高考理科第一轮复习课件(选修4-4第一节坐标系)

(r,π )
3 ( ＜ ) 2 2
3 (r, ) 2
ρ =-2rsin θ (π ≤θ ＜2π )
（2）一般位置的圆的极坐标方程：若圆心为M(ρ 0,θ 0)，半
2 径为r，则圆的极坐标方程是ρ 2-2ρ 0ρ cos(θ -θ 0)+ 0 -
r2=0.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）在极坐标系中，点M的坐标是唯一的.( )
（2）极坐标系所在平面内的点与极坐标是一一对应的关
系.( )
（3）三角函数是联系极坐标与直角坐标的纽带.(
（4）椭圆伸缩后仍是椭圆.( )
)
【解析】（1）错误.极坐标系中的点，当θ∈［0，2π）时， 除极点外，M的极坐标是唯一的，当θ∈R时，M的极坐标不唯 一. （2）错误.建立极坐标系后，给定（ρ，θ），就可以在平面 内唯一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标 （ρ，θ）（θ∈R）却不是唯一的，所以二者不能建立一一 对应关系.
的图形. (1)x轴与y轴具有相同的单位长度. (2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍. (3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的
1 . 2
【思路点拨】(1)常规描点法画椭圆.（2）改变y轴上的单位长 度.（3）改变x轴上的单位长度.
【规范解答】(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同
选修4-4 第一节
坐标系与参数方程 坐 标 系
1.平面直角坐标轴中的伸缩变换
x轴 y轴 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变____或____的单位
长度，将会对图形产生影响.
2.极坐标系的概念
（1）极坐标系
定点 如图所示，在平面内取一个_____O，叫作 射线 极点，从O点引一条_____Ox，叫作极轴， 单位长度 角 选定一个_________和___的正方向（通常 逆时针 取_______方向），这样就确定了一个平面极坐标系，简称为 极坐标系.
, 6
（2）方法一:点 P( 2, ) 化为直角坐标为P(1,1)，直线
3 的直角坐标方程为 与x轴（极轴） y 3x 3， sin( ) 3 2
4
的交点坐标为C（1,0）， ∴圆C的半径为PC=1,∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1，即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cos θ.
方法二:∵圆心为直线 sin( ) 3 与极轴的交点，令
3 2
θ=0，得ρ=1. ∴圆C的圆心坐标为（1，0）. ∵圆C经过点 P( 2, )，
4
∴圆C的半径为 PC

2
2
12 2 1 2cos
1. 4
∴圆C经过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
考向 4
极坐标方程的综合问题
Baidu Nhomakorabea
【典例4】（1）（2012·安徽高考）在极坐标系中，求圆 ρ =4sin θ 的圆心到直线 (ρ ∈R)的距离.
6
（2）从极点O作射线，交直线ρ cos θ =3于点M，P为射线OM上 的点，且|OM|·|OP|=12，若有且只有一个点P在直线ρ sin θ -ρ cos θ =m上，求实数m的值. 【思路点拨】（1）化极坐标方程为直角坐标方程，计算点到直 线的距离.（2）化极坐标方程为直角坐标方程，利用直线与曲 线的位置关系解决.
3.直线的极坐标方程
(1)特殊位置的直线的极坐标方程 直线 极坐标方程 图形
α θ =___(ρ ∈R)或 过极点， π +α θ =______ (ρ ∈R) 倾斜角 α (θ =___和 为α π +α θ =______(ρ ≥0)) 过点 (a,0),与 极轴垂直 ρ cos θ _________=a
当限定ρ＞0，θ∈［0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯
一的.
极点O的极坐标为（0，θ），θ为任意值，但一般取θ=0，即
极点的极坐标为（0，0）.
（2）把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ. 【提醒】若没有特别要求，求出θ∈［0,2π)内的角即可.
6
以直线的方程为 y 1 x 2 ，
3
6
3
由公式 x cos , 得 sin 1 cos 2 ，
y sin ，
3
即 cos 3sin ＝2， 1 化简，得sin( ) 1，即f 为所求. 6 sin( ) 6
（3）正确.由转化公式，根据任意角的三角函数的定义及其基
本关系式，诱导公式，可以把二者联系起来. （4）错误.变换系数λ与μ的值，伸缩后有可能为圆. 答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
考向 1
直角坐标系中的伸缩变换
x 2 y2 【典例1】在下列平面直角坐标系中,分别作出椭圆 1 9 4


2
2,
∵点 1 3） 在第四象限,且θ∈［0，2π） ， （，
5 5 .点M的极坐标为(2, ). 3 3
【拓展提升】直角坐标化为极坐标的不唯一性 （1）根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性， 故点M的极坐标（ρ，θ）的形式不唯一，即一个点的极坐标
有多种表达形式.
（3）极坐标与直角坐标的互化 设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为（ρ ,θ ）， 互化的前提条件 互化公式
x cos , ① y sin , 2 x 2 y 2 , ② y tan (x 0). x
极点 ①_____与原点重合； 极轴 ②_____与x轴非负半轴重合； ③取相同的单位长度.


方法二:设直线上的任一点的极坐标为P(ρ,θ),
因为 ， 所以 OPM
6
根据正弦定理得
OP OM , sinOMP sinOPM 2 即 ， sin( ) sin( ) 6 6 2sin 1 6 即 . sin( ) sin( ) 6 6 1 f . sin( ) 6
【变式训练】若曲线的极坐标方程为ρ =2sin θ +4cos θ ，以 极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的 直角坐标方程为___________. 【解析】曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,即 ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ, 即x2+y2=2y+4x,整理为(x-2)2+(y-1)2=5.
x 2 y2 的单位长度, 1 的图形如下: 9 4
（2）如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小 为原来的 1 . 2
x 2 y2 1 的图形如图： 9 4
（3）如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小
1 x 2 y2 为原来的 . 1 的图形如下: 4 2 9
x cos ， 【规范解答】（1）由公式 得
x 2cos
5 5 3，y 2sin 1， 6 6
y sin
点M的直角坐标为 3,1 .


2 x 2 y 2， （2）由公式 得 x 2 y 2 12 3 y tan (x 0) x y tan ＝ 3, x
( ＜＜ ) 2 2
直线 过点
(a, ), 2
极坐标方程 ρ sin θ _________=a (0＜θ ＜π )
图形
与极轴平 行
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M (ρ 0，θ 0)，且极轴到此直线的角为α ，直线l的极坐标方程 ρ 0sin(α -θ 0) 为：ρ sin(α -θ ) =______________.
【拓展提升】1.图形的伸缩与坐标轴单位调整的关系
设变换前后的坐标系分别为xOy与x′O′y′.
（1）若x′轴的单位长度为x轴的单位长度的a倍，则x′=ax(a>0)
此时若a>1，则图形左右伸长，若0<a<1，则图
形左右压缩.
（2）若y′轴的单位长度为y轴的单位长度的b倍，则y′=
by(b>0),此时若b>1,则图形上下伸长，若0<b<1，则图形
4
圆心为直线 sin( ) 3 与极轴的交点，求圆C的极坐标方
3 2
程.
【思路点拨】（1）先求直线的直角坐标方程，再化为极坐标
方程，也可以利用正弦定理直接求直线的极坐标方程. （2）先求出圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程，也可以 直接根据圆的半径与位置求圆的极坐标方程.
【规范解答】（1）方法一:在平面直角坐标系中，直线的倾斜 角为 ， 故直线的斜率为 k tan 1 ， 直线又过点（2,0），所
【变式训练】求以C（4，0）为圆心，半径等于4的圆的极坐标
方程.
【解析】如图，由题设可知，
这个圆经过极点，圆心在极轴上， 设圆与极轴的另一个交点是A, 在圆上任取一点P(ρ,θ), 连接OP,PA在Rt△OPA中,|OA|=8,|OP|=ρ,∠AOP=θ, ∴|OA|·cos θ=ρ，即8cos θ=ρ， 即ρ=8cos θ为圆C的极坐标方程.
答案：(x-2)2+(y-1)2=5
考向 3
求曲线的极坐标方程
【典例3】(1)（2012·上海高考改编）
如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的
直线l与极轴的夹角 ，若将l的
6
极坐标方程写成ρ =f(θ )的形式，求f(θ ).
(2)（2012·江苏高考）在极坐标系中，已知圆C经过点 P( 2, )，
【拓展提升】求曲线方程的方法步骤 （1）求曲线方程，首先要根据条件建立适当的平面直角坐标 系（或极坐标系）. （2）设出曲线上任意一点的坐标为M（x,y），找出此动点满 足的几何条件，最后通过代数变换化简方程即可. 【提醒】在平面直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直 译法、定义法、相关点法.在极坐标系中，求曲线的极坐标方 程以上几种方法仍然是适用的.
（2）极坐标 线段OM的长 对于平面内任意一点M，用ρ 表示___________，θ 表示以Ox为
角度 始边、OM为终边的_____，ρ 叫作点M的极径，θ 叫作点M的极
（ρ ,θ ） M(ρ ,θ ) 角，有序实数对__________叫作点M的极坐标，记作________. 0 任意值 当点M在极点时，它的极径ρ =__，极角θ 可以取_______.
3
【解析】(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单
x 2 y2 位长度: 1 图形如下: 9 4
(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为 原来的 1 , 如图：
3
（3）如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小
为原来的 1 , 如图：
3
考向 2
点的极坐标与直角坐标的转化
上下压缩.
特别地，若a=b=1，则认为图形没有变化.
2.图形的伸缩变换的应用
应用图形的伸缩变换时，可以将图形特殊化，即将不规则的图 形调整为规则的图形，以方便解题.
【变式训练】在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线
x 2 y2 1 的图形. 9 4
(1)x轴与y轴具有相同的单位长度. (2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的3倍. (3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的 1 .
4.半径为r的圆的极坐标方程 （1）特殊位置的圆的极坐标方程 圆心 极坐标方程 图形
（0，0）
r ρ =__ (0≤θ ＜2π )
2rcos θ ρ = _________
(r,0)
(
＜ ) 2 2
圆心
(r, ) 2
极坐标方程 ρ =2rsin θ (0≤θ ＜π )
图形
ρ =-2rcos θ
6
【典例2】（1）已知点M的极坐标为 2, 5 ）， 求点M的直角坐标. （
（2）若ρ ＞0,θ ∈［0，2π ），求直角坐标为 1 3） 的点M （，
的极坐标.
x cos ，
【思路点拨】（1）由公式
y sin
计算点的直角坐标.
2 x 2 y 2， （2）由公式 求解. y tan (x 0) x