席位分配问题

二. Hamilton 法及有关悖论
1. Hamilton 法： 记[qi] = int qi, 则有 qi-1<[qi]≤ qi, N-s<Σ[qi]≤N . 若等号成立, 则有 ni= qi=[qi] . 否则, 有 Σ[qi] < N . 令 k = N- Σ[qi] , 0 < k < s . 记 ri = qi - [qi] , 不妨令 r1 ≥ r2 ≥…≥ rs. 则有ni = [qi] +1, i = 1,…,k ni = [qi] , i = k+1,…,s
悖论的举例(2)
• 20. 人口悖论: 人口增长, 分额增加的州可能失 掉席位. 例 2 . P=1000, s=3, N=3, 人口增加100人后… 州 pi pi/p qi ni pi qi ni A 420 0.420 1.260 1 430 1.17 1 B 455 0.455 1.365 1 520 1.42 2 C 125 0.125 0.375 1 150 0.41 0
Huntington-Hill 算法
3. Huntington-Hill 算法 定理：在席位分配方案(ni, nj)的基础上,再增加 一个席位, 方案(ni+1, nj)优于(ni, nj+1),当且仅 pi 当 Qi > Qj, 其中
Q i= ni ( ni + 1)
证明: 若方案(ni+1, nj)优于(ni, nj+1), 则有 pi/ni > pj/nj . 若 pi/(ni+1) ≥ pj/nj, 可得Qi > Qj . 若pi/(ni+1) < pj/nj, 则由rj(ni+1, nj)<ri(ni, pj / nj nj+1)可得 pi / ni
公平的席位分配模型
一. 问题与背景
1. 问题：美国众议院如何根据各州人口的比例 分配众议院议员的名额? • s-- 州数, pi-- 第 i 州人口数, p =Σ pi--总人口数 • N--议员数, ni--第 i 州议员数, N=Σni. • 根据按人口比例分配的原则给出公平的议员 席位分配的方案{n1, …, ns}. • qi=(pi/p)N: 第 i 州应占有的议员的份额. • 求{ni}，与{qi}最接近。
pj /(nj + 1) > pi /(ni + 1) , Qi > Qj
充分性证明
p2 pi2 反之, 如果 Qi > Qj , 则有 j > ni ( ni + 1) n j ( n j + 1)
当pi/(ni+1) ≥ pj/nj, 时, 有pi/ni > pi/(ni+1) ≥ pj/nj, 显然, 方案(ni+1, nj)优于(ni, nj+1) . 当pi/(ni+1) < pj/nj 时, 由 pi / ni pj / nj
qi ni 1.17 1 1.42 2 0.41 0 qi* ni 1.80 1 2.18 2 0.63 0
名额分配
• 例 6. p=1000, s=2, N=4; p’=1200, N’=5 qi ni pi qi • 州 pi A 623 2.492 2 A 623 2.595 • B 377 1.508 2 B 377 1.570 • C 200 0.835 ni pi qi • λ = 0.80 qi • A 623 3.12 3 A 623 3.24 • B 377 1.88 1 B 377 1.96 • C 200 1.04
悖论的举例(3)
• 30. 新州悖论: 原州人数不变, 增加新州(人数 增), 席位按比例增, 将导致原州席位减少. 例 3. p=1000, s=2, N=4; p’=1200, s’=3, N’=5 p i qi 州 pi qi ni ni A 623 2.492 2 A 623 2.595 3 B 377 1.508 2 B 377 1.570 1 C 200 0.835 1
三. Jefferson的除子法
考虑 Σqi = N 且 Σ[qi] < N 的情形: 选择适当的除子 λ, 计算 qi* = qi/λ, 使得 Σ[qi*] =N. 则取 ni = [qi*] . 除子法的数学模型？ “名额分配问题”，淑生，自然杂志，2 （1993），46~50。
• 例 4 . P = 200, s = 3, N • 州 pi qi ni • A 103 10.3 10 • B 63 6.3 6 • C 34 3.4 4 • λ = 0.92 qi* ni • A 103 11.2 11 • B 63 6.8 6 • C 34 3.4 3
问题的研究没有停止…….
• 1920 年 ， Harvard 大 学 的 数 学 家 Edward Huntington，Joseph Hill 开始研究这个问题。 • 1941年，基于代表性不公平度的数学模型，他们 提出了EP（Equal Proportions）法，用以分配议 员的席位。并且由Roosevelt 总统将它写入了法 律，至今仍然延用。 • 1970年Michael Balinsky & Peyton Young 进一步 研究 。 • 1982 年提出了著名的 Balinsky & Young 不可能 定理。
相对不公平度
令A, B两州的代表性指标为 p1/n1, p2/n2, 若 p1/n1> p2/n2 称 p1 / n1 − p2 / n2 rA (n1 , n2 ) = p2 / n2 为席位分配方案(n1, n2)对A 的相对不公平度 .
席位公平分配的Huntington法则
2. 席位公平分配的Huntington法则: 若i州转让一个席位给j州导致两州间相对 不公平度的降低, 则进行这种转让. 连续进行这种席位的转让,直到任意两州 间的转让不可能再降低它们之间的不公平度, 则可得到最优的席位分配方案 .
Alabama 悖论
• 1881年当议会的总席位由299席变为 300席时，各州的人口数都没有变化， 重新调整议员席位的结果却使 Alabama州的议员席位从 8人减少为 7 人。——这就是著名的 Alabama 悖论
悖论重现
• 后来，1890年人口普查之后，在各州人口数 没有改变的情况下，当总席位由359席增加到 360席时，Arkensas 州的议员的席位又丢掉了 一个。Maine 州也出现了类似的情况。1910 年，Hamilton 的分配方法被停止使用了。
Hamilton 法解释
• 3. Hamilton 法的数学模型 q = (q1,…,qs)T: 份额向量, 1Tq=Σqi =N n = (n1,…,ns)T: 分配向量, 1Tn=Σni =N 它们均位于s维空间的s-1维单形 (s维空间的 超平面)中 .
Hamilton 法解释
• 对于 s = 3 的情形: 经变形,有 10. n, q 是高为 N 的正三角形上的点，该点到三个 边的距离为它们的坐标。 20. 将三角形各边N等分，分别以平行各边的直线 连接相应的等分点。连线在三角形内的交点将是三角 形上有整数坐标的格点， 这些点构成席位分配向量的集合{n}。 30. 连线将三角形分为若干小三角形。份额向量q 为三角形上任意一点。 该点到它所在的小三角形三个边的距离分别为三 个坐标的小数部分。
各方法比较
• • • • • • • • • 例 8. 六个州分配100个席位 州 人口p 份额q H法 A 9215 92.15 92 B 159 1.59 2 C 158 1.58 2 D 157 1.57 2 E 156 1.56 1 F 155 1.55 1 Σ 10000 100 100 J法 95 1 1 1 1 1 100 EP法 90 2 2 2 2 2 100
(绝对)不公平度 令 dij = pi/ni - pj/nj, 则称|dij|为 i, j 两州席位 分配的(绝对)不公平度 .
例 p n p/n |d| A 120 10 12 B 100 10 10 2 C 1020 10 102 D 1000 10 100 2 (绝对)不公平Biblioteka Baidu无法比较不同组间席位分配不公 平的程度
悖论的举例(1)
2. 有关悖论 • 10. Alabama 悖论: 人口不变, 总席位增加 导致某州席位减少. 例1. P = 200, s = 3, N = 20 21 ni qi ni qi 州 pi pi/p A 103 0.515 10.3 10 10.815 11 B 63 0.315 6.3 6 6.615 7 C 34 0.170 3.4 4 3.570 3
Hamilton 法解释
40. 按照最大小数部分增加一个席位的Hamilton 法相当于在 q 所在的小三角形中选择最靠近 q 点的顶点（格点 n）为席位分配方案。 50. Hamilton 分配域：作小三角形内心，则可以 构成以 n 为心，以上述若干内心为顶点的正 六边形。 如果 q 落入某个小六边形内，则选择该六 边形的中心 n 为席位的分配方案。
= 20 qi ni 10.815 11 6.615 7 3.570 3 qi* ni 11.75 11 7.19 7 3.88 3
• 例 5 . P=1000, s=3, N=3 • 州 pi qi ni pi • A 420 1.260 1 430 • B 455 1.365 1 520 • C 125 0.375 1 150 • λ = 0.65 qi* ni pi • A 420 1.93 1 430 • B 455 2.10 2 520 • C 125 0.57 0 150
p j /(n j + 1) > pi /(ni + 1)
>1
可得 rj(ni, nj+1)>ri(ni+1, nj), 从而可知方案(ni+1, nj)优于(ni, nj+1) .
Huntington—Hill 算法——Q值算法
注： 关于Q: 是代表性指标pi/ni和pi/(ni+1)的几何平均值. 它表示在当前拥有ni 个席位的条件下, 考虑到再 增加一个席位时的平均代表性指标. 称Q为Huntington—Hill 数。 Huntington—Hill 算法 1. 令 ni(0 )= 1, 计算 Qi(0), i =1,2,…,s . 2. 对于k=1,2,…, 取Qh(k)=max {Qi(k-1)} 3. 令 nh(k)=nh(k-1)+1, ni(k)=ni(k-1), i ≠ h 4. Σ ni(k) =N 计算结束, 否则转 2 继续 .
s’=3, ni 3 1 1 ni 3 1 1
四. 局部不公平度和Huntington法
1. 不公平度 称第 i 州平均每位议员代表的人口数 pi/ni 为该州议员的代表性指标。 它可以用来度量议员席位分配公平的程 度：若 pi/ni = pj/nj, 则称这两州代表席位的分 配是公平的. 若pi/ni < pj/nj, 则称第 j 州议员的 代表性低于第 i 州议员的代表性.
举例
例 7. 已知 p1= 103, p2=63, p3=34, 分配 N=21席位 n A B C 1 5304.5(4) 1984.5(5) 578.0(9) 2 1768.2(6) 661.5(8) 192.7(15) 3 884.1(7) 330.8(12) 96.3(21) 4 530.5(10) 198.5(14) 5 353.6(11) 132.3(18) 6 252.6(13) 94.5 7 189.4(16) 8 147.3(17) 9 117.9(19) 10 96.4(20) 11 80.4 11个 6个 4个
一. 问题与背景
2. 背景
• 1787年美国颁布宪法, 规定“众议院议员的名 额…将根据各州的人口比例分配”, 并于1788 年生效. • 1791年 Alexander Hamilton 提出了议员席位 分配的方法, 并于1792年通过. • 1792年 Thomas Jefferson 提出了议员席位分 配的除子法。 • 1851年开始用Hamilton法分配议员的席位。