定积分的换元法

例4 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x )s3 ix n s5 ixn coxssinx2
si3n xsi5n xdx
coxssix n2 3dx
0
0
2coxssin x2 3d xcoxssinx23dx
0
2
3
2sinx2dsinx
sinx23dsinx
应用换元公式时应注意:
（1） 用 x ( t) 把 变 量 x 换 成 新 变 量 t时 ， 积 分 限 也
相 应 的 改 变 .
（2） 求 出f[(t)](t)的 一 个 原 函 数 (t)后 ， 不
必 象 计 算 不 定 积 分 那 样 再 要 把 (t)变 换 成 原 变 量 x的 函 数 ， 而 只 要 把 新 变 量 t 的 上 、 下 限 分 别 代 入 (t)然 后 相 减 就 行 了 .
a
f(x)dxaf(t)dt0
f(t)dt,
① f( x ) 为 偶 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a a f(x ) d x 0 a f(x ) d x 0 a f(x ) dx 20a f(t)d;t
② f( x ) 为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a
0
a
a f(x ) d x a f(x ) d x 0f(x ) dx 0.
x
lx i0m [f(xx)0
f(u)du x2 ]
x
lx i0m f(xx)lx i0m 0 fx(u 2)du
AA A 22
li m (x)(0) x 0 即(x) 在 x0处连续
二、小结
定积分的换元法
b
a
f
(x)dxf[(t)](t)dt
几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
指 出 求 2 dx的 解 法 中 的 错 误 ， 并 写 出 正 确
先来看一个例子
例1
4 x 2 dx
0 2x 1
换元求不定积分
令 t2x1则
x1(t2 1)
2
x2 dx
2x1
12t2t12t2dt16t3
3t 2
C
1(2x1)323(2x1)12C
6
2
故
4 x2 dx22
0 2x1
3
尝试一下直接换元求定积分 为去掉根号 令 t2x1则 x t2 1
2
dx tdt
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解一 令 xasitn , d xaco td ,st
x a t , x0 t0,
原式 2
2
acot s
dt
0 asitn a2(1si2n t)
2 0
sinctoctsotsdt1 20 21sciottn scsiottnsdt
1 2 21 2ln sitn co t0 2 s
. 4
解二 接解一
2
对
cost
dt
0
sint
cost
2
令 I
cost
dt
0
sint
cost
2
J
cost
dt
0 sint cost
则
2
I J dt
IJ 0 2 0s cio ttn 2s c sio ttd ns tln(t scio n t) 0 2 s0
IJ
4
例7 当f(x)在[a,a]上连续，则有
即： 奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8
计算
1 2x2xcoxs dx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
121x2 x2dx11
xcoxs dx 1 1x2
偶函数
1
40
1
x2
dx
1x2
401
x2(1 1x2) 1(1x2) dx
a2 dt )
1
tt
a 1f(x2a x2 2)d x2 xa 1f(xa x2)d xx
例12 设 f ( x ) 连续
(x)
1
f(x)tdt
0
且lx i0m f(xx)A(A常)数 求 (x )并讨 (x )在 论 x0处的连
解
f 由 (0 l)x i0lm x f0 (x ixf )( m x A ) 及 lx f (0 x i)[连 fm ( x x )续 x ] 知 0
f (x)
1 1
1 x 1 e
,
x
当 x 0时， 求
, 当 x 0时，
2 f ( x 1 )dx .
0
四 、 设 f ( x )在 a , b 上 连 续 ，
b
1
6
6
0
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f(x)(x)dx f (t )dt
a
这说明可用 t (x) 引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限
如没有明确引入新变量，而只是把 t (x)
整体视为新变量，则不必换限
a
a
0
L
aL
a
f(x)d(令 xxtL )f(tL )dt
L
a
a
0
f (t)dt f (x)dx
aL 0
a0
f(x)dxf(x)dx 与 a 的值无关
a
0
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
a 1f(x2a x2 2)dx xa 1f(xax2)dxx
证明 比较等式两边的被积函数知，令ux2
1 3
4
dx ； 1 x 1
4、
2
cos x cos 3 xdx ；
2
5、 1 cos 2 xdx ； 0
6 、
2
4 cos
4
dx ；
2
7、 1 ( x 2 1 x 2 x 3 1 x 2 )dx ； 1
8、
2
max{
x
,
x
3
}dx
；
0
9、
2
x
x
dx
（ 为参数 ）.
0
三 、 设
4、
1
2 1
2
(arcsinx)2 1 x2
dx
___________；
5、5 x3 sin2 x
x 2x 1dx 5 4
2
________________________ ..
二 、计 算下列定 积分：
1、 2 sin cos 3 d ； 2、 3 dx ；
0
1 x2 1 x2
3、
则 有 a bf(x )d x f[(t)] (t)d.t
证 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
b
af(x)d xF (b)F (a),
(t) F [ (t)],
(t)dFdx f(x)(t)f[ (t) ](t),
dx dt
( t ) 是 f [ ( t ) ( t ) 的 ] 一 个 原 函 数 .
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2 ） 函 数 x (t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（ 3） 当 t在 区 间 [,]上 变 化 时 ， x(t)的 值 在 [a,b]上 变 化 ， 且 ()a、 ()b，
0
2
01xscion2xsxdx
2
201scion x2sxdx
奇函数
20 1c1o 2xsd(cx o)s2arctanx()c0o s42 .
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
aL
f(x)dx的值a无 与关
a
证明
a L
0
L
a L
f(x )d x f(x )d x f(x )d x f(x )dx
证 （1）设 x t d x d,t
x0 t 2,
2
x 2
t0,
2 0
f(sinx)dx 20fsin 2tdt
wk.baidu.com
2 f(cot)sdt 2 f(cox)sdx;
0
0
（2）设 x t d xd,t
x0 t , x t0,
0
0 xf(sinx)dx(t)f[s i n t)d (] t
a
a
f(x)dxf(x) f(x)dx 且有
a
0
①f(x)为偶函数，则
a
a
f
a
(x)dx20
f
(x)dx；
②f(x)为奇函数，则aa f(x)dx0.
证
a
0
a
af(x ) d x af(x ) d x 0f(x ) d ,x
在 0 a f( x ) d 中 令 x x t,
0 a
0
2
2 x
dx x2 1
xsetc
3 4
1 setctatndt
2 3
setctatn
3
4 dt 2 3
. 12
练习题
一、填空题：
1、
sin(x
3
)dx ___________________； 3
2、 (1 sin3 )d ________________； 0
3、 2 2 x2dx _____________； 0
2
a
2
a2 x2dx a2 cos2 tdt
0
0
a2 2 (1cos2t)dt
a2
20
4
解4 令 xaco t s
仍可得到上述结果
例3 计算
2 co5sxsinxd.x 0
解 令 tcox,sd tsixnd , x
x t0, x0 t1,
2
2 co5sxsinxdx 0
0t5dt t 6 1 1 .
定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。
a 1f(x2a x2 2)dxx a12f(ua u 2)d 2uu
1a2
a2 du
2
f(u
) u
u
1
1[af(ua2)d ua2f(ua2)d]u
21
uu a
uu
a a 2f(u a u 2)d u(令 u ta u 2)a 1f(t a t2)a t2( a t2 2)dt
a
f (t
0
2
2sinx52 2
5
0
2
sin
5
x2
5
2
4. 5
3
例5
计算
e4
dx
e
x
. lnx(1lnx)
3
解 原式
e4
e
d(lnx) lnx(1lnx)
3 e4
e
d(lnx)
3
e4
lnx (1lnx) 2 e
d lnx 1( lnx)2
3
2arcslin x n)(e4 e
. 6
例6 计算 a
f[ (t) ] (t) d t( ) ( ),
() a 、 () b ,
() () F [ () ] F [ ( )] F (b)F (a),
b
af(x)d xF (b)F (a) () ()f[(t)](t)d.t
注 意 当 时 ， 换 元 公 式 仍 成 立 .
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
(dt 1 0) dx 2x1
于是
4 x2d x13(t23)d t22
0 2x1 21
3
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
2 xx21
的 解 法 .
解 令 xset,ct:23, d x ta tsn e td ,ct
34
2
dx
3
4
1 setctatn dt
2 x x2 1 23setctatn
3
4 dt
.
2 3
12
思考题解答
计算中第二步是错误的. x stec
t23,34, tat n0, 正确解法是
x21tat ntat.n
奇函数
40 1(11x2)dx440 1 1x2dx
4 .
四分之一单位圆的面积
例9 若f (x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sinx)dx 2 f (cosx)dx;
0
0
（2）
xf(sinx)dx
f (sinx)dx.
0
20
由此计算
0
x 1
sinx cos2 x
dx.
(0)0
x0时
(x) 1f(x)tdt令xtu
1
x
f (u)du
0
x0
(0)lx i0m (xx ) 0(0)
lim lim x0
x 0
f
(u)du
0型L法则 0
x2
x
f(x) A x0 2x 2
xf(x) f(u)du
x0时 (x)
0
x2
x
lx i0 m (x)lx i0m x(fx)x 0 2f(u)du
0(t)f(sti)d n,t
0 xf(sinx)dx0 f(sitn)dt0tf(sitn)dt
0 f(sixn)dx0x(fsixn)d,x
x(fsx )idn x f(sx )idn .x
0
20
另证
将上式改写为 (x)f(sixn)dx0
令t x
02
2
则 (x)f(sixn )dx 2tf(co t)d st0
a
例2 计算 a2 x2dx
y a2x2
0
解1 由定积分的几何意义
xa
a
a2 x2dx
o
0
等于圆周的第一象限部分的面积
a
2
4
解2 a 2x 2 d x xa 2x 2 a 2arx c C si
a
故
2
a2 x2dx a 2
2
a
0
4
解3 令 xasitnd xaco t s
x 0 t 0xat