高等数学下册课件

内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义
设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，来自百度文库称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
x
y2
所求定义域为
D { x ,y ( ) |2 x 2 y 2 4 ,x y 2 }.
（6） 二元函数 zf(x,y)的图形
设函数z f (x, y)的定义域为D，对于任意 取定的P(x, y)D，对应的函数值为 z f (x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x, y,z)， 当x取遍D上一切点时，得一个空间点集 {(x, y,z)| z f (x, y),(x, y)D}，这个点集称
函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上函数则可以类推， 因此这里基本上只讨论二元函数。
重点
多元函数基本概念，偏导数，全微分， 复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何 应用，多元函数极值。
难点
复合函数求导，多元函数极值。
一、多元函数的概念
（1）邻域
设P0(x0,y0)是xo平 y 面上的一个点，是某
多元函数微分学
在上册中，我们讨论的是一元函数微积分， 但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的 函数—多元函数，也提出了多元微积分问题。
多元微积分的概念、理论、方法是一元微 积分中相应概念、理论、方法的推广和发展， 它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方 法）又有许多本质的不同，要善于进行比较， 既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注 意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理 解，融会贯通。
当 n 2 时 ， n 元 函 数 统 称 为 多 元 函 数 .
多 元 函 数 中 同 样 有 定 义 域 、 值 域 、 自 变 量 、 因 变 量 等 概 念 .
例1 求 f(x,y)arc3sixn2(y2)的定义域． xy2
解 3 x2 y2 1 x y2 0
2 x2 y2 4
则称 P为E的内.点
如果点集 E的点都是内点，
则称E为开集 .
•P
例如，E 1 {x ( ,y )1 x 2 y 2 4 }
即为开集．
E
如果P点的任一个邻域内 于E既 的有 点属 ，
也有不属 E的 于点（P点 本身可以E属 ，于 也 •P 可以不属 E） 于，则P称 为E的边界点．
E的边界点的全体 E的 称边 为界． 设 D是开集．如果对于 D内
z
f (x, y)当 x
x
，
0
y
y0时的极限，
记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
（1）定义中 PP0的方式可能是多种多样
的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的， 所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有 的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋 于同一常数。——这是产生本质差异的根本原 因。
一正数，与点P0(x0, y0)距离小于的点P(x, y)
的全体，称为点P0 的邻域，记为U(P0,)，
U(P0,) P |P 0| P
( x , y ) |( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 .
P0
（2）区域
设E是平面上的一P个 是点 平集 面， 上的
一个点．如果 P的 存某 在一 点邻 U(P域 )E，
说明： 内点一定是聚点；
边界点可能是聚点；
例 {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0)既是边界点也是聚点． 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E ．
例如, {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {x (,y)|x2y21 }
边界上的点都是聚点也都属于集合．
n维空间中两点间距离公式
设两点为 P(x1,x2,,xn),Q (y1,y2,,yn),
|P | ( y Q 1 x 1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2 .
特殊地当 n1,2,3时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U ( P 0 ,) P |P 0 | , P P R n
{x(,y)|1x2y24}
y
有界闭域；
{x ,(y )|x y 0 }无界开区域． o
x
（3）聚点
设 E 是 平 面 上 的 一 个 点 集 ， P 是 平 面 上 的 一 个 点 ， 如 果 点 P的 任 何 一 个 邻 域 内 总 有 无 限 多 个 点 属 于 点 集 E ， 则 称 P为 E 的 聚 点 .
为二元函数的图形.
（如右图）
二元函数的图形通 常是一张曲面.
二、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为
D, P0 ( x0 , y0 )是其聚点，如果对于任意给定的正
数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式
0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称 A 为函数
任何两点，都可用折连线结起来， 且该折线上的点都属D于，则称 开集D 是连通的．
E
• •
y
连通的开集称为区域或开区域．
例如，{x (,y)|1x 2y24 }.
o
x
开 区 域 连 同 它 的 边 界 一 起 称 为 闭 区 域 . y
例如，{x (,y)|1x 2y24 }.
o
x
对于点集E 如果存在正K数，使一切点 PE 与某一定点 A间的距离AP不超过K ， 即 AP K 对一切PE 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集．
（4）n维空间
设 n为 取 定 的 一 个 自 然 数 ， 我 们 称 n元 数 组 (x1,x2,,xn)的 全 体 为 n维 空 间 ， 而 每 个 n元 数 组 (x1,x2,,xn)称 为 n维 空 间 中 的 一 个 点 ， 数 xi称 为 该 点 的 第 i个 坐 标 .
说明： n维空间的记号为R n ;