数列极限的描述性定义 对于数列

数列极限的描述性定义对于数列{x n}，如果当n无限增大时，x n无
限接近于某一常数a，那么就称数列{x n}收敛于a,或称常数a为数列
{x n}的极限，记作
x n=a或x n→a(n→+∞)
lim
n→+∞
数列极限的分析定义对于数列{x n}，如果存在常数a，对于任意给定
的正数ε（无论多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式
x n−a<ε都成立，那么就称数列
x n收敛于a，或称常数a为数列x n的极限，记作
x n=a或x n→a(n→+∞)
lim
n→+∞
注：①从几何意义上看，“当n>N时，有x n−a<ε”表示：所有下
标大于N的项x n都落在邻域U（a,ε）之外，至多只含有数列x n的
有限项。

②在数列极限的定义中，若满足条件的常数a确实不存在，则称
数列x n不收敛，或称数列x n为发散数列，也称数列极限
lim n→+∞x n不存在。

数列极限的唯一性若数列x n收敛，则其极限是唯一的。

收敛数列的有界性若数列x n收敛，则数列x n是有界的。

数列的有界性仅仅是数列收敛的必要条件，而非充分条件。

收敛数列的保号性设lim n→+∞x n=a，若a>0(或a<0),则存在正整数
N，当n>N时，都有x n>0(或x n<0).
推论 1 若lim n→+∞x n=a，且数列x n从某一项起有x n≥0（或
x n≤0），则a≥0（或a≤0）.
收敛数列与其子数列的关系数列x n收敛于a的充分条件是其任一
子数列也收敛于a。

数列极限的四则运算法则对于数列x n和y n，若lim n→+∞x n=a，
}（y n≠0，b≠0）
lim n→+∞y n=b，,则数列{x n±y n}，{x n∙y n}和{x n
y n
都收敛，且有
①
②
③
特殊地，对于常数k，有
设函数f x在[a,+∞）上有定义。

如果存在常数A,对于任意给
定的正数ε(无论多么小)，总存在正实数M（M≥a），使得当x>M时，
有f x−A<ε成立，则称常数A为函数f x当x趋于+∞时的极
限，记作lim n→+∞f x=A或f x→A(x→+∞)
即lim
f x=A↔∀ε>0,∃M>0,使得当x>M时，有f x−A<ε
n→+∞
设函数f x在点x0的某个去心邻域内有定义。

如果存在常数A，
对于任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正数δ，使得当
0<x−x0<δ时，有f x−A<ε成立，则称常数A为函数
f x当即lim
f x=A↔
n→+∞
∀ε>0,∃M>0,使得当x>M时，有f x−A<εx趋于x0时的极限，记作
f x=A或f x→A(x→x0)
lim
n→x0
即lim
f x=A↔∀ε>0,∃δ>0,使得当0< x−x0<δ时，有 f x −A <ε
n→x0
（只要求函数f x在x0的某一去心邻域内有定义，而一般不考虑它在点x0处是否有定义，或者取什么值）
如果当x从左侧（右侧）趋于x0时，函数f x无限趋近于常数A，则称常数A为函数f x在x→x0时的左极限（右极限），记为
lim x→x
−f(x)=A(lim x→x0+f(x)=A或f(x0+)=A).
即
左极限和右极限统称为单侧极限。

函数f x在x→x0时的极限存在的充要条件是其左右极限都存在而且相等，即
f x存在，则该极限是唯一的。

函数极限的唯一性若极限lim x→x
f x存在，那么函数f x在局部范函数极限的局部有界性若lim x→x
围内就是有界的，即存在常数M和δ>0，使得当0<x−x
<δ时，
有 f（x）≤M
f x=A，且A>0（或A<0）,那么就函数极限的局部保号性若lim x→x
存在常数δ>0，使得当0<x−x0<δ时，有f(x)>0(或者f(x)<0). 推论如果x0的某一去心邻域内有f x≥0或f x≤0,且lim x→x
f x=A,那么A≥0(或A≤0)。

海涅定理设函数f x在点x0的某个去心邻域内有定义，则
f x存在的充要条件是对任何含于上述x0的去心邻域内，且lim x→x
以x0为极限的数列{x n},极限lim n→+∞f x都存在且相等。

函数极限的四则运算法则
x趋于x0时的极限，记作
lim
f x=A或f x→A(x→x0) n→x0
即lim
f x=A↔∀ε>0,∃δ>
n→x0
0,使得当0< x−x0<δ时，有 f x −A <ε（只要求函数f x在x0的某一去心邻域内有定义，而一般不考虑它在点x0处是否有定义，或者取什么值）如果当x从左侧（右侧）趋于x0时，函数f x无限趋近于常数A，则称常数A为函数f x在x→x0时的左极限（右极限），记为lim x→x
−f(x)=
A(lim x→x
+f(x)=A或f(x0+)=A).
即
左极限和右极限统称为单侧极限。

函数f x在x→x0时的极限存在的
充要条件是其左右极限都存在而且相等，即
f x存在，则该极限是唯一的。

函数极限的唯一性若极限lim n→x
f x存在，那么函数f x在局部范函数极限的局部有界性若lim n→x
围内就是有界的，即存在常数M和δ>0，使得当0<x−x
<δ时，
有 f（x）≤M
f x=A，且A>0（或A<0），那么函数极限的局部保号性若lim n→x
就存在常数δ>0，使得当0<x−x0<δ时，有f(x)>0(或f(x)<0) 推论。