连续小波变换

常用的基本小波
6. Marr小波 （也叫墨西哥草帽小波）
(t )
2 3
(1 t )e
2
t2 / 2
2 2 4 2 2 / 2 ˆ ( ) e 3
t
ˆ ( )
这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴对称。
2 2 1 2 3 1 3 2 4 ˆ 2 2 cos v 1 2 2 3 3 4 0 3

t
ˆ ( )
常用的基本小波
ˆ ( ) i
4

e i / 2 sin 2 / 4
(t )
0
1 2
1
1
常用的基本小波
2. Daubechies小波
D4尺度函数与小波
1.4
2
1.2
1.5
1 0.8 0.6 0.4
0 1 0.5
0.2
-0.5
0 -0.2 -0.4
-1 -1.5 -2
0
1
2
3
4
5
-1
0
连续小波变换


小波及连续小波变换 常用的基本小波 时频分析 连续小波变换的计算 小波变换的分类
小波及连续小波变换
设函数 ，则称
ˆ (0) 0 ，即 (t )dt 0 t L1 (R) L2 (R) ，并且
为一个基本小波或母小波。

(t )
ˆ (0) 0 几乎是等价条件. 允许条件与
1 f (t ) c





1 WT f (a, b) a ,b (t )dadb 2 a
Baidu Nhomakorabea
常用的基本小波
1. Haar小波
1 (t ) 1 0
1
0 t 1/ 2 1/ 2 t 1 其它
1
2
3
D6尺度函数与小波
常用的基本小波
3、双正交小波 双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器 （7-5）小波滤波器:
4 q2 3 p 0 8 q2 2 2 4 q2 5 q2 1 p1 8 q2 2 4 q2 1 p2 16q2 4 2 4 q q2 2 p 3 2 8 q2 q0 1 2q2 1 q1 2
8. Shannon小波
t
sin t 1/ 2 sin 2 t 1/ 2 t 1/ 2
ˆ e
i / 2
1, 2 0, 其它
t
在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不 是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是 频率带限函数，具有好的局部化特性。
bior2.2, bior4.4
h
1 1 1 3 1 1 , , , , 2 8 2 4 2 8
1 3 3 5 5 5 3 3 , , , , , , 2 16 4 16 2 16 4 16
h
常用于图形学中。其中尺度函数是一 个三次B样条。
pn 2 hn , qn 2hn
1 a
a ,b (t )
(
t b ) a
a, b R a 0
(连续)小波函数 a和b的意义
WT f (a, b)
WT f (a, b) 1 a
a ,b (t ) 2 (t )
2
1 a




f (t ) (
t b )dt f , a ,b a
~
常用的基本小波
4. Morlet小波
(t ) e
t 2 / 2 i0t
e
ˆ ( ) 2 e( 0 )
2
/2
Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g t

2
1
1/ 4
e

t2 2 2
1, 5
常用的基本小波
7. Meyer小波 它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：
sin v 3 1 2 4 3 3 2 2 1 i 3 4 8 ˆ 2 2 e 2 cos 1 v 3 3 2 4 2 , 8 0 3 3 v t t 4 35 84t 70t 2 20t 3 t 0,1
常用的基本小波
9. Battle-Lemarie样条小波
ˆ ( ) 1 ˆ ˆ ( ) ( ) g 2 2 2
16e
i 2

2


sin 4

4
4 2 2 2 8sin 4 1 sin 3 8sin 4 4 4 3
性质：


f (t ) (
t b 1/ 2 )dt a f a b a
线性性质
平移不变性 ……….
小波及连续小波变换
设函数
t L1 (R) L2 (R) , 若
c

ˆ ( ) d
2
则称 (t ) 为一个允许小波。
Gabor 小波 Morlet小波
t g t eit
常用的基本小波
5. 高斯小波
t
2 1 tet / 2 2
ˆ i e
2
/2
(t )
ˆ ( )
这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于阶梯型边界的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴反对称。