基于小波变换的高分辨率信号频谱分析方法

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计量技术 20041No 12
© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
理论与实验
大 。即使初始化采样频率设置的不正确 , 依然可以 通过四次调整就可以接近最佳采样频率 。一旦采样
表1
仿真结果
第一次检测
f0
初始采
测量
样频率
结果
第二次检测
采样 频率
测量 结果
第三次检测
采样 频率
测量 结果
采样 频率
第四次检测
测量 结果
误差
50
912673
148
3918767
638
4015294
648
4015082
0120
4015
500
4111746
659
3918585
638
4015204
648
图4
21 和现代谱估计 Burg 算法的比较 Burg 算法是建立在数据基础上的 AR 系数求解 的有效算法 ,其特点是根据线性预测原理 ,令前后向 预测误差 功 率 之 和 最 小 。但 信 号 中 加 入 白 噪 声 后
Burg 算法对谱估计会出现谱线分裂现象 。利用 Burg
算法进行频率估计 ,建立 5 阶模型 ,对式 (3) 的信号进
φ1 = 012π, f l , h表示高频和低频干扰 ; dis 是在 0～1 之间随机抽取的数据 ,均值为 015 。
分别对输出信号频率在低频 f 0 = 4015Hz 处以及 高频 f 0 = 60015Hz 进行仿真 。这里 ,确定采样点数为 64 点 。图 1 是低频情况下的频率检测结果 , f 0 = 4015Hz , f 1 = 50Hz , 采样频率为 200Hz , 图中 , 曲线最 大值对应的频率为 40156Hz , 检测准确度为 1148 ‰。 图 2 是高频情况下的频率检测结果 , f 0 = 60015Hz , f 1 = 580Hz ,采样频率为 3000Hz ,图中 ,曲线最大值对应 的频率为 601141Hz , 检测准确度为 1152 ‰。图 1 和 图 2 中的曲线可以随着采样点数的增加逼近到 0Hz , 在实际中没有必要检测很低频率段 。
兴趣的频率段改变尺度就可以了 。
假设单一正弦信号通过连续的一组滤波器 , 这
些滤波器的通带覆盖着 0～ f s/ 2 的频率段 , 相邻的 滤波器之间具有共同的通带频率段 。尺度 α的变
化控制这些滤波器的特性 , 如果尺度 α= 1 , 则频率
分辨率仅仅决定于采样点数和采样频率 , 这就和经 典的 FF T 有同样的频率分辨率 ;如果使用尺度 α=
测结果 。大部分滤波器将滤掉信号 , 只得到噪声 。 这通过比较数据可以判断出哪一组滤波器得到信 号 。对于信号幅度大于噪声幅度的信号检测 , 通过 简单的比较数据大小就可以得到正确的结果 ; 对于 信号幅度小于噪声幅度的信号检测 , 只有通过多次 检测才能判断出信号所在的频率段 ,此种情况 ,不在 本论文考虑之中 。
21 通过调整采样频率提高频谱检测准确度 在信号频谱检测中 ,总是希望信号频率正好落在 带通滤波器通带的中心处 。这样 , 信号几乎完全通 过 ,而噪声达到最大限度的抑制 。在实际信号频谱检 测中 ,仅仅改变尺度的值不能保证信号频率正好落在 带通滤波器通带的中心处 ,从而很难达到对检测精度 要求很高的信号频谱检测 ,文献[3 ]中达到 10 ‰左右 的检测精度 。为了达到 1 ‰的检测准确度 ,必须将信 号尽可能的通过滤波器的中心处 ,也就是信号频率尽 可能的接近滤波器通带的中心频率 。我们采取调整 采样频率来确保信号通过滤波器通带的中心处 。这 样 ,需要进行 4～5 次左右的采样频率的调整 ,一般情 况下三次就满足要求 。调整采样频率的过程如下 :首 先 ,选择一个适应范围较广的采样频率 (例如 , 1kHz 采样可以适用于 100Hz～500Hz 信号频率) 得到一次 精度较差的检测结果 (为了提高检测时间 , 可以将尺 度设置为 1 ,和 FFT 有同样的频率分辨率 ,也可以直 接使用 FFT 做第一次的频率检测) ;再紧接着以上一 次的估计结果调整采样频率 ;一般选择采样频率为上 一次检测结果的 16 倍 ,重复这个过程 ,直到最后两次 频谱估计结果一样或很接近 ,完成频率检测 , 得到准 确度较高的检测结果 。 这样调整采样频率的优点有三点 ,第一 ,保证了 信号频谱检测的准确度 ;第二 ,初始化的采样频率选 择范围广 ,只需要满足采样定理 ,减少了采样频率初 始化过程 ;第三 ,只要检测到信号检测 , 就可以跟踪 上信号频率的渐变过程 , 对于突变或者跳变的信号 需要重新初始化 ,重新搜索信号频率 。
本文提出了基于小波变换的频谱分析方法 , 通 过小波变换方法来提高频率分辨率 , 对短数据仍然 具有较高的频率分辨率 , 从而满足信号频谱检测准 确度需求 。
二 、利用小波变换方法提高频谱分辨率
11 通过小波变换尺度提高频率分辨率 小波变换的实质是使信号通过一组带通滤波 器 ,这些滤波器的通带特性决定着信号频谱检测的 精度 。对于不同的信号希望有一个适合该信号的带 通滤波器 。根据小波变换的理论 , 小波滤波器的中 心频率和通带带宽与尺度 α成反比 , 这样就可以通 过选择变换尺度 α的值来选择滤波器的特性完成 最佳的频谱检测 。从而实现较短数据下的高分辨率 的频谱检测 ,使用 Morlet 小波 ,其基本小波函数为
理论与实验
基于小波变换的高分辨率信号频谱分析方法
汪安民 王 殊
(华中科技大学电子与信息工程系 ,武汉 430074)
摘 要 本文介绍了一种基于小波变换的高分辨率频谱分析方法 ,该方法对信号频谱分辨率有明显的改善效 果 ,尤其是在短数据采样点上 ,仍然具有较高的频谱分析效果 ,适合于快速变化信号的频谱分析 。
图1
图2
表 1 是对应不同初始化采样频率对信号主频 f 0 的 检 测 结 果 , 表 中 频 率 单 位 为 Hz , 精 度 单 位 为 ‰。仿真结果表明 ,对于一定的信号频率 ,只要采 样频率设置的合适就可以很精确的测量到信号频 率 ,可以使最大误差小于 1 ‰。随机噪声 、谐波以及 高低频率处的干扰对信号主频率频谱的检测影响不
致检测的精度进一步降低 。此外 , 非整周期采样对 周期图的检测结果有一定的影响 , 实际应用中很难 实现整周期采样 。图 3 是 FF T 算法的谱估计图 。
图3
11 和经典周期图法 FF T 算法的比较 经典周期图法使用 FF T 变换 , 然后求取 FF T 变换后数据的模 , 从而得出信号的功率谱图 。对于 式(3) 的信号 , 根据采样定理其采样频率最低为 128 Hz , 此 时 周 期 图 法 的 频 率 分 辨 率 为 128/ 64 = 2 Hz ,这也是在 64 点采样数据下能够达到的最小频 率分辨率 。对式 (3) 的信号进行仿真 ,选择同样的采 样点数 , FF T 算法的检测准确度在 4 ‰以上 。实际 中 ,采样频率一般设置都比信号频率的 2 倍大一点 , 所以 ,周期图法的实际频率分辨率还要大 。从而导
和中心频率的比值不变 , 这是常数 Q 滤波器 。缓慢
改变尺度就使得滤波器的中心频率缓慢变化 , 两
个邻近的滤波器的通带有共同的部分 , 信号通过这
共同部分时 ,都可以得到正确的频谱检测结果 。通 过改变尺度 α的值就可以精确控制滤波器特性 , 从
而提高信号频谱检测的精度 。实际中 , 只需要在感
行仿真 ,选择同样的采样点数 ,Burg 算法的检测准确
度在 3 ‰以上 ,同时 ,在仿真时我们发现谐波干扰对
Burg 算法的影响是很大的 ,在有谐波干扰时如果采样
频率选择得不好 ,Burg 算法会得到错误的检测结果 。
图 4 是 Burg 算法的谱估计图 。
(下转第 9 页)
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三 、仿真结果
考察如下信号的频谱检测结果
y ( t) = 10sin (2πf 0 t + φ0) + 4sin (2πf 1 t + φ1) +
sin (2πf l , h) + dis
(3)
式中 , f 0 是信号的主频率 , 也就是待估计的频率 ; f 1
是谐波干扰频率 ;φ0 和 φ1 是相应的初始相位 ,φ0 =
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测量与设备
步骤 7 : 计算 f 2 = 2 rA ,其中 rA 为经最后一次 移心后 A 点的半径值 。
按上述求解过程和步骤编制出的计算机数据处 理程序框图如图 7 所示 。
4015062
0115
5000
1301682
2091
6611267
1059
3815936
617
4016023
2153
700
1371522
2201
5901353
9446
5991873
9598
6001612
0118
60015
7000
5911055
9457
5991938
9599
6001657
9610
6001631
相邻的滤波器后完全通过 , 从而得到正确的频谱检
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理论与实验
Ψ ( t ) = e - t/ Teuω0 t
(1)
其对应不同尺度的频率特性为
Ψ(αω) =
π/
· T
e[ -
(αω -
ω)
0
2
/
(4/
T)
]
(2)
式 (1) 和式 ( 2) 中 ,ω0 是最大谱估计频率 , 为采 样频率 f s 的一半 ;α是尺度因子 ; T 为采样时间间 隔。
由式 (1) 和式 (2) 可以得出 , 滤波器的中心频率 为 ω0/ α= f s/ 2α, 其带宽随中心频率变化而变化 。 中心频率高 ,带宽宽 ; 中心频率低 , 带宽窄 。但带宽
015 ,在同样采样点数下 ,则频率分辨率提高一倍 ,从 而得到精确的频谱检测 。使用尺度 α为一个变化
的量就可以实现不同频率段具有不同的频率分辨
率 。实际情况下 , 我们通过改变尺度 α设置滤波器
的带宽为滤波器中心频率的十分之一 , 每一个尺度
对应一个滤波器 , 采样后的信号每经过一个滤波器
都会得到一个检测结果 , 信号经过其中一个或两个
0122
70000
1955142
31287
9801684
15690
5761435
9223
5981760
2190
四 、和其他方法的比较
使用式 (3) 提供的信号进行其他频率估计方法 的仿真 ,设置信号采样点数和小波分析方法一样 ,均 为 64 个采样点 ,设置 f 0 = 64 Hz , f 1 = 50 Hz 。
根据测量结果逐步逼近最佳采样频率 。理论上 , 只 频率接近最佳采样频率 , 每一次的测量值基本上很
要检测的次数足够多 ,总可以逼近最佳采样频率 ;实 接近 ,通过比较两次或更多次的测量结果就可以确
际上 ,考虑到实时性的要求 ,一般设置初始化采样频 定采样频率为最佳采样频率 , 从而结束对采样频率
率在信号频率到十倍信号频率之间 。这样 , 只需要 的调整 。
关键词 小波变换 频谱分析 精度
一 、引言
频谱分析常用快速傅立叶变换 ( FF T) 方法 ,但 是 ,快速傅立叶变换对信号频谱的检测的计算精度 由采样频率和采样点数所决定 。假设采样频率为 f s ,采样点数为 N ,则频率分辨率为 Δf = f s/ N 。对 于待检测信号如果采样频率选取过高 , 将产生过饱 和现象 ;如果采样频率选取过低 , 将产生欠采样现 象 。这两种情况就使得采样频率的选取受到限制 。 实际应用中 ,采用增加采样点数来提高频率分辨率 , 其缺点在于增加运算量 , 使实时性降低 ; 此外 , 有些 实际信号的变化比较快 , 而增加采样点数必然增加 采样时间 ,这样就导致频谱检测跟踪不上信号的变 化 ,从而限制了使用增加采样点数来提高频率分辨 率的应用场合 。