、低消耗的方向发展。塑性精密成形技术对于提高产品精度、缩短产品交货期、减少或免除切削加工、降低成本、节省原材料、降低能耗，当前的生产的发展，除了要求锻件具有较高的精度外，更迫切地是要解决复杂形状地成形问题，同时还要不断提高锻件地质量、减少原料的消耗、提高模具寿命，促使降低锻件成本、提高产品的竞争能力。

塑性加工问题的研究方法主要有三种：理论解析研究方法、试验研究方法和数值模拟研究方法。这几种方法中，理论解析法突出的优点是求解直接，能给出力学量与参数间的函数全局关系，对揭示变形的力学本质和指导实践有重要意义。但这种方法只能求解简单的或经过简化的问题，对于复杂问题，求解复杂、难度大。

试验研究方法在理论解析与数学手段尚不完善的情况下，是一种不可缺少的研究方法；结果可靠，常作为理论解析与数值模拟的验证或对比数据；此外，试验研究可以发现新现象、新规律。然而，试验研究的局限性在于对复杂成形过程的研究有时试验手段与试验方法无法实现或难以达到要求；另外，耗资大、周期长、工作量大，为此，试验方法的应用存在严重的局限性，并且优化显得特别重要。

数值模拟的方法，克服了理论解析法求解复杂问题的困难，能减少试验工作量，近年来得到很大的发展。特别是基于变分原理的有限元法，由于其单元形状的多样性与方法本身的特点，原则上可以运用于分析任何材料模型、任意边界条件、任意形状的零件的塑性成形过程，得到广泛的应用。

二、刚塑性/刚粘塑性有限元法概述

塑性有限元法可以分为流动性塑性有限元（包括刚塑性有限元和刚粘塑性有限元法）和固体塑性有限元（包括小变形弹塑性有限元和大变形弹塑性有限元）两大类。

弹塑性有限元法是1967年由Marcal和King首先提出的，1968年山田嘉昭根据屈服准则的微分形和法向流动法则，推导出弹塑性应力一应变矩阵。弹塑性有限元的主要优点是考虑弹性变形和塑性变形的相互联系，不仅可以计算工件的变形、应力和应变的分布以及变形力等信息，而且可以有效的处理卸载问题，计算残余应力、残余应变和回弹。因此，弹塑性有限元宜于处理板料成形等问题。但是为了保证计算精度和解的收敛性，每一次加载步不能过大，以便只有很少的单元达到屈服状态。这种以小变形为理论基础的弹塑性有限元处理变

形较大的塑性问题时，所需要的计算时间很长，并且随着变形的逐步增大会出现明显的误差。多年来国外学者一直致力于大变形的弹塑性有限元研究，Hibbit等在1970年首先提出了建立在有限元变形理论基础上的大变形有限元列式，Osias和McMeeking等在20世纪70年代中期分别采用Euler描述法建立了大变形有限元列式。此后大变形弹塑性有限元法不断发展，解决了塑性加工中的许多实际问题，但是仍有许多工作有待进一步完善。

针对弹塑性有限元法存在的问题，Lee和Kobayashi于1973年提出了刚塑性有限元法。该方法采用刚塑性材料模型，忽略了材料的弹性变形部分。虽然该方法也基于小应变的本构关系，但它不是像标准的弹塑性有限元法那样采用应力、应变增量形式来求解，因此，每一载荷步长可以取得大一些，从而减少计算时间，这样就克服了弹塑性有限元的不足。但是，刚塑性有限元法不能确定刚性区的应力、应变分布，也不能处理卸载问题。在锻造、挤压和拉拔的体积成形问题中，坯料的塑性变形量很大，弹性变形量相对比较小，同时回弹对锻件的精度影响不大。因此，用刚塑性有限元法模拟体积成形过程是比较适宜的。金属在高温或某些应变速率敏感的材料在常温条件下表现出的材料粘性，对材料塑性变形规律有较大影响，在有限元模拟中必须加以考虑。Zienkiewicz于1972年提出了粘塑性材料有限元法，进一步扩展了有限元方法在金属体积成形过程中的模拟作用。

三、刚塑性/刚粘塑性有限元法的基本理论

1．基本假设

在研究大变形金属塑性成形问题时，将金属坯料视为刚塑体，即把变形中的某些过程理想化，以便于数学上进行处理。并将坯料金属材料作如下假设：

（1）不考虑材料的弹性变形；

（2）材料均质且各向同性；

（3）变形过程中，材料体积保持不变；

（4）不考虑体积力；

（5）材料的变形服从Levy-Mises流动理论；

（6）加载条件给出刚性区与塑性区的界限。

2．塑性变形的边界值问题

在固体力学中塑性变形问题的求解可以看成一个边界值问题进行处理。刚塑性/刚粘塑性变形的边界值问题可以描述如下：

式中，S

F 为给定力面，为力面上的给定面力，S

U

为给定速度面，为速度面上的给定速度。

3．变分原理

为了确定塑性加工过程的力能参数、变形参数以及应力和应变在工件内的分布，必须在一定的初始和边界条件下求解有关的方程组，也就是解塑性加工力学的边值问题。

Markov变分原理是求解塑性力学边值问题的基础可表达为：设变形体的体积为V，表面

积为S，在力面S

F 上给定面力F

i

，在速度面S

U

给定速度，则在满足边界条件、协调方程和体

积不可压缩条件的许可速度场中，真实解必然使泛函

（刚塑性材料）（式3.2）

或（刚粘塑性材料）（式3.3）

取驻值，(式3.3)中为功能函数，其表达式为：

由塑性力学的基本方程可知，对金属的塑性变形，其解必须满足边界条件和体积不变条件，然而在实际求解过程中要找到同时满足这两个约束条件的速度场是很困难的。因此在采用变分原理求解金属塑性加工问题时，常通过某种方法将体积不变条件引入到泛函表达式中，作为对体积变化的一个约束项，同时得到一个新的泛函。

体积不变条件处理方法的不同，引入到泛函中的约束项就不相同，得出的刚塑性/刚粘塑性有限元求解方法和求解列式也不相同，其中主要有Lagrange乘子法、材料体积可压缩法和罚函数法。

4．刚塑性有限元列式

从数学角度来讲，有限元是解微分方程的一种数值方法。它的基本思想是：在整个求解区域内要解某一微分方程是很困难的，先用适当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假定一个满足微分方程的简单函数作为解，求出单元内各点的解；然后再考虑各个单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量。因此，刚塑性有限元的求解过程同样须经离散化处理，在单元分析的基础上集合成总体方程组；不同的是刚塑性有限元法集合成的总体方程组为一非线性方程组，还需线性化处理并采用迭代方法求解。

5．非线性问题的求解处理

线弹性力学基本方程的特点是：几何方程的应变和位移的关系是线性的；物性方程的应力和应变的关系是线性的；建立于变形前状态的平衡方程也是线性的。但是在很多重要的实际问题中，上述线性关系不能保持。例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷达到一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。又如长期处于高温条件下工作的结构，将发生蠕变变形，即在载荷或应力保持不变的情况下，变形或应变仍随着时间的进展进而继续增长。

上述现象都属于材料非线性范畴内所要研究的问题。材料非线性问题可以分为两类。一类是不依赖于时间的弹性问题，其特点是当载荷作用以后，材料变形立即发生，并且不再随时间而变化。另一类是依赖于时间的粘(弹、塑)性问题，其特点是载荷作用以后，材料不仅立即发生变形，而且变形随时间而继续变化，在载荷保持不变条件下，由于材料粘性而使应力衰减称之为松弛。由于非线性问题的复杂性，利用解析方法能够得到的解答是很有限的。