第10章 多自由度体系自由振动分析

{} m{i mii
T i

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ˆ} { i
1 {}i mii
1 1 {}i m {}i 1 m m ii ii
对于刚度阵，有：
ˆ} k { ˆ} i { j 0 T i
一等价形式： 或写为： 式中：
k m{} ( )m
k k m
k m

(10-7)
一个特征系统具有以下特性：
（1）如果[m]和[k]都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一 定是实数，而特征向量也可以是实向量。如果[m]正定，并且[k]为 正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。
（2） 特征向量（或模态向量）关于质量矩阵[m]和刚度矩阵[m] 正交，即：
mii (i j ) {}i m{} j 0 (i j )
振型1（令 1 a1 1T ）： 35EI / 48 60 a1 9EI /16 0
a1 0.887 1 a1 1 0.887 1
T T
振型2（令 2 a2 1T ）： 35EI / 48 602 a2 9EI /16 0
k21 Δ 2 ＝1 k22 k12
EI=∞ m2=40t 4m 6m EI=∞ m1=60t 1.0 0.887 1.0 0.751


则质量阵和刚度阵为
60 0 m 0 40
k11
Δ ＝1
1 35 / 48 9 / 16 k EI 9 / 16 9 / 16 35 EI / 48 60 9 EI / 16 k m 0 0 频率方程为： 9 EI / 16 9 EI / 16 40 由频率方程解得： 445.35 6915 .93

T
i
构的任意特征值。
可以证明，对于任意 {x}有: 上式称为特征值的极大极小性质。利用特征值的极大极小性质，可以求取结
i R({ ik }i ) x x maxmin {} {}i i m x mx
通常固有频率k2 对应的振幅向量（振型）用其无量纲 形式给出，将{a}中各分量均除以它的最大分量，即得到第 k 标准振型：
k k 2k
...
T nk
式中：φik表示第k振型曲线中第 i 自由度对应的无量纲化位移。
振型矩阵：
所有n个标准振型向量构成了一个方阵[Φ]:
2 22 2 ... n ... ... n n1 ... n ... n 2 ... ... ... nn
a2 0.751 1 a2 1 0.751 1
T T
振型正交性（1）Betti定理
Betti定理：若一结构分别受两种荷载体系作 用并引起了相应的位移，则荷载体系1在荷 载体系2对应位移上所作的功等于荷载体系 2在荷载体系1对应位移上所作的功。 情况1（先加载荷载a，然后加载荷载b）：
e22
(10-6b)
e22 e k 11 32 ....... en 2 e2 n e33 ... e3n ....... ... ........ en 3 ... enn e23 ...
式中：
... e1n
T
e31 ... en1
标准振型：
m k n 0
T

2 n
2 m

归一化振型
在结构动力分析中，常用到正交归一化振型。一个振型如满 ˆ表示： 足以下条件则称为归一化振型，用记号
1 T ˆ ˆ {}i m{} j 0 (i j ) (i j )
T
显然，归一化振型可以由标准振型{φ}获得：
T pT y p a b b y a
由于结构变形与加载次序无关，因 W1 W2 此在两种情况下荷载作功应相等：
振型正交性（2）利用Betti定理证明振型正交性
如将自由振动看作由惯性力引起的变 形，将两个振型对应的惯性力作为施加 荷载，振型即为惯性力荷载作用引起的 位移（如右图所示）。对此体系应用 Betti定理： T (I) m f I m n f I T n
结构动力特性分析－特征值问题的性质
结构无阻尼自由振动方程
k y 0 m y
（10-1）
将简谐运动
（10-2） 的频率方程，对其进行行 k 2 ma 0 代入上式可得 列式展开可以获得一个关 （10-3） 2的n次（自由度数） 于ω 方程（10－3）为特征值问题。对特征方程分析可得一个动 的代数方程，它的n个根 力系统的固有频率以及振型。 、2 、 、n 表示系统可 1、固有频率 能的n个振型的频率。 从方程（10－3）可知：要获得{a}非零解，必须要求矩 阵系数行列式为零：
振型“n”:
f I 1n f I 2n f I 3n
1n
2n
3n
振型 “m”:
f I 1m
f I 2m
由于惯性力向量可表达为：
2 f I m m mm
3m
1m
2 m
f I n n2 mn
或写为
将此代入式(I)，并注意[m]对称性，得：
f I 3m
1 1 T p y p ia ia 2 a ya 2 1 T T 加荷载b： Wbb Wab pb yb pb ya 2
荷载a:
p1a
p2 a
p3a
y1a
y2a
y3a
荷载b:
p1b
p2b
p3b
y1b
y2b
y3b
总功为：
W1 Waa Wbb Wab 1 1 T pT pT a ya b y b pb ya 2 2
线将系数矩阵 [k] 和振幅向量划分为子矩阵表示： 得 n-1个未知量： a2 /a1、a3/a1、…、an/a1，因此可以得到对 T 2 、振型 2 －5）的一组振幅向量 2 应方程（ ，称 2 a 1 a a1 1... an a k11 i10 0 m11 k12 i2 m12 ... k1n m 2 1 i 1 n 210－4）求得系统n个固有频率 、 、 后， n 由频率方程式（ 为关于固有频率 的振型向量。式（ ）是一个多余 2 2 2 10-6a k 2 a a 0 k 21 i m21 k 22 i m22 k 2 n i m2 n 2－1 ... 可以将任一个固有频率 回代入特征方程（ 10 3 ），以获得 k 方程，通常可以由于校核解的正确性。 .......... ... {a} .......... ...... . . 对应的振幅向量 ： ...... ... .......... 2 2 2 an a1 0 n 2 ... k nn i mnn (10-5) n 2 i m k n1 i mn1 kk m a 0
加荷载a： Waa
情况2（先加载荷载b，然后加载荷载a）：
加荷载b： Wbb
1 1 pT p y ib ib b yb 2 2 1 T T 加荷载a： Waa Wba pa ya pa yb 2
总功为：
W2 Wbb Waa Wba 1 1 T T pT y p y p b b a a a y b 2 2

2 m
2 m mn 0 n T

质量阵正交性：
2 2 由于 m ，则上式给出： n
T n 0 m m
当
2 m
2 n

T 2 2 T m m m n m n n m 刚度阵正交性： 2 将运动方程改写为： k mm m m T n n2 T n T 上式两边同乘 m ： m k m m
10－ ）称为系统 y式（ asin( t4 )
k m 0

（10-4）
上式中，由于系数矩阵 k i2 m 的行列式为零，因此是不 定方程。对振幅向量除以a1，并记 a a2 / a1 a3 / a1 ... an / a1T 以 及 eij kij k2mij ，式(10－5)可以拆分为两个独立的系列： (10-6a)
i T

T

min min Rx R(x) max max Rx
T x k x i maxmin T x mx
得到第i 阶特征值:
特征系统的基本特性（续）
(4) 特征值的移轴性质 将特征值方程 k m 两边分别减去 m，则有另
T
kii {}i k {} j 0
T
(i j ) (i j )
特征系统的基本特性（续）
(3) Rayleigh商和特征值的极大极小性质
T 注意！！ 对于任意向量{x} ，R({x}) 的最小值是最小特征值λ 1 。如果对{x} x k x 定义： {v}，在满足 T{v}=0 （即两个向量正交）的约束下 R( x {x} ) 施加约束，即选定向量 T x m x 选择{x} ，则在计算Ralyeigh商的极小值时，选取不同的 {v}可得到不同的极小 值。当{v}为系统的第一阶特征向量时，这些最小值集合的最大值是系统的第 由振型正交性可得，当{x} 为系统的某阶特征向量时，则有 : 个约 二特征值。依此类推，如果使 Ralyeigh 商收敛到第i阶特征值，则需要i-1 束。通过极小和极大化过程，可以得到第i{ 阶特征值。或写为： } T k {}
1 2
称为振型矩阵。
多自由度体系动力特性分析（举例）
如图所示结构，E=2.6x107kN/m2， 各柱尺寸0.6x0.6m. 求自振频率和振型。 解：用刚度法得
k11 3 12EI 1 / 63 1 / 43 35EI / 48 k 22 3 12EI / 43 9 EI / 16 k12 k 21 3 12EI / 43 9 EI / 16
将（10－ ）式振幅向量除以 a1后，可以按以下红 由于式（ 105 － 6b）对应方程组是确定的，可以从中解 结构动力特性分析－特征值问题的性质

k

k 00 k 01a 0 k 10 k 11a 0
k 00 e11 k 01 e12 k 10 e21
(i j) (i j )
从数学角度理解特征系统的基本特性
将多自由度体系无阻尼自由振动运动方程：k ma 0 改写为：
k m
上述方程即为线性代数理论特征值问题，其中特征值λ对应系 统的固有频率ω2，特征向量[φ]为系统的标准振型。