含参量反常积分一致收敛性的判别法

含参量反常积分一致收敛的判别法

王 明 星

（德州学院数学科学学院,山东德州 253023）

摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握.

关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法

含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法.

1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念

1.1 含参量无穷限反常积分

设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分

(,)c

f x y dy +∞

⎰

都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有

()(,)c

I x f x y dy +∞=⎰,[],x a b ∈

称(,)c

f x y dy +∞⎰

为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分.

1.2 含参量无穷限反常积分收敛

若含参量无穷限反常积分(,)c

f x y dy +∞⎰

与函数()I x 对每一个固定的

[],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有

(,)()M

c

f x y dy I x ε-<⎰

,

即

(,)M

f x y dy ε+∞

<⎰

,

则称含参量无穷限反常积分(,)c

f x y dy +∞⎰

在[],a b 上收敛于()I x .

1.3 含参量无穷限反常积分一致收敛

若含参量无穷限反常积分(,)c

f x y dy +∞⎰

与函数()I x 对任给的正数ε,存在某

一实数N c >,使得M N >时,对一切[],x a b ∈,都有 (,)()M

c

f x y dy I x ε-<⎰

即

(,)M

f x y dy ε+∞

<⎰

,

则称含参量无穷限反常积分(,)c

f x y dy +∞⎰

在[],a b 上一致收敛于()I x .

1.4 含参量无穷限反常积分非一致收敛

若含参量无穷限反常积分(,)c

f x y dy +∞⎰

与函数()I x ,总存在正数0ε,对任意

给定的实数N c >,总存在M N >及[]0,x a b ∈,使得 000(,)()M

c

f x y dy I x ε-≥⎰

,

即

00(,)M

f x y dy ε+∞

≥⎰

,

则称含参量无穷限反常积分(,)c

f x y dy +∞

⎰

在[],a b 上非一致收敛于()I x .

2 含参量无穷限反常积分一致收敛的判别法

2.1 用定义法证明含参量反常积分一致收敛性和非一致收敛性

用定义证一致收敛的关键在于寻找只与ε有关的共同的0A ,方法常常是采取适当放大的方法.

例1 证明 无穷积分dx ye xy ⎰+∞

-0在区间[),a +∞()0a >一致收敛,而在()0,+∞上

非一致收敛.

证明 Ay Ay

t A

xy e dt e xy t dx ye y -+∞

-+∞

-==+∞∈∀⎰⎰令),,0(,对0ε∀>,取y

A ε1

ln

0=,

则0A A >∀,有

0A y xy Ay A

ye dx e e ε+∞

---=<<⎰

,

因此,dx ye A

xy ⎰+∞-在（0,+∞）是收敛的.

根据定义4,要想证明

dx ye

A

xy

⎰+∞

-在),0(+∞∈y 是非一致收敛的,只需取

0ε=

e 21,,0>∀A 取),0(21

,2''+∞∈=

>=A

y A A A ,则

01

''

''

ε>==--+∞

-⎰e e dx e y y A A

xy . 但dx ye A

xy ⎰+∞

-在),[+∞a 一致收敛（其中0a >）,,取a

A ε1

ln

0=

,当0

A A >时,对一切

[)+∞∈,a y ,有

ε=<=--+∞

-⎰a A Ay

A

xy e e dx ye 0. 所以,dx ye A

xy ⎰+∞

-在),[+∞∈a y （其中0>a ）上一致收敛.

2.2 用柯西准则证明含参量无穷限反常积分一致收敛性和非一致收敛性

定理1（柯西准则）反常积分

dx y x f a

⎰+∞

),(在区间[]()d c y I ,∈一致收敛

0ε⇔∀>,00A ∃>,10A A ∀>与20A A >,y I ∀∈,

ε<⎰2

1

),(A A dx y x f .

例2 证明 若(),f x y 在[][),,a b c ⨯+∞上连续,又

(),c

f x y dy +∞

⎰

在[),a b 上收敛,但在x b =处发散,则

(),c

f x y dy +∞⎰